On peut arriver au même résultat d'une autre manière

Théorème. — Un 7iombre quelconque de forces appliquées à un solide invariable peut toujours être remplacé dune infinité de manières par une force unique et un couple unique.

Soient P, F, P"..., des forces appliquées aux points Yn^ m\ ni\... d'un solide invariable. Soit un point faisant partie du corps solide, ou invariablement relié à ce corps, et transportons toutes les forces données en ce point 0. Nous remplacerons ainsi (n** 284) le système des forces données par un système de forces égales et parallèles aux premières, et appliquées au point 0, et par des couples en nombre égal au nombre des forces. Or, toutes les forces appliquées en se composent en une force unique R, appliquée en ce point ; tous les couples se composent en un couple unique W. Par conséquent, le système se réduit à une force unique et un couple unique.

Remarque I. — Ce résultat est exactement équivalent au précédent : en effet, nous pouvons prendre le point A ^u théorème précédent pour le point 0, où l'on transporte les forces. Cela posé, le couple W (Q, — Q) peut être transporté, comme on voudra, dans des plans parallèles (n"" 266). Nous pouvons donc faire en sorte que l'une des forces du couple, par exemple la force + Q, passe par le point A. Si nous composons alors les forces R et Q, concourantes en A, nous obtiendrons une force S, appliquée au point A, et le système est alors réduit aux forces S et — Q.

Remarque II. — Il est évident que, quel que soit le point où l'on transporte les forces données, la grandeur, la direction et le sens de la force R restent les mêmes, puisque le polygone des forces sera toujours le même; au contraire, la grandeur et la direction du couple varient avec la position du point 0.

La force R s'appelle la résultante de translation.

287. MÉTHODE ANALYTIQUE. — Soient P, F, P",... les forces données, appliquées aux points m, m\ m",... (X, Y, Z), (X', Y', Z'),... les composantes de ces forces parallèlement à trois axes rectangulaires, (a?, «/» z)y {œ\ y\ z'),... les coordonnées des points m, m', m",... par rapport aux mêmes axes.

Considérons la force P (flg. 97) appliquée au point m (a?, ?/, z) : au lieu de transporter la force P directement à l'origine, nous y transporterons ses composantes X, Y, Z.

A cet effet, transportons la force X au point n, en introduisant le couple (X, — X) dont le bras de levier est mn == ^, et dont le moment est X^ : ce couple est situé dans un plan parallèle au plan des zœ^ c'est-à-dire dans le plan de zx; si nous considérons comme positives les rotations des y vers les ^, des z vers les a?, et des x vers les y, le couple ILz sera positif (n"" 261). La force X,

appliquée en n, peut être transportée en a (ou en 0), en introduisant un couple (X, — X) dont le bras de levier

^t na « y, et dont le moment est Xy : ce couple est situé dans le plan des xy^ et il est négatif ; nous aurons donc dans le plan des ayy le couple — Xy.

Ainsi, la translation de la force X à l'origine nous donne :

V la force X, appliquée à l'origine ;

2^ le couple + X^, situé dans le plan des zx ;

3"* le couple — Xy, situé dans le plan des œy.

La force Y pourra aussi être transportée de m en w, puis de n en &, en introduisant deux couples, et nous aurons ainsi :

P la force Y, appliquée au point ;

2** le couple — Y^:, situé dans le plan des yz ;

3^ le couple + Ya?, situé dans le plan des œy.

Enfin, la translation de la force Z à l'origine nous donnera :

V la force Z, appliquée au point ;

2<* le couple — Zx, situé dans le plan des zx ;

3** le couple + Zy, situé dans le plan des yz.

Chacune des forces données pourra être transportée à l'origine de la même manière que la force P, et nous aurons ainsi pour chacune d'elles : trois forces X, Y, Z, appliquées au point 0, et dans chacun des plans coordonnés des couples Zy — Y^, X^ — Zx, Yœ — Xy. Toutes les forces suivant l'axe des œ se composent en une force unique :

nous aurons de même pour les deux autres axes :