Deuxième méthode. — Les axes étant pris

comme ci -dessus, .nous pourrons supprimer les points fixes, et, par conséquent, rendre le corps libre, en introduisant deux forces convenables R^ et Rg qui sont les réactions de ces points fixes (fig. 101).

Le corps solide sera alors en ^ équilibre sous l'action des forces données P, F, P", . . .

et des deux forces Rj etR^, et, comme il est libre, nous pourrons lui appliquer les six équations d'équilibre.

Soient donc X^,Y^,Z^, X^,Y^,Z^ les composantes des deux forces R^ et R^, A la distance 00' ; nous aurons les six équations suivantes :

2X + Xi+X,=0, 2Y+Y^ + Y,= 0, 2Z-hZi+Z,=0, (1) L — Y,A = 0, M + XjA-0, N = 0. (2)

La dernière des équations (2) ne renferme que les données de la question : c'est la condition d'équilibre.

Les cinq autres équations serviront à déterminer les réactions des points fixes. Les deux premières équations (2) nous donnent X^, Y^, et alors les deux premières équations (1) déterminent X^, Yj.

La troisième équation (1) donne la somme Z^ + Z^ des composantes des réactions suivant la direction de l'axe, et ces deux composantes restent individuellement indéterminées. Ce résultat était facile à prévoir : en effet, le corps étant de forme invariable, nous savons (n*" 246) qu'une force peut être appliquée en un point quelconque de sa direction, sans que cela altère le mouvement ou l'équilibre du corps, et, par suite, les réactions Z^ et Z, peuvent être distribuées comme on voudra sur chacun des points et 0', pourvu que leur somme reste constante.

Équilibre d'un corps solide qui s'appuie contre un plan fixe.

316. Cîonsidérons d'abord un corps pressé contre un plan fixe en un de ses points par une force passant par ce point. La condition nécessaire et suffisante pour Féquilibre, est que la force qui passe par le point de contact soit normale au plan.

Cette condition est suffisante : en effet, si la force est normale, le corps sera en équilibre, puisqu'il n'y a pas de raison pour qu'il se déplace dans un sens plutôt que dans l'autre ; la condition est nécessaire : car, si la force est oblique au plan, on pourrait la décomposer en deux autres, l'une normale au plan, et l'autre située dans le plan. La première ne ferait qu'appuyer le corps sur le plan, et la seconde aurait pour effet de déplacer le corps.

La même conséquence s'appliquerait au plan tangent, si le corps est pressé contre une surface courbe par une force passant par le point de contact.

317. Considérons maintenant un corps sollicité par plusieurs forces P, P', P",... et s' appuyant sur un plan Q par un de ses points 0, ou sur une surface courbe dont le plan Q serait le plan tangent en 0. Supposons qu'il y ait équilibre : si l'on supprimait le plan, le point prendrait un certain mouvement dans une certaine direction, et, pour maintenir le point en équilibre, il faudrait appliquer suivant cette direction une force déterminée qui remplacera donc la résistance du plan. Puisqu'il y a équilibre, il faut que cette force soit égale et opposée à la résultante des forces P, F, P",...

Par conséquent, il faut que ces dernières aient une résultante unique, normale au plan, et passant par le point d'appui.

D'ailleurs, les équations d'équilibre nous conduisent facilement à ces résultats. Considérons, en eflfet, un corps pressé contre un plan au point : prenons ce plan pour plan des œy, le point pour origine, l'axe des z étant dirigé du côté du plan où se trouve le corps solide. La résistance du plan pouvant être remplacée par une force normale R^ , nous aurons :

SX = 0, SY = 0, 2Z + Ri == 0, L = 0, M = 0, N « 0.

Ces équations expriment que les forces données admettent une résultante unique, puisque l'on a identiquement :

LSX + MSY + NSZ « ;

des deux premières équations, on conclut que cette résultante unique est verticale et passe par le point 0. La troisième nous apprend que la résultante qui se réduit à SZ est égale à la pression supportée par le plan : de plus, cette résultante doit être négative, en vertu de cette même équation :

SZ + Rj = 0.

Donc, les conditions d'équilibre sont :

SX = 0, ÏY^O, SZ<0, L««0, M**0, N-=0.

Ri

Rb

318. Supposons ensuite que le corps repose sur le plan fixe par deux de ses points et A. Prenons le plan pour plan des œy (flg. 102), la droite OA pour axe

des œ, l'origine au point ^'^' ^^^' 0, Taxe des z étant dirigé

du côté du plan où se trouve le corps solide, et posons OA = a. Nous pouvons remplacer la résistance du plan par

^ deux forces Rj et R^,

normales à ce plan. Puisqu'il y a équilibre, la résultante de ces deux forces, laquelle a son point d'application entre les points et A, doit être égale et contraire à la résultante des forces données. Cette résultante doit donc être normale au plan, et son point d'application doit être situé entre et A.

D'ailleurs, les six équations d'équilibre nous donnent :

SX =«0, SY =^ 0, SZ + Ri + Kg = 0, L = 0, M — R,a =« 0, N « 0.

Les équations :