CHAPITRE VI

îe du centre de gravité.

321. Tous les corps abandonnés à eux-mêmes prennent un mouvement vers l'intérieur de la terre, dans une direction perpendiculaire à la surface des eaux tranquilles. Cette direction s'appelle la verticale. Quand ils sont retenus, ils exercent une pression sur l'obstacle qui les retient. La force qui sollicite tous les corps vers le centre de la terre, exerce son action d'une manière continue. La cause de ces phénomènes est \q, pesanteur ou gravité. Le mouvement que la pesanteur communique aux corps est rectiligne et uniformément varié : on en conclut que la pesanteur est une force constante (n** 189). Cette force est dirigée suivant la verticale; elle change de direction avec la position du point considéré à la surface de la terre, et elle agit de haut en bas : son intensité change quand on s'éloigne ou qu'on s'approche du centre. Ces variations sont insensibles pour des points peu éloignés les uns des autres ; par suite, pour des points peu éloignés, on peut considérer les forces comme parallèles.

On trouve que Vaccélération du mouvement dû à la pesanteur a la même valeur pour tous les corps en un même lieu, et, par conséquent, pour tous les points matériels ; cette valeur est 9,8088 à Paris ; elle est

égale à la vitesse acquise au bout d'une seconde par un corps tombant librement dans le vide. On la désigne par p, et l'on a :

On en conclut que, si p désigne V intensité de la pesanteur sur un point de masse m, on a :

p^mg;

donc, la force que la pesanteur exerce sur un point matériel, est mesurée par le produit de la masse de ce point et du nombre constant g : elle est donc proportionnelle à la masse.

322. Si maintenant on considère un corps solide, la pesanteur sollicite les points intérieurs comme les points de la surface du corps. Les dimensions du corps étant très petites par rapport à celles de la terre, il s'ensuit que les forces qui agissent sur les divers éléments d'un corps peuvent être considérées comme sensiblement parallèles. Il résulte de la théorie des forces parallèles (n^ 251) que ces forces ont une résultante unique, parallèle à ces forces, et égale à leur somme. Cette résultante est le poids du corps. Elle passe toujours par un point déterminé du corps, et ce point est indépendant de la direction des forces par rapport au corps, ou, ce qui revient au même, du corps par rapport aux forces : c'est le centre de gravité du corps.

323. Il résulte de ce qui précède et des lois de la composition des forces parallèles le théorème suivant :

Théorème. — Si Von connaît les centres de gravité d'un noinbre fini de points massifs isolés^ on trouve le centre de gravité du système en appliquant les formules de la composition des forces parallèles.

Nous aurons donc (n** 307), en désignant par p le poids d'un point massif, par x, y, z les coordonnées de ce point, par P le poids total du système, par a?j, y^, ^^ les coordonnées de son centre de gravité :

P = Sp, Pâ?i = S/}â7, Py^ = Spy, P^^ == "Lpz, d'où :

^1 "" Ti > 2^1 "^ U "» -2^1

Remarque I. — On peut transformer ces formules en introduisant les masses au lieu des poids. En effet, soient m la masse du point (a?, y, z), M la masse totale du système, nous aurons, en vertu de la formule^ =» mg ;

P = i:^mg «= gHm = Mg ;

donc, le poids (Tun corps quelconque est le produit de sa masse par le nombre constant g.

Les formules ci-dessus deviennent alors, en supprimant le facteur commun g :

Sma? Smy Sm^

^i^TT'^ Vi xr> ^

On voit que ces dernières formules ne renferment plus de traces de l'action de la pesanteur. Il s'ensuit que la restriction que nous avions faite primitivement que les dimensions du corps étaient très petites par rapport à celles de la terre, peut être abandonnée. Les formules précédentes donneront le centre de gravité du système, quelles que soient ses dimensions.

Remarque IL — Si Ton considère un système formé de la réunion de plusieurs corps solides, dont on connaît les centres de gravité respectifs, on pourra déterminer le centre de gravité du système par les formules :

Jlmœ llmy Jiniz

m désignant la masse de Tun des corps du système, a?, y, z les coordonnées de son centre de gravité, M la masse totale du système, cc^^y^, z^ les coordonnées du centre de gravité du système.

Remarque III. — Si le plan des œy passe par le centre de gravité du système, on aura z^ — ; par conséquent :

"Zpz = ou Ymz = 0.

