L - yoSZ + ^oSY ^ 0, M — z^IX + a?o2Z

N-a?oi:y+yoSx-o;

€e sont les équations que nous avons trouvées précédemment, et qui se réduisent à deux (n° 300).

303. Remarque, — Les formules relatives à la composition d'un nombre quelconque de forces peuvent encore être mises sous une autre forme. En effet, si nous désignons par a, |3, y les angles que la force P fait nvec les axes, nous aurons d'une part :

SX = SPcosa, SY = SPcosp, SZ .«= SPcosy,

d'où :

R = l/.SPcos a)2 -4- iSPcos ^i* -+- (SPcos y;*;

et, d'autre part.

L =a SP ly ces Y — 4: CCS P), M « SP (^ ces a — 0? CCS y), N = IP (a? ces p — y ces a).

d'où :

W=|/}SP(ycosy— -jcos|3)j2+jSP zcosol - ûjcosy p+j£P(a;cosp— ycosa)}^

Les équations d'équilibre sont alors les suivantes :

2Pcosa = 0, SPcosp==0, SPcosy = 0, SP (y CCS Y — ^ CCS P) = 0, IP (jJ ces a — a? ces y) == 0^ 2P (œ ces p — y ces a) = 0.

Équivalence des systèmes de forces.

304. Un système de forces S est dit équivalent à un autre système de forces S', lorsque ces deux systèmes^ considérés comme agissant sur un solide invariable, peuvent être mis en équilibre, chacun séparément, par un même troisième système S".

Or, pour que les systèmes S et S'' se fassent équilibre, il faut et il suffit que la somme des projections des forces de ces deux systèmes sur une droite quelconque soit nulle, et que la somme des moments de ces forces par rapport à une droite quelconque soit aussi nulle. Pour que les systèmes S' et S" se fassent équilibre, ils doivent satisfaire aux mêmes conditions. Il en résulte donc que, pour que les systèmes S et S' soient équivalents, il faut et il suffit : P que la somme des projections des forces du système S sur une droite quelconque, soit égale à la somjne des projections des forces du système S' sur la môme droite ; 2** que la somme des moments des forces du système S par rapport à une droite quelconque soit égale à la somme des moments des forces du système S' par rapport à cette même droite.

D'après cela, l'équivalence des deux systèmes sera exprimée par les six équations suivantes :

SX = SX', SY = SY', SZ = SZ',

S (ly — Y5) « S Zy — Y'^'i,

S (X^: - Za?) = S [Xz' — Z'x'u

S (Ya? - Xy) =- S {Tx'— X'y'),

dans lesquelles les premiers membres se rapportent au système S, et les seconds membres au système S'.

Conditions d'équilibre d'un nombre quelconque de forces parallèles.

Centre des forces parallèles.

305. Soient P, P', P", . . . un nombre quelconque de forces parallèles. Rapportons le système à trois axes rectangulaires de l'espace ; soient m {œ, y^z), m* {œ\ y\ ^'),... les points d'application de ces forces, «, (3, y leur direction commune.

Si nous transportons toutes ces forces à l'origine, nous obtiendrons trois forces dirigées suivant les axes :

SX = cosaSP,

SY ==cospSP,

SZ =« cosySP,

et trois couples dans lés trois plans coordonnés :

L = 2 (Zy — Y^) = cosySPy — cospSP^,

M = S {X^ — Zx) = CCS alP^: — cos ySPo?,

N = 2 Çix— Xy) = cos^SPo? — cosaSPy.

Or, les trois forces se composent en une force unique :