X-0, SY=0, N

ne renferment que les données du problème : ce sont donc les conditions d'équilibre. Elles expriment que les forces données ont une résultante unique, puisque Ton a identiquement :

LSX + MSY + NSZ = 0.

De plus, puisque SX = 0, S Y = 0, cette résultante unique est normale au plan. Les trois autres équations serviront à déterminer les réactions des points fixes, et, par conséquent, les pressions exercées par le corps sur les points d'appui. La troisième équation nous apprend que la résultante des forces données, c'est-à-dire SZ est négative.

Propriété. — Le point d^application de la résultante des forces P, P', P",... doit se trouver à Vintérieur du triangle ABC formé par les trois points dC appui.

En effet, prenons pour axe des œ la droite AB passant par deux des points d'appui, de manière que le troisième sommet soit du côté des y positifs ; soient — R la résultante, laquelle est négative, œ^, y^ les coordonnées de son point d'application, c'est-à-dire du point où elle rencontre le plan des œy. Il est évident qu'il y aura équilibre entre les forces Rj, R,, R3 et la force — R; nous aurons donc les équations suivantes :

— Rj/o -f Rs^ « 0, Ra?o — R.a — R36 = 0.

De la deuxième équation on tire :

par conséquent, y^ est positif, c'est-à-dire que le point d'application de la résultant.e est situé du côté des y positifs. Il est évident que le même raisonnement s'appliquerait dans le cas où l'on prendrait AC ou BC pour axe des X; par suite, le point d'application de la résultante est à l'intérieur du triangle ABC.

Remarque. — Dans le cas particulier où les troïs points d'appui seraient en ligne droite, on aurait c — 0, et les équations restantes :

IZ -f R, + R, + R3 = 0, M — Rjja — R36 == 0,

seraient insuffisantes pour déterminer R^, R^, R3.

320. Soit maintenant un corps solide qui s'appuie par un certain nombre de points contre un plan fiœe^ que nous prendrons pour plan des œy^ Taxe des z étant dirigé du côté du plan où se trouve le corps solide. Les réactions du plan fixe aux différents points de contact sont normales à ce plan, donc parallèles à l'axe Oz\ de plus, puisque nous supposons le corps simplement appuyé, elles sont dirigées dans le sens des z positifs.

Nous pouvons considérer le corps comme libre, en joignant aux forces P, P', P",... les réactions des points ^ d'appui que nous désignerons par Rj, R^,... R». Soient (^1» Vi)^ (^2» yî)»'-' (^n , Vn) les coordonnées de ces points d'appui. En appliquant les six équations d'équilibre d'un corps libre, nous aurons :

SX « 0, SY = 0, ÎZ + R, + Rg -t- ... + Rn = 0,

L + RiJ/i + Rgî/t + .-. + Rn^n = 0, M — - RjO?! — RgOJj — ... — KnCOn «=- 0,

Les deux premières et la dernière sont les seules qui ne renferment que les données du problème : ce sont donc les conditions d'équilibre. Elles expriment que les forces données ont une résultante unique, puisque Ton a identiquement :

LSX + MSY + NSZ = 0.

De plus, puisque SX = 0, 2Y = 0, cette résultante est parallèle à Taxe des z ; par conséquent, elle est normale au plan. Les trois autres équations expriment les relations entre les données du problème et les réactions des points d'appui. Ces équations étant au nombre de 'trois, il s'ensuit qu'elles ne peuvent servir à déterminer que trois inconnues. Si donc le nombre des points d'appui est supérieur à trois, le problème sera indéterminé. D'ailleurs, l'équation SZ + R^ + R, + ... + R^ = 0, nous apprend que la résultante des forces données, ou £Z, est négative.

Propriété. — Le point cTappUcation de la résultante des forces données est situé à ^intérieur du polygone convexe formé par les points d'appui^ c'est-à-dire du contour que Von obtient en supprimant les parties rentrantes du polygone effectif.

Pour démontrer cette propriété, désignons par — R la résultante des forces P, P', P",... laquelle est négative, et par a?^, y^ les coordonnées du point où elle rencontre le plan des xy, l'axe des x passant par deux des points d'appui A et B, de telle manière que tous les autres points d'appui soient situés du côté des y positifs. Il y aura évidemment équilibre entre les forces Rj , R^ , . . . . Ryi et la force — R, et nous aurons les équations suivantes :

— R -|- Rj -]- R2 H" ••• "4" R/t ** 0,

— Ryo + Rgî/a + KVé + ..• -4- Rn^n = 0,

RXq — RjO?! — RjjOJg — - ... — Rn^n = ; de la deuxième on tire :

^3^3 + R4y4 - ^ — + i^^yn

Par conséquent, y^ est positif, c'est-à-dire que le point d'application de la résultante est situé du même côté de. la droite AB que les autres sommets du polygone. On pourrait appliquer le même raisonnement en prenant pour axe des œ un côté quelconque du polygone laissant les autres sommets d'un même côté. Par conséquent, le point d'application de la résultante est à l'intérieur du polygone convexe formé par les points d'appui.