CHAPITRE VII
Équilibre des systèmes de forme variable.
341. On appelle fil ou cordon un lien sans pesanteur dont la section transversale est négligeable, et qui est parfaitement flexible et inextensible. Il s'ensuit que la longueur de l'arc formé par le fil entre deux de ses points est invariable, quelles que soient les forces qui agissent pour l'étendre ; mais on peut le courber comme on voudra sans éprouver de résistance.
Le problème que nous nous proposons de résoudre consiste à déterminer la forme d'équilibre dHun fil soumis à des forces données, et à trouver les tensions en ses différents points.
342. Nous allons entrer dans quelques détails pour expliquer ce que l'on entend par la tension d'un fil ea un point donné.
Considérons d'abord deux forces agissant aux extrémités d'une portion rectiligne de cordon.
Pour que ces forces se fassent équilibre, il faut qu'elles soient égales, directement opposées, et de même^ direction que le cordon. Il faut, en outre, que leur sens soit tel qu'elles tendent le cordon. En effet, si ces forces n'avaient pas la même direction que le cordon, rien ne
les empêcherait de le faire tourner, et si, ayant la direction du cordon, elles ne sont pas égales et de sens contraires, elles auraient pour effet de faire avancer le cordon dans le sens de la plus grande. Il est évident
aussi que les deux forces
Vie* 1 0ft
''* ' doivent tendre le cordon.
p^ A c 5 ç Car^ si les forces (flg. 120)
appliquées en A et B sont dirigées de A vers B, et de B vers A, il n'y aura pas équilibre, le fil ne pouvant développer aucune résistance qui empêche le rapprochement des points A et B.
Par conséquent, pour que les forces se fassent équilibre, il faut que les conditions énoncées plus haut soient Satisfaites. On dit alors que les deux forces se font équilibre par Vintermédiaire du cordon.
Cela posé, soit C un point quelconque du cordon. Si l'on coupe le cordon en ce point C, il faudra, pour maintenir l'équilibre de la partie AC, introduire en ce point C une force Tj égale et directement opposée à P. Il s'ensuit que la partie BC du cordon tient lieu de cette force égale et opposée à P. Cette force T^ s'appelle là tension du cordon. De même, pour maintenir l'équilibre de la portion BC, il faudrait introduire au point C une force Tg égale et directement opposée à Q, et qui, par conséquent, tiendrait lieu de la portion AC. Cette tension Tjj sera donc égale et contraire à Tj.
La tension, dans le cas actuel, est constante dans toute l'étendue du âl AB. Elle est égale à la valeur commune des deux forces P et Q.
En général, si l'on coupe un fil en équîMhre en un point, il faudra, pour maintenir l'équilibre, appliquer en ce point deux forces égales et contraires aux extrémités des deux portions séparées par la coupure. Ces deux forces sont la tension du fil au point considéré. Ainsi
donc, la tension du cordon en un point est la force qu'il faut appliquer en ce point pour maintenir Vune des portions du fil en équilibre, Vautre portion étant censée supprimée. Cette force tient lieu de la portion du fil supprimée.
En un point du fll nous avons donc deux tensions, deux forces égales et de sens contraires qui se détruisent dans l'équilibre de l'ensemble du fil, mais qu'il y a lieu de considérer quand on étudie l'équilibre de chaque portion séparément.
Il résulte de ce q^^i précède qu'une portion d'un fil en équilibre, est en équilibre sous l'action des forces qui lui sont directement appliquées, et des deux tensions aux deux extrémités.
Remarque. — On peut mesurer la tension d'un cordon en un de ses points en le coupant en ce point, et interposant un dynamomètre entre les deux parties.
343. Problême. — Une force P de direction donnée est appliquée en un point C d'un fil sans poids AB. On demande quelles sont les forces Pj, Pg quHl faut appliquer suivant la direction des cordons CA et CB pour qu'il y ait équilibre.
L'équilibre du cordon AC (fig. 121) exige que la force p. j2i. Pi dirigée dans le sens
du cordon soit égale à la tension Tj de ce cordon (n° 342). De même, en tous les points du cordon CB la tension T2 est égale à Pg. Nous pouvons donc considérer le point C comme un point matériel libre en équilibre sous l'action de la force P et des tensions T^, T^ appliquées suivant
les directions CA et CB. Par conséquent, la force P est égale et contraire à la résultante de Pj et P2. Nous aurons donc Pi et P^ en décomposant la force — P, égale et opposée à P, suivant les directions CA et CB.
