Axe du moment maximum. — Si nous reprenons la formule
W' — Wcos 9,
nous en concluons les théorèmes suivants :
Théorème I. — De tous les axes qui passent par une même origine^ Vaxe du couple résultant est celui par rapport auquel la somme des ^noments des forces est la plus grande
Théorème IL — La somme des moments est la même par rapport à tous les axes qui font un même angle avec celui du plus grand moment, ou qui forment une surface conique décrite autour de cet axe sous le même angle.
Théorème III . — La somme des moments est nulle par rapport à tous les axes qui font un angle droit avec Vaxe du plus grand moment, ou qui sont situés dans un plan perpendiculaire à sa direction.
Propriétés de Taxe central.
293. Nous avons vu (n** 286) que si l'on compose toutes les forces données autour d'une origine 0, on obtient une force unique R et un couple unique W. Il est d'abord évident que si l'on transporte le point en un point quelconque de R, on aura toujours la même force R et le même couple W. Il est facile de s'assurer que la grandeur et la position du couple W varient avec l'origine prise en dehors de la résultante R. En eflfet, soient pour le point la force R et le couple W (flg. 98) :
il est évident que si nous voulons obtenir la force et le couple relatifs à une autre origine 0', il suffira de transporter en ce point 0' la force R et le couple W. Or, le couple W se transporte parallèlement à luimême sans altération ; la force R se transporte parallèlement à elle-même au point 0' en donnant naissance à un couple (R, — R) dont le moment est Rr, r étant la distance du point 0' à la force R dans sa position primitive (n^ 284), et l'axe Rr de ce couple est perpendiculaire au plan ROO'.
Les deux couples W et Rr se composent en un couple unique W qui est donné par la formule :
^'2 «= W^ 4- (Rr)2 + 2W . Rr cos 9.
On voit donc qu'à l'origine 0', on obtient une force unique R de même grandeur et direction qu'au point 0, et un couple W différent de W. Ainsi, le plan du couple et son moment varient avec la position du point où l'on transporte les forces, et comme la direction de R reste toujours la môme, il s'ensuit que Vangle de R avec le plan du couple varie avec la position du point 0.
D'ailleurs, l'axe du couple W est pour le point 0' l'axe du moment maximum des forces (n^ 292). Ce maximum reste évidemment le même lorsque le point se déplace sur la direction de la force R, et il change avec la position du point dans l'espace, en dehors de la résultante.
294. Axe central. — Parmi tous les maximums différents les uns des autres, il en est un plus petit que tous les autres. Les origines pour lesquelles cette propriété existe sont situées sur une môme droite que Ton appelle axe central : elles sont déterminées par la condition qu'^n ces origines Faœe du couple coïncide avec la direction de la force unique R.
Nous allons, en effet, démontrer que, si l'on a obtenu une origine 0, telle que, pour cette origine, on a
la condition que R et W coïncident (fig. 99), et si l'on
^ ^9 passe de cette origine à une
autre origine 0' quelconque, on obtiendra un couple W plus grand que W. Soit donc l'origine pour laquelle R et W coïncident, et passons de cette origine à l'origine 0'.
Le couple W s'y transporte parallèlement à lui-même sans altération ; la force R, transportée parallèlement à elle-même en 0', engendre un couple (R, — R) dont le
moment est R>% et dont Taxe est perpendiculaire au plan ROO', donc à Taxe du couple W. Par conséquent, si nous composons les deux couples W et Rr en un couple unique W, nous aurons :
et, par suite, W est plus grand que W, quel que soit r ; donc W est minimum.
Remarque. — Il est évident que si l'on déplace le point sur la direction OR, le couple W restera constamment le même. Le lieu des points pour lesquels W est minimum est donc une ligne droite : c'est Vaœe central.
295. Problème. — Proposons-nous maintenant de trouver la position de Vaœe central pour un système de forces données.
Soient pour une origine de l'espace, OR la force
unique, et OW l'axe du couple (fig. 100).
Nous nous proposons de déterminer une origine 0', telle qu'en cette origine l'axe du couple coïncide avec la direction de R. Il faut donc que le couple résultant de la translation de R de en 0', soit tel que, composé avec le couple W, il donne un couple dont l'axe soit dirigé suivant OR. Or, à l'origine 0, nous pouvons décomposer le couple W en deux couples : l'un W cos f
Fig. 100.
suivant la direction OR, l'autre Wsin 9 perpendiculaire à OR. Nous devons donc déterminer le point 0' de manière que le couple résultant de la translation de R en 0', détruise le couple Wsin 9. D'aiDeurs, Taxe de ce couple devant être dans le plan de l'angle 9, l'origine 0' devra se trouver sur une perpendiculaire à ce plan. Ceci établi, par le point menons une perpendiculaire au plan WOR, et prenons sur cette perpendiculaire une longueur 00' = r. Transportons au point 0' la force R et les couples Wcos cp, Wsin 9 : les deux couples se transportent sans altération ; la force R engendre un couple (R, ^- R) dont le bras de levier est 00', et dont le moment est R . 00' = Rr. Si donc nous prenons la distance 00' dans un sens tel que l'axe Rr du nouveau couple soit de sens contraire à l'axe W sin 9, et que l'on ait Rr = W sin cp, ces deux couples seront égaux et de sens contraires, et par conséquent, se détruisent. Le système au point 0' se réduit donc à la force unique R et au couple W cos 9 , dont l'axe coïncide avec O'R. Cette droite O'R sera l'axe central.
