L : M : W = sin (M, W) : sin (L, W) : sin (L, M

276. Remarque. — Il est facile de s'assurer que Vaœe du couple résultant est la diagonale du parallélogramme construit sur les axes des couples composants.

En effet, si l'on mène les axes des trois couples, ces axes forment un parallélogramme dont les côtés et la diagonale seront proportionnels à P', Q', R ; de plus, les angles que ces axes font entre eux sont égaux aux angles des plans des trois couples. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Si deux couples sont représentés pour leurs axes et leurs moments par les deux côtés d'un parallélogramme^ ces deux couples se composent en un couple unique dont Vaxe est donné en grandeur ^ direction et sens par la diagonale de ce parallélogramme.

Remarque. — Si les plans des deux couples sont rectangulaires, les axes de ces couples sont aussi rectangulaires, et l'on a :

si l'on désigne par a, ^ les angles que l'axe du couple résultant fait avec les axes des couples composants, il vient :

L « W ces a, M = W ces (3 = W sin a.

277. Théorème. — Trois couples représentés par les trois arêtes contigues d!un parallélipipède se composent en un couple unique dont Vaxe est représenté par la diagonale de ce parallélipipède.

On démontre ce théorème en opérant comme pour le parallélipipède des forces (n*^ 216).

Si les axes des couples sont perpendiculaires entre eux, c'est-à-dire si les plans de ces couples sont perpendiculaires, le parallélipipède est droit, et l'on a.

en désignant par L, M, N les moments des couples composants, et par W le moment du couple résultant :

en outre, si X, fx, u sont les angles que Taxe du couple résultant fait avec les axes des couples composants,, on aura :

L = W cos X, M «= W ces |[x, N = W ces y.

278. Remarque. — Un couple W peut être décomposé en trois couples situés dans trois plans rectangulaires, ou dont les axes sont perpendiculaires entre eux.

Les couples composants sont déterminés par les formules qui précèdent.

279. Théorème. — Tant de couples que Von voudra, •situés dans des plans quelconques, se composent en un couple unique dont Vaxe est donné par la règle du. polygone des axes.

La démonstration de ce théorème est évidente.

Remarque. — Si trois couples agissent dans trois plans qui forment un angle solide, ou qui se coupent en un point -unique, ils ne peuvent avoir un couple résultant nul, à moins qu'ils ne soient nuls tous les trois.

280. Conditions d'équilibre des couples. — Si les couples sont situés dans des plans parallèles, la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est que la somme algébrique de leurs moments soit nulle.

Si les axes des couples ne sont pas parallèles, il faut que les sommes algébriques des projections de ces axes sur trois axes rectangulaires soient nulles séparément.

Composition d'un couple et d'une force.

281. Théorème. — Une force et un couple situésdans un même plan se composent en une force uniqu& égale et parallèle à la force donnée, et située à une distance de celle-<d égale au moment du couple divisé par Cintensité de la force.

Soient P la force donnée (fig. 91), et (Q, — Q) le couple donné. Nous pouvons remplacer le couple (Q, — Q}

Fig. 91.

par un autre couple de même moment et de môme sens,, dont les forces soient égales à P (n"" 267). Il suffira, pour déterminer le bras de levier du nouveau couple, de poser l'égalité :

Pp * Qg,

d'où l'on tire :

Qq

Cela posé, transportons ce nouveau couple dans son plan, de manière que Tune des forces P du couple soit directement opposée à la force P donnée. Le couple occupera alors la position (P, — P) de bras de levier CD =» p. Or, les deux forces P appliquées en C, égales et directement opposées, se détruisent. Le système est ainsi ramené à la force unique P, égale et parallèle à la force donnée P, et appliquée au point D, et l'on a Qq " P

282. Théorème. — Une force et un couple, non situés dans un même plan, se composent d'une infinité de manières en deux forces non situées dans un méine plan.

Soient P la force donnée, et (Q, — Q) le couple donné. Soit A le point de rencontre de la force P avec le plan du couple (fig. 92). On peut transporter le couple dans son plan de manière que l'une des forces du couple

CQ^p

Le théorème est donc démontré.

vienne passer par le point A. Cela posé, les deux forces concourantes P et Q se composent en une résultante R, non située dans le plan MN, et le système est donc réduit à la force Q, appliquée en B, et située dans le plan MN, et la force R non située dans ce plan. Il est évident que

cette réduction peut être faite d'une infinité de manières : en effet, le couple (Q, — Q) peut être tourné comme on voudra autour du point A ; d'autre part, on peut remplacer le couple (Q, — Q) par un autre couple équivalent. Dans chacun de ces cas, on aura une résultante R' différente de R.

283. Théorème. — Deux forces non situées dans vn même plan peuvent se ramener d'une infinité de manières à une force et un couple non situés dans un même plan.

Soient P et Q les deux forces situées dans les plans M et N, et 0' les points de rencontre de ces forces avec l'intersection des deux plans (fig. 93). Appliquons au point 0', et dans le plan M deux forces P, — P égales et parallèles à P, et directement opposées. Les deux forces P et Q en 0' se composeront en une forceunique R, et les deux forces restantes formeront un couple (P, — P) situé dans le plan M. Il est

évident que cette réduction peut se faire d'une infinité

de manières.

284. Théorème. — Une force P appliquée en un point A dun corps solide, peut être transportée parallèlement à elle-même en un autre point invariablement lié au premier, pourvu que l'on adjoigne à cette force un couple dont le plan coïncide avec le plan PAO, et dont le moment soit égal au produit de la force P par la distance du point à la direction prim-'-'-— ■'' '~ force.

Fig. 94.

Soit P une force appliquée au point A, et soit un

point quelconque invariablement lié au point A (fig. 94). Introduisons au point deux forces égales et parallèles à P, et directement opposées :

il est évident que l'état du corps ne sera pas changé. Le système se com-^ posera alors d'une force P égale, parallèle et de même sens que la force proposée, et appliquée au point 0, et d'un couple (P, — P) dont le bras de levier sera On, c'est-à-dire la distance du point à la direction primitive de la force.

Remarque. — Ce théorème pourrait être considéré comme la réciproque du théorème (n*' 281).