CHAPITRE V

Équilibre d'un solide qui n'est pas entièrement libre.

310. Les six équations d'équilibre que nous avons trouvées (n"* 301) supposent que le corps auquel les forces sont appliquées est libre dans l espace, c'est-àdire que ce corps n'est retenu par aucun obstacle, qu'il n'est soumis à aucune condition particulière.

Lorsqu'il en est autrement, le corps n'est pas libre, et Ton dit qu'il est assujetti à des liaisons. Ainsi, certains points du système peuvent être assujettis à demeurer sur des courbes fixes, ou sur des surfaces fixes, ou à conserver des positions fixes.

On dit qu'un système est à liaisons complètes, lorsque ces liaisons sont suffisantes pour déterminer les trajectoires de chacun des points. Ainsi, par exemple, un corps solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe est un système à liaisons complètes : chaque point est forcé à décrire une circonférence autour de l'axe.

Lorsqu'un corps est assujetti à des liaisons, on peut concevoir que ces liaisons soient remplacées par des forces capables d'obliger le système à satisfaire aux mêmes conditions.

Si le système renferme un point fixe, on pourra remplacer la fixité du point par une force convenable appliquée en ce point. C'est la réaction du point fixe : la direction et l'intensité de cette force sont inconnues.

Si deux points matériels doivent rester à une même distance l'un de l'autre, par une tige de longueur constante, on pourra remplacer cette liaison par deux forces égales et contraires, appliquées aux deux points : ces deux forces appartiendront à la catégorie des forces intérieures (n^ 244).

Si un point du corps est assujetti à demeurer sur une surface fixe, ou sur une courbe fixe, une force égale à la réaction normale de la surface ou de la courbe, peut produire le même effet.

Si le corps solide a deux points fixes, les forces qui tiennent lieu de ces liaisons sont les réactions des points fixes. Ce sont des forces extérieures, au même titre que les forces appliquées aux autres points.

311. Principe fondamental. — Lorsque des forces agissent sur un solide retenu par des obstacles fixes, on ohlienl les conditions d'équilibre, en joignant aux forces P, P', P",... qui sollicitent le corps^ les réactions que les obstacles fixes exercent sur lui. On peut alors considérer le corps comme entièrement libre, et lui appliquer les six équations ^équilibre.

Si l'on élimine entre les équations ainsi obtenues les réactions inconnues provenant des obstacles, on obtiendra un certain nombre d'équations ne contenant plus que les données de la, question, c'est-à-dire les composantes des forces P, P', P",... et les coordonnées de leurs points d'application : ces équations exprimeront les conditions d'équilibre. Si l'on suppose ces conditions vérifiées, les équations primitives serviront à

déterminer les réactions inconnues, et, par conséquent, les pressions exercées par le solide sur les obstacles fixes, puisque ces pressions sont égales et opposées aux réactions des obstacles.

Équilibre d'un corps solide qui a un point fixe.

312. Première méthode. — Si l'on prend le point fixe pour origine, et si l'on y transporte toutes les forces parallèlement à elles-mêmes, on obtient trois forces 2X, 2Y, 2Z, dirigées suivant les axes, et qui seront détruites par la résistance du point fixe, et trois couples L, M, N, situés dans les trois plans coordonnés. Or, l'équilibre exige que ces couples soient nuls : car, s'ils n'étaient pas nuls, ils se composeraient en un couple unique, et l'on pourrait transporter ce couple dans son plan (n** 266), de manière que l'une de ses forces passe par le point fixe, qui la détruirait. Il resterait donc une force ne passant pas par ce point fixe, et qui mettrait le corps en mouvement. Les conditions nécessaires et suffisantes pour Véquilibre du système sont donc :

Le point fixe n'est sollicité que par la résultante des forces 2X, 2Y, 2Z : cette résultante est donc égale et opposée à la force que doit développer ce point pour établir l'équilibre. Cest la pression exercée sur le point fixe.

