GE EK ^ CD 4- DK ■" I CD + AB ■" 2AB + CD
or, les distances du point G aux deux côtés AB et CD sont respectivement proportionnelles à GF et GE ; par conséquent, le point G sera le centre de gravité.
8** Centre de gravité d'un secteur circulaire. — Soit un secteur circulaire AOB (flg. 117) : le centre de gravité sera évidemment sur la droite Ox (n** 330).
Cela posé, on [peut concevoir ^^' ^^ ' l'arc AB décomposé en une
infinité d'arcs élémentaires égaux, et, par conséquent, le secteur comme décomposé en secteurs infiniment petits correspondant à ces arcs.
Or, ces secteurs infiniment petits peuvent être assimilés à des triangles, et tous ces triangles ont leurs centres de gravité sur un arc CD décrit du point comme centre avec un rayon égal aux deux tiers de OA. Donc, le centre de gravité du secteur sera le point d'application de la résultante d'une infinité de forces égales et parallèles, agissant sur les points de l'arc CD : il coïncidera donc avec le centre de gravité de l'arc CD.
D'après cela, si l'on désigne par R le rayon du secteur, par l la longueur de l'arc AB, par c la corde de cet arc, nous aurons :
Cas particulier. — Si le secteur est un demi cercle, on a c =« 2R, i =- ttR ; par conséquent,
Remarque. — Le secteur AOB étant égal à la somme du triangle AOB et du segment AIE, nous pourrons trouver le centre de gravité du segment AIB, en appliquant le théorème des moments (n** 307). En posant OP — a, on a :
surf, secteur « ^ RZ, surf, triangle «= \ ac, surf, segment »= |(Ri — ac);
d'ailleurs, les centres de gravité de ces trois surfaces sont situés sur la droite Oo?, et les distances des deux premiers au point sont respectivement égales à
-^ -T- et-^ a. Donc, en désignant par œ^ la distance du
troisième au centre 0, nous aurons :
1 ^, 2 Rc 1 2 , 1 ,„, ,
^ Ri . ^ -|- = 2 ac . g a + - (RZ — oc) a?i ;
d'où l'on tire :
2 (R» — a«)c ^^ "^ 3 • RZ-ac '
et, si l'on observe que l'on a : R* — ^' = T' ^^ "^^^"^^
— £l— ^' "^ 6(Rl — ac)'
9° Centre de gravité d'un segment de cercle. — Soit le segment ABCD (flg. 118). Posons OC = a, OD = P ; nous aurons :
Fig. 118.
/ ooydx
J ydœ
{Jy^dsc
fydœ
Or, l'équation du cercle étant :
on a, en faisant abstraction de la constante : y'yrfa?=y*|/R«— a?«£to=^||/R«--a?2 + ^arcsin~.
lœydx=J[/W — x'^. â?dte = -T^(R* — a?«)S
fy^dœ =- /*(R' — ^'j rf^»? = R*^ — ^î
il suffira de remplacer successivement dans ces formules X par (3 et a, et de substituer dans les expressions de x^ et y,.
Cas particuliers. — V Si Ton veut le centre de gravité du quart de cercle OEF, on fera a — 0, ^ = R, et il vient :
2*" Si l'on veut obtenir le centre de gravité du segment ABA'B', on devra observer qu'il se trouve sur Taxe Oœ qui est un axe de symétrie (n° 330) ; par conséquent, ^i = 0, et l'on appliquera la formule (n^ 388) :
Jœ {^ — y)dx
et, comme on a : Y — — y, il vient :
Jxydœ
fydx
Z"" Si l'on veut le centre de gravité du demi cercle EFG, on a :
J(Y-y)dx
10^ Centre de gravité d'un segment sphériqub. — Soit le segment sphérique engendré par l'aire ABCD (flg. 118) tournant autour de l'axe des x. Le centre de gravité est évidemment situé sur l'axe des a?, qui est un axe de symétrie (n^ 830), et nous aurons la formule :
fy^dx
L'équation du cercle étant :
a:« + y* « RS on a :
fx (R« "X^dx a 3(« + p)(2R«-pg — a«)
y (R« - a?«) cte
Cas particuliers. — Si a — 0, il vient :
SP (2R» — p^i .
si a «= 0, P =- R, on a :
pour l'abscisse du centre de gravité du volume engendré par Taire OEF tournant autour de l'axe des œ, c'est-àdire de la demi-sphère.
IF Centre de gravité d'une zone sphérique. — Soit la zone engendrée par l'arc AB (flg. 118) tournant autour de l'axe des x. Le centre de gravité étant sur l'axe des œ (n** 830), on a :
P fœyds
fyds
l'équation du cercle étant :
ofi + y^ = RS
il vient :
Jxdx
i±jf.
fdx
Cas particuubrs. — Si a = 0, on a :
si a = 0, P == R, il vient :
Fig. 119.
pour l'abscisse du centre de gravité de la surface de la demi-sphère.