Remarque. — Les tensions des deux cordons sont en général inégales. Ces tensions seront égales lorsque la force P sera la bissectrice de l'angle ACB.
344. Supposons que la force P, au lieu d'être appliquée directement en C, soit appliquée dans le prolongement dCun cordon CD attaché au point C.
Le point C (flg. 122) considéré comme libre est en
équilibre sous l'action des
Fiff. 122.
tensions des cordons AC, CB et CD, tensions qui sont égales (n*" 342) respectivement aux forces Pj , Pg, et P. Chacune de ces forces est donc égale et directement opposée à la résultante des deux autres.
On en conclut que, pour qu'il y ait équilibre, les
trois cordons doivent être dans un même plan, et l'on a
la relation :
P : Pj : Pg « sin (a -f- a') : sin a' : sin a ;
d'où l'on tire :
P sin a'
sin (a + a')
Psina
^ ^ sin (a + a')
Remarque. — Les tensions Tj et T^ sont d'autant plus grandes que sîn (a + o^ est plus petit. Elles sont infinies pour «+«'«= 180*". On en conclut que, quelque petite que soit la force P s*eœerçant obliquement sur un cordon^ il est impossible de tendre ce cordon en ligne droite.
345. Supposons maintenant que Von fixe un point A du cordon AC, et proposons-nous de trouver la traction que supporte le point A. Cette traction sera évidemment égale à la force P^ qu'il faudrait appliquer au point A rendu libre, pour maintenir l'équilibre : elle est donc égale à la résultante des forces P^ et P.
Si l'on fixe également un point B du cordon BC, la traction que supportera le point B sera égale et contraire à Pg.
346. Supposons encore un cordon AB, et au point C un anneau dans lequel ce cordon peut glisser librement. Le cordon est tiré des deux côtés par deux forces P^ et Pg ; Vanneau est soumis à V action dune force P. On demande les co'nditions d'équilibre.
Fixons les deux points A et B du cordon (flg. 123), l'un à droite, l'autre à gauche de l'anneau. Dans son
mouvement, le point C *"' " ne peut que décrire une
ellipse dont A et B sont les foyers. Donc, la condition d'équilibre est celle d'un point matériel assujetti à demeurer sur une ellipse. Il faut donc, pour Véquilibre, que la force P soit normale à Vellipse (n° 227), c'est-à-dire bissectrice de Vangle ACB.
On a d'ailleurs, en désignant l'angle ACB par 2 x, et en appliquant les formules précédentes (n^* 344) :
JTj JTj
2cosa
Fig. 124.
347. Si l'on avait un nombre quelconque de cordons réunis par un nœud, la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre, est que chaque force ait la direction du cordon correspondant, et le sens voulu pour le tendre, et que chaque force soit égale et directement opposée à la résultante des autres.
Si l'on fixe un point sur chacun des cordons, excepté
sur un seul CD, Qn peut se proposer de trouva tes traC'tions que la force P exerce sur les points fixes.
S'il n'y a que trois cordons non situés dans un même plan ^ CAj, CAg, CAg, il suffira de décomposer P en trois forces agissant suivant les prolonge- ^P ments de ces cordons (fig. 124).
S'il y a plus de trois cordons, le problème est indéterminé, la force P pouvant être décomposée d'une infinité de manières suivant ces cordons.
Équilibre du polygone funiculaire.
Ô48. Considérons maintenant le cas général de réquilibre d'un cordon soumis à faction d'un nombre quelconque de forces appliquées en différents points de ce cordon.