On conclut de là le théorème suivant :
Théorème. — Tant de forces que Von voudra peuvent toujours se réduire à une seule force et un seul couple dont le plan est perpendiculaire à la direction de la force.
Il résulte de ce qui précède qu'il n'y a qu'une seule manière de réduire les forces à un système tel que celui que nous venons de définir.
296. Propriété. — Pour une origine quelconque y la projection du couple résultant sur la direction de la résultante de translation R, est constante^ et égale au moment du couple minimum.
En effet, soit G le moment du couple minimum ; nous aurons :
G =a W cos ç,
en désignant par W le moment du couple relatif à une origine quelconque, et par 9 l'angle de Taxe W avec R. Or, G est indépendant de l'origine d'où l'on est parti ; par suite W cos 9 = const, et la propriété est démontrée.
Corollaire. — On a évidemment :
LSX H- MSY + NSZ cos (p =
WR
on en tire :
LSX + M2Y + NSZ G «= W cos ç =
Or, le premier membre étant constant, quelle que soit l'origine 0, il en est de même du second membre : mais, la résultante R est aussi constante. Il s'ensuit que l'on a, pour une origine quelconque :
LSX + MSY + NSZ =» const.
297. Propriété. — Si l'on passe d'une origine 0, prise sur l'axe central à une origine 0' située à une distance œ de cet axe, on a :
on en conclut que W augmente indéfiniment avec œ.
Par conséquent, en s'éloignant de Vaxe central^ on trouve des couples toujours plus grands et croissant
sans limite. Mais, chacun d'eux, estimé suivant la direction constante de la résultante de translation, donne une projection égale au couple minimum G (n^ 296).
298. De cette même formule, on conclut les théorèmes suivants :
Théorème I. — Pou7* toutes les origines prises sûr un cylindre de révolutio7i dont Vacce central est Vaxe géométrique, le moment maximum, a la même valeur.
Si l'on imagine différentes origines prises sur une même génératrice de ce cylindre, on obtiendra pour chacune d'elles :
Ro? =» W sin cp, G -= W CCS <p,
d'où :
Ri2?
tgfjf — --r- =« const. Donc :
Théorème IL — Pour les origines situées sur une même génératrice du cylindre^ les axes des moments maximums sont dans un même plan^ et parallèles entre eux.
Si l'on imagine différentes origines, situées sur une même section droite du cylindre, les axes des couples feront le même angle constant avec la génératrice ; par conséquent, ces axes formeront un hyperboloïde de révolution. Donc :
Théorème III . — Pour des origines situées sur une même section droite du cylindre (ou sur une même circonférence dans un plan perpendiculaire à Va^xe central), les moments maximums sont égaux^ et leurs axes formant un hyperboloïde de révolution autour de Vaxe central, et dont la circonférence sera le cercle de gorge.
Enfin, si Ton considère des origines sur des cylindres différents, la formule :
nous donne :
et l'on a le théorème suivant :
Théorème IV. — Pour des origines situées sur des cylindres différents, les moments maximums varient comme les ordonnées d'une hyperbole dont les abscisses sont les rayons de ces cylindres.
299. Équations db l'axe central. — Pour obtenir les équations de l'axe central, il suffira évidemment d'écrire que, pour un point quelconque pris sur cet axe, la force unique cômcide avec Vaxe du couple. Soient donc R et W la force unique et l'axe du couple relatife à une origine 0. Soient 0' un point quelconque de l'axe central, (a, &, c) ses coordonnées, W l'axe du couple relatif à ce point 0', L', M', N' les couples composants de W. Prenons ce point 0' pour ori^ne de trois axes rectangulaires parallèles aux axes primitifs, et soient x\ y\ z' les coordonnées du point m par rapport à ces axes.
La condition de coïncidence de R et W nous donne les équations :
SX 2Y SZ
dans lesqueUes :
L' « S (Zy' — Y^'), M'«SiX^'-Za?'), N'-=SiYa?'— Xy');
mais, on â :
par suite,
L''^I,[Z(î/-b) — Y(z — c]^I,(Zy — Yz)—bIZ + cIY,
ou bien :
L' -« L — &SZ + cSY ;
de même,
M' « M — cSX + aSZ,
N' -= N — aSY + ÔSX.
Les équations de l'axe central sont donc :
