SY=» Y + Y'4- Y" + ..., 2Z « Z + Z' + Z

Nous aurons aussi dans les trois plans coordonnés trois séries de couples ; . ces couples se composeront dans chacun des plans en un couple unique égal à la somme algébrique des couples composants (n^ 273), et il viendra :

P dans le plan des yz, le couple L = S(Zy — Y^) ; 2^ • « zx, « M = S(X^ — Zx) ;

3^ « 0^, « N -= I.{Yx — Xy).

Le système est donc ramené à trois forces dirigées suivant les trois axes, et trois couples situés dans les

trois plans coordonnés. Ces trois forces se composeront en une force unique R, donnée par la formule (n"" 219):

et, en désignant par a, &, c les angles que R fait avec les axes, on a :

SX SX

SY

cos

R SZ

CCS

p/lEX)" + (EY)« + (SZ*)

SY

|/iSX)«+(EY)* + (2Z)*

EZ

l/(SX)« + (SY)« + (SZ)«

Les trois couples L, M, N se composeront en un couple unique W, donné par la formule (n*' 277) :

et, en désignant par i, f/, u les angles que l'axe de ce couple fait avec les axes coordonnés, on a :

S »Zy - Y^)

l/jS^Zy-Y^f +ISIX.J - Za?)p+ jS(Y^ - Xy)î^ '

S {Yx — Xy) 1/ ÎS(Zy - Y;j);«+ iS(X^ - Zx)\^+\^(Yx - Xy)p *

cos A = =7 W

Ainsi donc, en général, le système des forcesP, P', F", . . . se ramène à une force unique R, et un couple unique W, déterminés par les formules qui précèdent.

Cas particuliers. — V Si la force R est nulle, les forces se réduisent à un couple unique W.

2^ Si le couple W est nul, les forces se réduisent à une force unique R.

3*^ Si le couple W et la force R sont nuls, les forces données se font équilibre.

288. Nous venons de voir que, si le couple W est nul, les forces se réduisent à une résultante unique R. Le système pourra encore se réduire à une résultante unique, dans le cas où le couple W et la force R sont situés dans un même plan (n° 281), c'est-à-dire lorsque la force R sera perpendiculaire à Taxe du couple.

Il résulte de là que la condition analytique nécessaire et suffisante pour que le système des forces P, P', P",... appliquées à des points invariablement reliés entre eux, se ramène à une résultante unique, est :

ces a cos X -(- cos & cos |ul + cos c cos u = 0,

ou bien, en remplaçant les cosinus par leurs valeurs :

L2X + MSY + NEZ = 0.

289. Remarque I. — Il est facile de s'assurer que les moments L, M, N des trois couples situés dans les trois plans coordonnés^ ne sont autres que les sommes des moments des forces données par rapport aux trois axes coo7*donn4s.

En eflfet, d'après ce que nous avons vu {xf 238), l'expression Yx — Xy est le moment de la force P par

rapport à Taxe des Z ; par conséquent, S {Yœ — Xy) ou N est la somme des moments des forces données pai* rapport à l'axe des Z.

Donc, les moments L, M, N des projections du couple W sur les trois plans coordonnés, c'est-à-dire les projections de l'axe W sur les axes coordonnés, sont égaux aux sommes des moments des forces par rapport à ces mêmes axes.

290. Remarque II. — On sait (n** 262) que si l'on projette le couple W sur un plan faisant un angle 6 avec le plan du couple W, la projection W est donnée par la formule :

W' == W CCS e ;

mais, W est la somme des moments des forces par rapport à l'axe W (n^* 263). Donc :

Théorème. — La somme des moments des forces par rapport à un axe s'obtient en projetant sur cet axe le moment résultant, ou le moment du couple résultant.

Ainsi, quand on a obtenu en grandeur et direction l'axe du couple résultant relatif à une certaine origine, il suffit de projeter cet axe sur une droite quelconque de cette même origine, pour avoir la somme des moments des forces par rapport à cette droite (ou estimée suivant cette droite).

291. Propriété. — La somme des moments des forces par rapport à un axe s'obtient en projetant sur cet axe les som^nes des moments des forces relatives aux axes coordonnés, et faisant la somme de ces projections.

En effet, soient W le moment du couple résultant pour une origine donnée, X, |u, v les angles que son axe fait avec les axes coordonnés, 9 l'angle que fait cet axe avec

une direction (X', |x', u') de la même origine, W la somme des moments des forces par rapport à cette direction ; nous aurons :

W' — W ces = W (COS X COS X' 4- CCS fjt COS fx' + cos u cos u')

«=» L COS X' + M COS f*' + N COS v',

ce qui démontre la propriété énoncée.