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Dans un systètne de points massifs^ la somme des momeyits est nulle par rapport à tout plan passant par le centre de gravité du système.

Remarque IV. — Si le centre de gravité est sur Vun des axes, par exemple sur l'axe des ^, on a : a?i = 0, y^ =0; par suite,

Smo? «= 0, Smy — 0.

Remarque V. — Si Vorigine est au centre de gravité^ on a : â?j = y j « >3:i = ; par suite,

Smo? -= 0, S wy «= 0, Ymz =• 0.

Propriétés des centres de gravité.

824. Soit un système de points pesants M, M', M",... et soit G le centre de gravité de ce système. Nous aurons :

Cela posé, désignons par r, r*, r",... les distances des points M, M', M",... à l'origine, et par r^ la distance du centre de gravité, «, |3, y les angles de r avec les axes, *i» Pi> Vi 1^ angles de r^ avec les axes ; on a :

a?i «»r,cosai, yi^rjCosPi, ^i^rjCcsyi, a? = rcosa, ye=rcosp, ;3r = rcosy.

Les formules précédentes nous donnent alors :

Pri CCS a^ = Spr cos a, Pr 1 cos Pi = Spr cos p, PriCOSYi = S^orcosY.

Si le centre de gravité G est pris pour origine, on a r^ = 0, et il vient :

Sjorcosa — 0,

2prcosp = 0,

SprcosY = 0.

De ces formules on conclut le théorème suivant :

Théorème. — Si sur les droites qui joignent les centres de gravité de différents points massifs au centre de gravité du système^ on prend des forces égales à pr^ p'r\... ou proportionnelles à ces produits^ ces forces se feront équilibre autour du centre de gravité.

326. En particulier, si les points massifs ont des poids égaux, il vient :

Srcosa = 0, 2!rcosP = 0, ïrcosy = 0,

et l'on a le théorème suivant :

Théorème. — Si Von considère un système de points massifs égaux, et si Von joint leurs centres de gravité respectifs au centre de gravité du système, des forces représentées en grandeur et direction par ces droites, se feront équilibre autour du centre de gravité du système.

Réciproquement, lorsque des forces se font équilibre autour d'un même point, ce point est le centre de gravité d!un système de points également pesants placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces.

En effet, soient F, F, F',... les forces qui se font équilibre autour du point 0, X, Y, Z les composantes de F ; les équations d'équilibre sont :

SX==0, SY = 0, 2Z = 0.

Or, X, Y, Z sont les coordonnées de l'extrémité de la force F : si ;> est le poids du point pesant placé à l'extrémité de chacune des forces, les coordonnées du centre de gravité du système de points pesants sont données par les formules :

Donc, le centre de gravité du système de points est à l'origine, c'est-à-dire au point d'application des forces F, F, F'...

326. Proposons-nous maintenant de trouver la relation qui eociste entre les distances d'un certain nombre de points massifs à un point fixe, leurs distances mutuelles, et la distance du centre de gravité au point fixe.

Reprenons les formules :

Pa?j « po? + pW+p"x" + ...,

Pyi - py + py + p"y" + -.,

FZj^ « p^: + p'jar' -1- pV + ...;

élevons au carré, et ajoutons, il vient :

pVj» — ph^+ p V« + p'^r''^ + ...

+ 2pp' (xx' +VJ/'+ zz^ + 2pp" (xx'* + yy" +zz") + ... + 2p'p" (xfx^f + yy + ^V') + ...

Or, on a (flg. 104) :

MM' « (a? — x'Y + (y — yY + {z — zf

Fig. 104.

d'où:

2 (â?a?' + yy' + zz") »= r« + r'« — MM' .

Par suite,

+ pp (r« + r'2 — MM' ) + pp' (r» + r"*— MM" ) + .•

+ pY (^* + ^'* — M'M" ) + ...

ou bien :

ptr,« = pr« (p + p' + jd" + ...) + py« (p + />' + p" + ...)

— pp . MM'* — pp" . MM" — p'p" . M'M"' — .

