SY "" 2Z

Remarque. — On peut encore trouver ces équations par la théorie des maximums et minimums de la manière suivante :

Soient R et W la force unique et le couple unique relatife à une origine 0, W le couple relatif à une origine 0' (a, &, c). Pour que cette origine 0' soit un point de l'axe central, il faut que W soit un minimum. Or, si nous composons toutes les forces autour de l'origine 0', nous aurons pour les couples composants de W :

L' — L — *SZ + cSY, M' = M — cSX + a2Z, N'=N — aSY + &SX;'

par conséquent :

La condition pour que W soit un minimum nous donne:

da "' db ' de

ou bien :

M'2Z - N'SY = 0, N'SX — VIZ = 0, L'SY — MTX - 0,

équations qui se réduisent aux suivantes

SX SY SZ '

ce sont les équations trouvées ci-dessus.

1. Observons que ces équations nous donnent la relation démontrée précédemment (n» 296) :

L'ZX + M'SN + T'ZZ = U,X + IKT + NZZ =. eonit.

Ces équations nous permettent de déterminer la valeur du couple minimum.

En effet, on a :

SX XY 2Z L'EX + M'EY + N'SZ

LTX + M^SY + N^SZ "" iSX)* + (SY)« + l2Z)« '

Or, des deux derniers rapports on tire :

^2 L'SX + M'SY + N^SZ

L'SX + M'SY + N'SZ B? '

et, en observant que Ton a (n® 296) :

L'SX + M'SY + N'SZ « LSX + MSY + N2Z,

la valeur du couple minimum W est donnée par la formule :

W'R — LSX + MSY + NSZ.

300. Équations de la résultante unique. — Nous avons vu (n^^ 288) que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un système de forces admette une résultante unique est que Ton ait identiquement :

LSX + MSY + MSZ = 0.

Proposons-nous actuellement de trouver les équations de cette résultante, lorsqu'elle existe. Il est évident que si l'on prend pour origine un point quelconque de cette résultante, et si l'on compose toutes les forces autour de cette origine, on devra trouver un couple nul.

Soient donc a^h^ c les coordonnées d'un point 0' de la résultante unique, a?', y\ ^' les coordonnées du point m par rapport à trois axes menés par le point 0' parallèlement aux axes primitifs. La condition W' = nous donne évidemment les trois équations :

ou bien :

L — 6SZ -f cSY « 0, M — ci;x + a2Z==0, N - aSY + ftSX = 0,

lesquelles expriment des relations entre les coordonnées (a, by c) du point 0', satisfaisant à la condition énoncée. Mais, si l'on multiplie ces équations respectivement par SX, SY, SZ, et si l'on ajoute, on obtient :

LSX + MSY + NEZ = 0,

équation identique, puisque le système admet une résultante unique (n*'288). Les trois équations précédentes se réduisent donc à deux qui sont celles de la résultante unique.