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Soient les deux couples (P, — P), (Q, — Q) de

sens contraires, et dont les moments Pp, Qq sont égaux.

Transportons le couple (Q, — Q) de manière que son bras de levier BC « j se trouve dans le prolongement du bras de levier AB = jp du couple (P, — P) (flg. 89). Les deux forces — P, — Q, appliquées au point B, se composeront

en une force égale à leur somme — (P + Q), appliquée

au point B.

D'autre part, les deux forces P et Q appliquées en A et C, parallèles et de même sens, se composent en une force égale à leur somme P + Q, parallèle à ces forces, de même sens que ces forces, et appliquée évidemment au point B (n** 247). Nous avons donc au point B deux forces égales à P + Q, et de sens contraires. Ces deux forces se détruisent, et, par suite, le système des deux couples est en équilibre.

270. Axe d'un couple. — Un couple est déterminé, c'est-à-dire que l'on connaît tout ce que l'on a besoin de connaître relativement à l'énergie du couple, et à sa position dans l'espace, quand on connaît la position du plan, la grandeur du moment, et le sens du couple. Un couple peut être représenté par une simple droite, que l'on appelle Yaxe du couple. On prendra cette droite perpendiculaire au plan du couple, dans un sens tel qu'un observateur placé suivant cet axe, les pieds à l'origine, voie le couple tendre à faire tourner son bras de levier, supposé fixé par un de ses points, dans le sens

que nous avons adopté pour le sens positif. Sur cette droite, nous prendrons une longueur égale au moment du œuple. Cette droite est ce que Ion appelle Vaxe du couple. Elle représentera le couple : en effet, quand elle sera donnée, le couple sera entièrement déterminé pour son plan, son moment et son sens.

Remarque. — On voit que Taxe d'un couple n'occupe pas une position déterminée dans l'espace. On peut toujours le faire passer par un point pris d'une manière arbitraire dans l'espace.

271. On arrivera facilement au théorème suivant que nous avons déjà énoncé sous une autre forme (n^ 263) : La somme des moments des forces d'un couple par 'rapport à une droite quelconque est la projection de Vaxe du couple sur cette droite.

Composition des couples.

272. Théorème. — Deux couples situés comme on voudra dans un même plan ou dans des plans parallèles, se composent en un couple unique dont le moment est la somme algébrique des moments des couples com^posants.

Soient deux couples (P, — P), (Q, — Q) de bras de levier p et q. D'après les théorèmes précédents, on pourra ramener ces deux couples dans un même plan (n"" 266) ; puis, on transformera (n° 267) le couple Qg en un autre couple de même moment et de même sens, et ayant pour bras de Içvier p. Il suffira pour cela de poser :

P'p = Qq.

Cela posé , on fait coïncider les deux bras do levier égaux; on a alors à chaque extrémité du bras de levier commun deux forces de même direction, qui se composent en une force unique égale à la somme algébrique de ces deux forces. Ces deux résultantes P + P' forment un couple qui équivaudra à l'ensemble des deux couples proposés, et dont le moment sera :

(P + P') p = Pp + F'p = Pp + Qq.

273. Théorème. — Tant de couples que Ton voudra y situés d'une manière quelconque dans un même plan ou dans des plans parallèles, se composent en un couple unique, situé dans un plan parallèle aux plans des couples composants, et dont le moment est égal à la somme algébrique des moments des couples composants.

Il suffira pour démontrer ce théorème d'appliquer le théorème précédent.

Remarque. — Ce résultat peut s'énoncer plus simplement en disant que Vaxe du couple résultant est la som^ne algébrique des axes des couples composants.

274. Réciproquement, on pourra décomposer un couple donné en tant de couples que l'on voudra, sitaés dans un même plan ou dans des plans parallèles.

275. Théorème. — Deux couples situés comme on voudra dans deux plans qui se coupent sous un angle quelconque, se composent en un couple unique dont le plan passe par l'intersection des plans des deux couples, et dont le moment est y^elié aux 9nomenls des couples composants par la loi du parallélogramme.

Soient deux couples (P, — P)» (Q, — Q) situés dans les deux plans M et N (fig. 90). Sur l'intersection de ces

deux plans prenons une ^'^' ^^' longueur AB quelconque.

Cela posé, remplaçons R les deux couples donnés par deux couples équivalents ayant AB pour bras de levier, et soient (F, — P'), (Q', — Q') ces deux couples.

Or, les deux forces P', Q', à chacune des extrémités de AB se composent par la règle du parallélogi^amme en une force R. Nous aurons ainsi en A et B deux forces égales à R, parallèles et de sens contraires : elles forment un couple qui pourra remplacer les deux couples proposés, et le théorème est démontré.

Corollaire. — Il est évident que Ton a :

R2 = p'« 4- Q'2 -[- 2P'Q' CCS (P', Q'),

ou bien :

R« . AB' = P'2 . AB' + Q'« . AB' + 2P' . AB . Q' . AB ces V,

en désignant par V l'angle des deux plans.

Si donc L et M sont les moments des couples composants, le couple résultant W sera donné par la formule :

W2 = L« + M2 -f- 2LM ces V.

On a aussi :