= P2pr« — Spp'82,

en désignant pay^ à la distance entre deux quelconques des points donnés; Si Ton remplace les poids par les masses, il vient :

d'où :

Smr* = Mr^* +

Donc, la somme des produits que Von obtient en multipliant la mxisse de chaque point matériel par le carré dé sa distance au point fixe est égale au produit de la masse entière concentrée au centre de gravité par le carré de la distance du centre de gravité au point fi^Cy augmenté du rapport de la somme des produits des masses deux à deux par le carré de leur distance, divisée par la masse totale du système.

REaiARQUB I. — Dans la formule qui précède, le second membre se compose de deux parties : la seconde est indépendante du point fixe 0, la première ne dépend que de la distance OG du centre de gravité du système au point 0. Il en résulte donc que Smr* sei'a constant, lorsque rj = const.; donc, la somme Smr^ reste constante lorsque Vorigine se déplace ^ur une sphère ayant son centre au centre de gravité du système.

Remarque II. — De cette même formule, il résulte encore que Swir^ sera minimum pour r^ = 0, c'est-à-dire lorsque Vorigine coïncidera avec le centre de gravité du système.

327. Propriété. — La somme des produits des masses des différents points du système par les carrés

de leurs distances à un point fixe^ est égale à la même somme prise par rapport au centre de gravité G, augmentée du produit de la masse entière^ supposée concentrée au centre de gravité, par le carré de la distance r^ du centre de gravité au point fixe 0.

Désignons par a?j, y^ z^ les coordonnées du centre de

gravité G (flg. 105), par

Fig. 105.

cOyy, Z les coordonnées du point M par rapport au point fixe 0, et par ccf, f/, z^ les coordonnées de ce point M par rapport à trois axes parallèles passant par le centre de gravité G ; nous aurons :

par suite :

œ^œ^+af, y^Vi+y',

+ 2a?i "Zmx^ + 2y 1 Swiy' + 2z^ ^mz\

Or, l'origine des coordonnées x\ y\ z^ étant au centre <ie gravité, on a (n* 323) :

"ïmoi «. 0, Y.^'^ «« 0, YmTl = ;

par conséquent, il vient, en désignant par p la distance du point M au centre de gravité, et par r ^ la distance OG :

ce qui démontre la propriété énoncée.

Remarque. — En combinant cette formule avec la précédente, on a la relation :

M2mp* = I,m7n'ZK

Centre de gravité d'un solide invariable.

388. Un corps solide étant un assemblage de molécules placées à distance les unes des autres, il s'ensuit que nous pourrions obtenir te centre de gravité d'un corps au moyen des formules précédentes, si nous pouvions déterminer les masses des différente» molécules. Mais cette détermination n'étant pas possible^ nous serons obligés de transformer nos formules.

A cet effet, nous allons rappeler quelques notions dont nous aurons à faire usage.

On dit qu'un corps est homogène^ lorsqu'il présente dans tous les sens une constitution physique identique. Dans un corps homogène, des volumes égaux ont des poids égaux : pour deux corps homogènes différents, le poids est différent pour des volumes égaux.

Le poids spécifique d'un corps homogène est le poids de l'unité de volume : c'est le rapport du poids d'un

certain volume à ce volume. En désignant par w le poids

p spécifique d'un corps homogène, on a w = ;rT. L'unité de

poids est le gramme, ou le poids d'un centimètre cube d'eau distillée : le poids spécifique d'un corps homogène est donc le nombre de grammes que pèse un centimètre cube de la substance qui constitue ce corps.

La densité d'un corps homogène est le rapport de la masse qu'il renferme sous un volume quelconque à ce volume. Si donc p désigne la densité d'un corps homogène, V son volume, nous aurons :

^, d'où M=-Vp,

Dans les corps hétérogènes, le poids n'est pas proportionnel au volume. On considère alors un élément très petit du corps, et le rapport dti poids de cet élément à son volume est le poids spécifique moyen de cet élément. Si le volume de l'élément tend vers zéro, ce rapport tend vers une limite qui est \e poids spécifique du corps en un point de ce corps où se trouve l'élément. Si la nature de la substance varie d'une manière continue, le poids spécifique est une fonction continue des coordonnées des différents points. Le poids spécifique en un point(a?, y, z) est donc ime fonction des coordonnées de ce point.

