CHAPITRE IV

Équilibre d'un corps libre.

301. Nous avons vu qu'un nombre quelconque de forces P, F, P",... appliquées à un solide invariable, peut toujours être remplacé par deux forces dont l'une passe par un point donné (n° 285), ou bien par une force et un couple (n"" 286). Dans le premier cas, il faut pour Véquilibre que les deux forces soient égales et directement opposées ; dans le second cas, il faut que la force unique et le couple unique soient 7îuls séparément.

En effet, dans le premier cas, soient R' et R" les deux forces : si le corps est en équilibre sous l'action de ces forces, il est évident que l'équilibre ne sera pas troublé en rendant fixe un point quelconque du corps pris sur la direction de R'. Mais alors la force R', appliquée en ce point fixe, ne pourra produire aucun eflFet : elle sera détruite par le point ûxe\ Donc, la force R", qui reste seule, devra passer aussi par le point fixe, sans quoi elle tendrait à faire tourner le corps autour du point fixe, et il n'y aurait pas équilibre. La force R'' doit donc passer

1. Un point fixe est un point qui jouit d'une résistance indéfinie ; toute force, quelque grande qu'elle soit, passant par un point fixe, est détruite par ce point.

par un point quelconque pris sur la direction de R', et, par conséquent, les deux forces R' et R" doivent être dirigées suivant une même rfroeY^. Elles doivent, en outre, être égales : car, sans cela, elles auraient une résultante égale à leur somme ou à leur différence, et le solide ne serait pas en équilibre.

Dans le second cas, soient R la force unique et W le couple unique. Nous pouvons transporter ce couple dans son plan (n** 266), de manière que l'une des forces du couple rencontre la force R. Cela posé, si l'équilibre a lieu, il ne sera pas troublé en rendant fixe ce point de rencontre. Or, les deux forces qui passent par ce point sont détruites, et il resterait la deuxième force du couple qui tendrait à faire tourner le corps autour du point fixe. Par conséquent, l'équilibre exige que cette force soit nulle, ce qui réduit le couple W à zéro. Mais, si W = 0, les forces se réduisent à une force unique R, et le solide ne pourrait être en équilibre que si l'on a :

Par conséquent, les conditions nécessaires et suffisantes pour quun corps solide soit en équilibre, sont :

R = 0, W = 0, ou bien (n° 287) :

SX = 0, 2Y = 0, SZ = 0, L = 0, M = 0, N = 0,

ou bien encore :

SX = 0, 2Y = 0, SZ = 0,

S CZy - Y^) == 0, S (Xz — Zœ) « 0, S (Yx - Xy) = 0.

Les trois premières expriment que la somme algébrique des projections des forces sur trois axes rectangulaires est nulle ; les trois dernières expriment que la somme des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires est nulle.

Il en résulte évidemment que ces mêmes conditions ont lieu pour un axe quelconque.

302. Comme application, nous allons chercher les équations de la résultante d'un nombre quelconque de forces^ lorsqu'elle existe,.

Il est évident que si les forces P, P', P'',... admettent une résultante unique R, il y aura équilibre entre les forces P, P', P",... et — R. Soient donc a?^, y^, z^ les coordonnées d'un point de la résultante, que nous prendrons comme point d'application, et écrivons les six équations d'équilibre entre les forces P, P', P",... — R- Nous aurons, en désignant par a, 6, c les angles que R fait avec les axes, les équations :

SX — R ces a = 0,

£Y — R ces & = 0, SZ — R ces c = 0,

S (Zy — Y^) — R (y^ ces c — Zq cos b) = 0,

I,(Xz — Zx) — R {Zq cos a ^ Xq cos c) = 0,

S (Yx—Xy) — R teo cos ô — y^ cos a) « 0.

Or, en ayant égard aux trois premières, nous pouvons mettre les trois dernières sous la forme suivante :