12'' Centre de gravité d'une pyramide triangulaire. — Soit ABCD la pyramide donnée (flg. 119);
le plan ABE mené par AB et et par le milieu E de CD est évidemment un plan diamétral pour les cordes parallèles à CD. Par conséquent, le centre de gravité de la pyramide devra se trouver dans ce plan (n"" 330). Par la même raison, il doit se trouver dans le plan ADF mené par AD, et par le milieu F de BC : il sera donc sur l'intersection AGj de ces deux plans. Or, le point G^, intersection des médianes BE et DF du triangle BCD est le centre de gravité de ce triangle ; par suite, le centre de gravité de la pyramide est sur la droite AGj qui jplnt le sommet A au centre de gravité de la face opposée. Par la môme raison, il se trouve sur la droite BG^ qui joint le sommet B au centre de gravité G^ de la face opposée ACD : il est donc à l'intersection G des deux droites AGj et BGg. Or, la droite G^Gj^, qui divise les côtés BE et AE du triangle ABE en parties proportionnelles est évidemment parallèle à AB, et égale à 5 AB ; par suite, les deux triangles ABG et GG^G^ sont semblables, et
l'on a : GG, ^ 5 AG, ou bien GG^ =- i AG,. Il résulte de là que le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, aux trois quarts de cette droite à partir du sommet.
Remarques. — Le centre de gravité de la pyramide étant dans chacun des plans tels que ABE, on eii conclut que les six plans menés par chacune des arêtes, et par le milieu de l'arête opposée se coupent en un même point, qui est le centre de gravité die la pyramide.
Il est évident aussi que les quatre droites qui joignent chacun des sommets de la pyramide au centre de gravité de la face opposée se rencontrent en ce même point.
Il est encore évident que les droites telles que EK, qui joignent les milieux des arêtes opposées de la pyramide passent par un même point, et ce point est le milieu de ces droites.
Enfin, il résulte de ce qui précède qu^ le centra de gravité de la pyramide triangulaire coïncide avec le centre de gravité du triangle suivant lequel cette pyramide est coupée par un plan mené parallèlement à la base et à une distance de cette base égale au quart de la hauteur de la pyramide.
13"* Centre de gravité d'une pyramide a base QUELCONQUE. — On pcut décomposcr la pyramide en pyramides triangulaires au omoyen de plans inenés par le sommet et par les diag^ojiales du polygone qui forme la base. Les centres de gravité de ces pyramides sont situés dans un plan parallèle au plan de la base et à une distance de celui-ci égale au quart de la hauteur. Or, ces centres de gravité sont les mêmes que ceux des triangles que le plan sécant détermine dans les diverses pyramides ; d'autre part, les volumes de ces pyramides sont évidemment proportionnels aux surfaces de ces triangles.
Il s'ensuit que le centre de gravité de la pyramide coïncidera avec celui du polygone déterminé par le plan sécant.
Donc, le centre de gravité d'une pyramide quelconque est sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, et au quart de cette droite à partir de la base.
14'' Centre de gravité d'un cône. — Il est évidemment situé sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, et au quart de cette droite à partir de la base.
15*" Centre de gravité d'un ellipsoïde. — Trouver le centre de gravité du volume compris entre l'ellipsoïde :
les plans coordonnés et un plan quelconque, correspondant à l'abscisse x.
Nous aurons : V ^ffzdxdy - Jrfa^J cy/l -%-$ dy.
Pour déterminer la limite supérieure y' de y, cherchons l'intersection de la surface avec le plan des xt/ ; nous aurons :
d'où :
»-»vA^-
On a donc :
Cherchons d'abord l'intégrale relative à y, en posant
d'où :
D'ailleurs, pour y = 0, on a cp = 0, . et, pour
y = y^ = b\/l 2 , on a ç = ^ : donc , l'intégrale
relative à y se transforme en la suivante :
J (^ "" S) ^^^' î'^î' = 6 (1 - J')J cos« (fd<f ;
par suite,
TT
jî ^ a?
-»cj(i-i)<tej'co,.,rf,-^r(i-j)*„.
ou bien :
On a aussi :
Yx, ^ffœzdœdy = c I xdœ I y I — ^ — ^^ dy
On en tire :
On a de même :
Vy, ^ffyzduody^cj dœj y i-.g ^ |! yrfj^
-tïh^h
or, en posant a; = asin^», il vient :
= a g <H- g sm <{; cos ({/ +-^ — ^ — ^;
d'où :
Vyj « — — I ^{/ + sin ^ cos ^ +^ sin ^ cos® <j/ >
Enfin, on a :
Yz
, ^lff,^d.dy^^jda,j{l-%-%)dy
cos* ^d^^
ou bien :
dbc^ ( 2
YZ^ -= "T" j4 + Si^ 4/ CCS t{; + ^ si^ ^ cps' ^|>
Cas particuliers. — Si dans les expressions précé-
TT
Rentes, on fait â? == a, et par conséquent, i{^ = -^, on
obtient, pour le volume de la huitième partie de l'ellipsoïde, et pour les coordonnées de son centre de gravité :
Tzàbc 3a 3& 3c
et, si dans ces dernières formules, on fait a = 6 = c,
on obtient pour le volume de la huitième partie de
la sphère, et pour les coordonnées de son centre .de gravité :
^ tra^ 3a 3a 3a
"^ ~êr ' ^^ ^ ^ ' ^* 8" ' '^^ *™ ^ *
expressions que l'on pourrait facilement trouver par un calcul direct.
16"* Centre de gravité de l'aire du cône :
comprise entre les plans a? == 0, a? = a, y = 0, y^=h. Nous aurons :
A ^f fV 1 + p* + î* dxdy -(«toi ^^iJ dy
= I \/2ab {a + &),
Ay, -fJV^ +p' + q*.ydxdy=-\dx ^ ^f^ ^V
A^i =ff[/l +p\+ q^ . zdxdy = l dœ l (œ-^y)dj/
-fia + b);
on en tire :
Sa [a , b\ Sb (b , a\ ^]/ab
Sa la , b\ Sb (b , a\ <^yab