De la même manière, le rapport de la masse d'un élément du corps à son volume est la densité moyenne de cet élément, et l'on appelle densité d'un corps en un point (Xy y, z) la limite du rapport précédent, lorsque le volume de l'élément renfermant ce point tend vers zéro. ^La densité d'un corps en un point {x, y, z) est donc une fonction continue des coordonnées de ce point. Pour

les corps homogènes, cette fonction se réduit à une constante.

329. Ces principes établis, pour trouver le centre de gravité d'un corps solide, on conçoit que la matière qui compose le corps soit continuCy c'est-à-dire qu'elle soit répandue dans la totalité de l'espace représenté par son volume apparent. Cette hypothèse n'a pour eflEet que de déplacer de quantités infiniment petites les points d'application des forces, et il n'en résultera aucune erreur appréciable dans les résultats. Cela posé, on suppose le corps décomposé en éléments très petits, chacun de ces éléments étant complètemenl rempli de matière. Soit d<ù le volume d'un élément, la masse de cet élément sera prfo), en désignant par p la densité au point (a?, y, z) où se trouve cet élément. D'ailleurs, à cause de la petitesse de l'élément, on peut regarder a?, y, z comme ayant les mêmes valeurs en tous les points de cet élément.

Nous aurons ainsi, en désignant par a?j, y^, z^\&& coordonnées du centre de gravité du corps, les formules suivantes :

M= fpdtù, MrPj^ / pœd(ù, Myi= fpydtù, M;3:i= / pzdtù.

Dans le cas particulier où le corps est homogène^ p est constant, et il vient, en désignant par V le volume du corps :

^ fxdii) fydiù j zdiù

^pJdiù^pY, œ,^^L—, y^«-L-, ^^ = ,L.

Remarque. — Il est facile de trouver la relation qui existe entre le poids spécifique m et la densité p. En

effet, rf» étant le volume d*un élément, le poids de cet élément sera wd(ù ou bien gpdcù. On a donc :

^ffP'

330. Il existe certains théorèmes qui permettent de simplifier la recherche du centre de gravité d'un solide homogène :

V Si la surface d'un corps est symétrique par rapport à un plan P, le centre de gravité est situé dans ce plan de symétrie. Imaginons une série de droites parallèles et infiniment voisines dans le plan de symétrie P, puis un autre système de droites parallèles entre elles, et perpendiculaires aux premières. Nous découpons ainsi le plan en rectangles infiniment petits. Cela posé, considérons ces rectangles comme bases de prismes droits prolongés des deux côtés du plan, puis coupons ces prismes par des plans paï^allèles au plan P, infiniment voisins et symétriques par rapport à ce plan de part et Vautre. Nous aurons ainsi décomposé le solide en éléments symétriques deux à deux par rapport au plan P : or, deux éléments symétriques ayant môme volume et même poids, le point d'application de la résultante de ces deux poids sera au milieu de la droite qui joint ces éléments, et, par conséquent, dans le plan de symétrie. Nous aurons donc, en résumé, une série de résultantes partielles ayant leurs points d'application dans le plan P. Par conséquent, le point d'application de la résultante de ces résultantes partielles, ou le centre de gravité du solide sera dans le plan P.

2** Si la surface dun corps a un plan diamétral^ le centre de gravité du solide est dans ce plan.

La démonstration de cette propriété est analogue à la précédente.

3® Si la surface d^un corps a un acce de symétrie, le centre de gravité du corps est sur cet axe.

Il est évident que Ton peut décomposer le corps en éléments qui seront deux à deux de même poids et sjrmétriques par rapport à l'axe. Or, la résultante des poids de deux éléments symétriques aura son point d'application sur cet axe. Nous aurons ainsi une série de résultantes ayant leurs points d'application sur l'axe ; donc, le centre de gravité du corps sera sur cet axe.

4** Si la surface d'un corps a un centre de figure^ le centre de gravité coïncide avec ce centre de figure.

En eflTet, on peut décomposer le corps en éléments qui sont deux à deux égaux et symétriquement placés par rapport au centre de figure. Or, la résultante des poids de deux éléments symétriques aura son point d'application au centre de figure ; donc, le centre de gravité du corps sera en ce point.

Centre de gravité des lignes et des surfaces.

