R^SP

et les trois couples en un couple unique, donné par la formule :

Il est facile de voir que le système se réduit, en général, à une résultante unique : en effet, on a la relation :

LSX + M2Y 4- NSZ = 0,

qui est identiquement satisfaite.

306. Proposons-nous maintenant de trouver les équations de cette résultante unique. Il est d'abord évident qu'elle est parallèle aux forces données F, F', F'... En effet, si Ton désigne par a, J, c les angles de cette résultante avec les axes, nous aurons :

SX cosaSP cos a = -^ = — ^p~ = C.OSCL;

de même,

cos b = cos p, cos c = cos V.

Cela posé, si l'on introduit la résultante unique R en sens contraire, il y a équilibre entre les forces P, P', P",... et la force — R. Désignons par ^^^yo^z^les coordonnées d'un point pris sur la résultante ; nous aurons les six équations :

cosa SP — R ces a = 0,

cosSSP — Rcos p= 0,

cosy SP — R ces y = 0,

ces y SPy — ces p 2P^ — Ry^ ces y -f R^o ^^s P = 0,

CCS a SP^ — cos y SPa? — R^^ ces a + R^^ cos y = 0,

CCS p SPo? — cos a SPy — Rœ^ cos p + Ry^ cos a = 0.

Les trois premières sont des identités ; les trois dernières peuvent être mises sous la forme suivante :

cos y iSPy — R^o) — cos p iJlPz — R^o) == 0, cos a (LPz — R^o) - cos y (LPœ — R^o) = ^»

cos [3 (SPo? — Ra?o) — cos a iSPy — R^o) = ;

or, il est évident qu'elles se réduisent à deux qui sont les équations de la résultante unique.

307. Remarque. — Au lieu de considérer comme point d'application de la résultante R, un point quelconque pris sur la direction de R, considérons comme point d'application le point {œ^, y^, z^), tel qu'en faisant tourner les forces autour de leurs points d'application de manière qu'elles restent parallèles entre elles, la résultante passe

toujours par ce point. Dans ce cas, les équations précédentes doivent être indépendantes de «, jS, y, et l'on a, par conséquent :

IFœ — RXo -= 0, IFy — Ry^ = 0, IPz — Rz^^O; d'où l'on tire :

^0 =• ^p > ^0 — 2P ' ^^ '^ IP

Le point {x^^y^, z^ est le centre des forces parallèles . Ces formules expriment que le moment de la résultante, considérée comme appliquée au centre des forces, par rapport à chacun des trois plans coordonnés, est égal à la somme des moments des composantes par rapport à ces plans.

308. Cas particuliers. — 1° Si 2P « 0, les forces se réduisent à un couple, qui sera donné par la formule :

2"* Si l'on a en même temps 2P = 0, 2P^ == 0, 2Py = 0, IPz — 0, les forces se font équilibre.

Mais, il est évident que les forces données se feront aussi équilibre, si l'on a :

iX = 0, 2Y=0, 2Z = 0, L = 0, M = 0, N = 0, ce qui nous donne les équations suivantes :

vp=0, cosy2Pj/— cosp2P^=0, cosa2;P^--cosY2Pa?=0,

ces ^IPx — CCS aSPy = 0.

Les trois dernières se réduisent aux deux suivantes :

cosa cosP cosy*

Donc, les conditions d'équilibre d'un système de forces parallèles sont les suivantes : Il faut et il suffit que la somme algébrique des forces données soit nidle, et que les sommes des moments des forces par rappo7H à trois plans rectangulaires soient p^^oportionnelles aux cosinus des angles que- la direction commune des forces fait avec les a^es perpendiculaires à ces plans.

Remarque. — Si le système est tel que Ton ait 2P = 0, sans que l'on ait en même temps :

IPx IFy IPz cosa cosfJ *^ cosy'

la résultante des forces parallèles est nulle, et l'on a alors ^o^Vo "^ ^0 "^ ^^' Il s'ensuit que les forces se réduisent à un couple.

309. Théorème. — La somme algébrique des moments d'un système de forces parallèles par rapport à un plan passant par le centre des forces est égale à zéro.

En effet, si Ton prend ce plan pour plan des œy, on aura z^ « 0, et par conséquent IPz « 0.

Réciproquement, si la somme des moments par^ rapport à un plan est mdle, le centre des forces parallèles est dans ce plan.