313. Deuxième méthode. — On peut d'ailleurs obtenir les conditions d'équilibre de la manière suivante :

Nous pouvons supprimer le point fixe, et, par conséquent, rendre le corps libre, en introduisant une force Rj, égale à la réaction de ce point. Le corps solide sera alors en équilibre sous l'action des forces données P, P', P",... et de la force Rj, et, comme il est libre, nous pourrons lui appliquer les six équations d'équilibre K 301).

Prenons le point fixe pour origine de trois axes rectangulaires; soient X, Y, Z les composantes d'une des forces P appliquées au solide, M (a?, y, z) son point d'application, Xj , Y^ Z^ les composantes de la réaction R^ inconnue. Nous aurons les six équations suivantes :

SX + X, = 0, SY + Yi «= 0, 2Z -f Zj = 0, (1)

Les équations (2) ne renferment que les données de la question : ce sont les conditions d'équilibre. Donc, pour qiCun corps solide , qui a un point fixe^ soit en équilibre, il faut et il suffit que la so^nme des moments des forces données par rapport à trois axes rectangulaires passant par ce point soit nulle.

Il est évident que la somme des moments des forces sera nulle pour tout autre axe passant par ce même point (n° 291).

Les équations (1) feront connaître les composantes de la réaction R, du point fixe, et, par suite, elles déterminent cette réaction en grandeur et en direction. On a, en effet :

Xj ^ SX, Yi = — SY, Zi = — SZ.

La pression exercée par le corps sur le point fixe étant égale et contraire à la réaction de ce point sur le corps, ses composantes sont — Xj, — Yj, — Z,, ou bien 2X, 2Y, 2Z. On en conclut que cette pressio7t, ou la

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charge sur le point d'appui, est égale à la résultante des forces données transportées parallèlement à elles'mê7nes en ce point.

Remarque. — Comme nous admettons que le point fixe est capable d'une résistance indéfinie, il est évident qu'il développera une réaction suffisante pour maintenir le point en équilibre. Si Ton ne supposait pas que le point puisse résister indéfiniment, il faudrait, pour que l'équilibre ait lieu, joindre aux conditions exprimées par les équations (2), la condition que la résultante des forces données transportées au point ne soit pas supérieure à la pression à laquelle ce point peut résister.

Equilibre d'un corps solide qui a un axe fixe.

314. Première méthode. — Il est d'abord évident que l'on peut remplacer un axe fixe par deux points fixes et , pris sur cet axe. En effet, si deux points du système sont fixes, tous les points de la droite qui les joint sont fixes.

Prenons un des points fixes pour origine, par exemple le point 0, et menons par ce point trois axes rectangulaires, l'axe 00' étant pris pour axe des z. Si l'on compose tbutes les forces autour de l'origine 0, on obtiendra une force unique qui sera détruite par la fixité du point 0, et trois couples dans les trois plans coordonnés. Or, les couples situés dans les plans des yz et des zx sont détruits par la résistance de l'axe : en effet, on peut transporter les bras de levier de ces couples sur l'axe, et alors les deux forces de chacun d'eux sont détruites par la résistance de l'axe. Il ne reste donc que le couple N situé dans le plan des œy, et

l'équilibre exige que ce couple soit nul : car, s'il n'était pas nul, en le transportant de manière que l'une des forces passe par le point 0, cette force serait détruite, et l'autre force ferait tourner le système autour de l'axe OZ. La condition d'équilibre est donc :

Donc, la condition nécessaire et suffisante pour Véquilibre est que la somme des moments des forces par rapport à Va^e fixe soit égale à zéro.

Si le corps peut glisser le long de l'axe, en même temps que tourner autour de cet axe, ce qui arrive si le corps est traversé par une tige fixe et inflexible, les forces 2X et 2 Y, perpendiculaires à l'axe, seront détruites par la résistance de l'axe, ainsi que les couples L et M ; mais la force 2Z ne sera pas détruite. Les conditions d'équilibre seront alors :