331. Les surfaces et les lignes ne peuvent avoir de poids. Cependant, on considère souvent le centre de gravité d'une ligne ou d'une surface. A cet effet, on suppose la ligne ou la surface comme étant matérielle par la considération suivante : supposons qu'un solide s'étende suivant un plan, ou suivant ime surface courbe quelconque, et qu'il présente partout une épaisseur très petite dans le sens de la normale à la surface plane ou courbe. On pourra faire abstraction de l'épaisseur, et imaginer toute la matière qui compose ce corps solide comme répandue sur la surface plane ou courbe.

La surface sera ainsi considérée comme matérielle, et, par conséquent, comme ayant un centre de gravité.

Les mêmes raisonnements s'appliquent à une ligne droite ou courbe.

Le centre de gravité d'une ligne ou d'une surface est donc le centre de gravité d'un système de points matériels qui seraient répartis sur la ligne ou la surface. Pour pouvoir déterminer le centre de gravité, on devrait connaître la loi de répartition de la matière sur la ligne ou sur la surface. On suppose ordinairement la ligne ou la surface homogène^ c'est-à-dire que tous les éléments de même étendue renferment la même quantité de matière.

332. Centre de gravité d'une ligne. — Désignons par S la longueur totale de la ligne, et par ds la longueur de l'élément. La ligne étant supposée homogène, les poids et les masses des différents éléments sont proportionnels à leurs longueurs, et nous aurons :

S =» / d^, Sa?i = I œds, S^i « fyds, S^i = izds.

Si la courbe est rapportée à trois axes rectangulaires, on a :

~- et ^ étant les dérivées de y et de z, par rapport à x,

fournies par les équations de la courbe proposée. Les limites des intégrales se rapportent aux extrémités de l'arc donné.

Si la courbe est plane, il est évident que son centre de gravité est situé dans son plan. Les coordonnées oo^, y^

du centre de gravité, rapportées à deux axes rectangulaires pris dans le plan de la courbe, sont données par les formules :

S = fds, Sœ^ = foods, Sy^ = fyds.

dans lesquelles on a :

ds •= dœ\/l +

Remarque. — On pourra d'ailleurs profiter des règles données précédemment (n** 330), pour simplifier dans certains cas la recherche du centre de gravité.

333. Centre de gravité d'une surface. — Si la surface est plane, il est évident que le centre de gravité est situé dans son plan : à cause de l'homogénéité de la surface, les poids et les masses des divers éléments sont proportionnels à leurs aires. Si donc nous désignons par A l'aire de la surface, nous aurons :

A = / fdcody, Xœ^^ = j 1 x dœdy, ky^ = f f ydœdy ;

ces intégrales s'étendent à tous les éléments compris dans l'intérieur du contour donné.

Si l'aire est comprise entre une courbe, l'axe des œ et deux ordonnées, les limites de y sont et y, celles de œ sont les abscisses a?^ et œ des points extrêmes. D'ailleurs, en effectuant l'intégration relative à y, on a :

A = fydœ, kœ^ = iœyâœ, ky^ =« \ fy^dœ.

Xo âCo Xq

Si l'aire A est comprise entre deux courbes données (fig. 106), les formules sont :

Fig. loe

A =*y*lY — y) dx,

Ayi - è/iY« - î^) rfo?,

Y et y étant les ordonnées des deux courbes, correspondant à une même abscisse.

Remarque. — On pourra d'ailleurs profiter des règles que nous avons énoncées précédemment (n** 330).

334. Lorsque la surface dont on veut trouver le centre de gravité n'est pas plane, on la rapporte à trois axes coordonnés. Soit donc une portion de surface

courbe limitée par un

Fig. 107.

contour qui se projette en ABCD sur le plan des ayy (fig. 107), et supposons cette surfiace homogène : nous la décomposerons en éléments par des plans perpendiculaires respectivement à Ox et Oy. A cause de l'homogénéité , les masses des différents éléments de la surface sont proportionnels à leurs aires. Si donc on désigne par A l'aire totale de la surface, et par ^i> ^i» ^\ l^s coordonnées du centre de gravité, nous aurons les formules :

A = y* jTl/ 1 + p« + 2« dxdyy Aa?i ^ffœ \/l+p^ + g!^dù)dy, Ayi =ffy l/l-|-p* + ff* rf^rfy,

Les limites de ces intégrales se déterminent comme dans le problème des aires du calcul intégral. Elles s'étendent à la partie ABCD du plan des ayy sur laquelle la surface se projette.

Remarque. — Il est évident que Ton pourra faire usage des règles démontrées (n° 330).

Centre de gravité des volumes.

335. Soit un corps compris sous une surface fermée dont l'équation rapportée à trois axes rectangulaires est :

Décomposons le corps en éléments infiniment petits par trois systèmes de plans parallèles aux plans coordonnés ; l'élément de volume sera un parallélipipède rectangle ayant pour arêtes les différentielles cte, dy, dz des coordonnées d'un point du corps, c'est-àrdire les distances qui séparent deux plans consécutifs de chacun des

systèmes. Le volume de cet élément sera dxdydz^ et sa masse pdxdydZy en désignant par p la densité du corps au point (a?, y, -s).

Nous aurons donc les formules suivantes ;

Ma?i = f f / p^ dœdydz, Myi —JJJpy dxdydz, M^i "^11 fpzdxdydz,

dans lesquelles on devra remplacer p par la fonction de ^» y 9 ^j qïû exprime la densité du corps.

Quant aux limites de ces intégrales, elles se déterminent comme dans le calcul intégral pour le volume d'un corps.

Cas particulier. — Si le corps est homogène, p est constant, et les formules se simplifient. En désignant par V le volume du corps, on a :

U '^ p 1 t fdxdydz ^ pY, Va?i -»/ / focdxdydz, yyi^j j jydxdydz, V^i = i I izdxdydz.

On voit, par ces formules, que la position du centre de gravité du solide ne dépend que -de la forme de la

surface qui le termine. On pourra d'ailleurs simplifier le calcul en faisant usage des règles établies (n° 330).

Remarque. — On peut trouver les coordonnées du centre de gravité d'un corps rapporté à des coordonnées polaires. A cet effet, on prend pour élément de volume du corps, le solide déterminé par deux sphères de rayons r et r + dr, deux plans passant par l'axe des z et faisant des angles ç et 9 + rff avec le plan des zXy et les rayons faisant des angles 9 et 9 + dQ avec l'axe des z (flg. 108).

D'après cela, l'élément de volume sera abcdefgh, et

nous aurons :

Fig. 108.

2 dV =» r« s\nBdrdQd(f ;

d'autre part,

a? »= rsin9cos(p, "5. y == r sîn 9 sîn (p.

z = rcos9.

Les formules qui déterminent le centre de gravité sont donc :

V =fff^^ sin 9 drdQd(f, YXj^ ^ f f / ^ sin^ 6 COS9 drdQd(fy Yi/i^ f f fr^ sin« 9 sin ç drdQ cîy, V^i "^ f f /"^ sin 9 cosB drd6df ;

les limites de ces intégrales se déterminent conmie dans le cas des volumes des corps.

Centre de grravitê des corps de révolution.

Fig. 109.

836. Centre de gravité d'un volume de révolution. — Proposons-nous de trouver le centre de gravité du volume engendré par l'aire ABCD tournant autour de l'axe des œ (fig. 109). Ce centre de gravité

sera évidemment situé sur l'axe des a?, qui est un axe de symétrie (n** 330) ; pai* conséquent, il suffit de déterminer l'abscisse de ce point G. Nous décomposerons le volume total en volumes élémentaires engendrés par des rectangles élémentaires tels que mm'nn\ tournant autour de l'axe des œ.

Or, le volume de cet élément est Tty^dœ ; son centre de gravité est aussi sur l'axe des a?, en un point g, et l'on a Og = œ. La masse de cet élément est irpy^dx ; son moment par rapport à un plan passant par Oy et perpendiculaire à l'axe des œ est i:(iœy^dœ ; la somme des moments des

éléments est n fpœy^dx, en posant OC « a,et OD =» p.

La masse du corps étant égale à tt foy^dœ, son moment

par rapport au même plan est t:x^ fpy^dx. Nous

aurons donc la formule suivante :

d'où Ton tire :

fpxy^dœ a

Si le corps est homogène, il vient

/ y^dx

Pig. 110.

887. Centre de gravité d'une surface de révolution. — Soit à trouver le centre de gravité de la surface de révolution engendrée par l'arc AB

tournant autour de l'axé des œ (flg. 110). Le centre de gravité sera évidemment sur l'axe des œ qui est un axe de symétrie (n** 380). Par conséquent, il suffit de déterminer l'abscisse de ce point G.

^. Considérons l'aire élémentaire

V njn G D ^ décrite par l'arc mm' =^5, tournant autour de l'axe des x : le centre de gravité de cette aire est sur l'axe des œ, en un point p, et l'on a Ofl^ = a?.

Or, la surface engendrée par l'élément mw! = ds est égale à 2nyds, et sa masse est 2r.pyds : son moment par rapport à un plan passant par Oy et perpendiculaire à Taxe des x est 2nçœyds. La somme des moments des

éléments est 2?: i^œyds. Mais la masse totale étant égale

à 2n fpyds, son moment par rapport au môme plan

est 2nœ^ fpyds. Nous aurons donc la formule :

27ra?, fpyds — 27r jpxyds ; qc a

d'où:

I pxyds

Si la surface est homogène, il vient :

/ aryds a

fyds

Théorèmes de Ouldin.

338. Théorème I. — Laire engendrée par un arc de courbe plane tournant autour dun axe situé dans son plan, est égale au produit de la longueur de cet arc, multipliée par la circonférence décrite par son centre de gravité.

Soit G le centre de gravité de l'arc AB ==* S (fig. 111) ;

nous aurons en désignant par y^ la distance de ce point G à l'axe des œ (n** 332) :

¥ig. 111.

syi —fyds.

a et ^ étant les abscisses des points A et B. Multipliant les deux membres par 2ît, il vient :

2nyi . S « 27r fyds ;

or, le second membre est précisément l'expression de r^re décrite par l'arc AB, tournant autour de l'axe des 0?, et l'on voit que cette aire est égale à l'arc S, multiplié par la circonférence 2ny^ décrite par son centre de gravité.

339. Théorème IL — Le volume engendré par une aire plane tournant autour d'un axe situé dans son plan est égal au produit de cette aire, multipliée par la circonférence décrite par son centre de gravité.

Soit G' le centre de gravité de Taire ABCD = A (fig. 111). Nous aurons, en désignant par y^ la distance de ce point G' à l'axe des œ (n° 333) :

«, p étant les abscisses des points A et B.

Multipliant les deux membres par 2^, il vient :

2Tty^ . A = TT / y^dœ ;

or, le second membre est l'expression du volume décrit par l'aire ABCD tournant autour de l'axe des œ, et l'on voit que ce volume est égal à l'aire A, multipliée par la circonférence 2ny^ décrite par son centre de gravité.

Applications du centre de gravité.

340. P Centre de gravité d'une ligne droite HOMOGÈNE. — Soit uuc droitc OA = Z, et m un point de cette droite, œ sa distance à l'origine (fig. 112). Nous aurons évidemment :

Fig. 112. i ^o

■ h). = / œdx «= —

in A ^ J 2

d'où :

Donc, le centre de gravité est au milieu de la droite OA.

2^ Centre de gravité du contour d'un triangle. — Soient l, m, n les poids des côtés appliqués en

leurs milieux a, &, c

Fig. 113.

(flg. 1 13), a',6',c'les points d'application des résultantes des poids m, n\ i et n; m et l. Il est évident que le centre de gravité est au point d'intersection des droites B ad, bb\ cc\ et il est facile de voir que ces

droites sont les bissectrices des angles a, &, c. On a, en effet :

6<?' : oc^ = i : m = CB : AC -= ôc : ac ; de même, on aurait :

ba! : ccC = ab : ac, ab' : cb' « ab : cb.

Il résulte de là que les droites aa\ bb\ cd sont les bissectrices du triangle abc : par conséquent, le centre de gravité est le centre du cercle inscrit dans le triangle abc.

3** Centre de gravité d'un arc de cercle. — Soit l'arc MAM' = 21 (flg. 114). Le centre de gravité est évidemment sur le rayon OA, perpendiculaire au milieu de

la corde MM', rayon que nous Flg. lié. prendrons pour axe des x

y (n** 330). Nous aurons donc :

Jœds

fds

or, de l'équation :

on tire :

d'où :

ds^^dxxl l +

da^

Rdx

Par suite,

xdx

|/R« - x^ l/RTZ-^i

dx l/R« — x^

arc CCS

Mais, on a :

d'autre part :

â? « R cos a, d'où : a « arc cos ^^

et, comme on a aussi :

AM •= Ra « /,

il vient :

œ l arc cos ^=-^.

Par conséquent,