Ce cordon prendra la forme d'un polygone plan ou gauche dont les sommets seront les points d'application des forces. On lui donne le nom de polygone fitniculaire. Les différents sommets portent le nom de 7io^ds,
Soit un fil ABCDE en équilibre (fig. 125), et sollicité par des forces P, P', P'S... R, S, appliquées aux différents nœuds, et aux extrémités. D'après ce que nous avons vu (n*" 342), si l'on coupe un cordon quelconque CD en un point I, par exemple, il faudra, pour maintenir
l'équilibre, appliquer en ^^S'^^^' ce point I aux deux
^ portions du fll, deux
forces égales et contraires. Ces forces mesurent la tension du fil en ce point I. Lorsque le fil n'est pas coupé, ces deux forces sont détruites par la liaison que le fll établit. Cela posé, pour qu'il y ait équilibre, il faut que la force R agisse dans la direction du premier côté du polygone (ou qu'il y ait ùii point fixe remplaçant cette for<îe).
La tension T^ du premier cordon doit faire équilibre à cette force R, et, par conséquent, on a :
Ti -=R.
Pour qu'il y ait équilibre au point B, il faut que la tension T^ du second côté BC fasse équilibre à la force P et à la tension T^ appliquée en B. Cette tension T^ doit donc être égale et directement opposée à la résultante de la force P et de la tension T^ du premier côté. On peut observer que les trois doites AB, BC et BP sont situées dans un même plan.
De même, pour que le point C soit en équilibre, il faut que la tension T3 du troisième côté CD fasse équilibre à la force P' et à la tension T^, appliquée en C. La tension T3 est donc égale et directement opposée à la résultante des forces To et P', et les trois droites BC, CD et CP' sont dans un même plan.
En continuant de la même manière, on verrait que la tension du dernier côté doit être égale et directement opposée à la résultante de la force appliquée au dernier sommet, et de la tension du côté précédent. Pour que ce dernier côté soit en équilibre, il faut que la force S soit appliquée dans le prolongement de ce côté, et qu'elle soit égale à la tension de ce dernier côté.
On voit donc par ce qui précède, que la tension en un nœud quelconque est égale en grandeur et en direclion à la résultante de la force appliquée en ce tiœud, et de la tension du côté adjacent.
349. Théorème. — Les forces appliquées à un polygone funiculaire en équilibre^ étant transportées en un point quelconque^ s'y font équilibre.
En effet, si le polygone est en équilibre, il sera encore en équilibre, si l'on rend sa figure invariable; par conséquent, les forces qui y sont appliquées doivent
satisfaire aux conditions d'équilibre d'un système rigide. Donc, si on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles doivent donner une résultante nulle.
350. Remarque. — Il résulte de ce qui précède que l'on peut, pour définir le polygone funiculaire, donner en grandeur et direction les forces R, P, P',... et les longueurs AB, BC,... des cordons successifs.
En construisant le contour polygonal ABCD..., on pourra déterminer en grandeur et direction la der7iière force S qui maintiendra Je polygone en équilibre.
On peut d'ailleurs obtenir cette force par la construction suivante :
Par un point quelconque de l'espace (flg. 126), menons une droite OB^ parallèle à R ou à T^, et prenons
sur cette droite à une échelle ^^' ' arbitraire une longueur OB^
égale à la force R. Par le point Bj menons une droite BjB^, égale et parallèle à la force P :
il est évident que la droite OB.^ représente la tension T^ du second côté du polygone. Si, par le point B^, nous menons BgBg égale et parallèle à P', en joignant OB3 nous aurons la tension T3 du troisième côté, et ainsi de suite. En continuant ainsi, on trouvera que OB^i sera la tension Tn du dernier côté, et, par conséquent, elle sera égale à S.
Cette construction n'est autre que celle du polygone des forces R, P, P',... S; il faut donc pour l'équilibre que le polygone soit fermé. Ce polygone a reçu le nom de polygone de Varignon.
Ainsi, les directions des côtés du polygone funiculaire en équilibre sont parallèles aux droites OBj, OB^,... partant du point dans le polygone de Varignon, et ces droites représentent les tensions des côtés du polygone funiculaire. U faut, en outre, powr VéquilibrCy que chaque côté du polygone funiculaire puisse résister à la tension correspondante.
351. Théorème. — La tension dun cordon quel* conque est égale à la résultante de toutes les forces appliquées au polygone funiculaire depuis une de ses eœtré7nités jusqu'au sommet oii commence ce cordon^ ces forces étant transportées parallèlement à elles-mêmes en un quelconque des points de ce côté.
En effet, la portion ABCD (fig. 125), par exemple, est en équilibre sous l'action des forces R, P, P', P" et T^ : ces forces ne cesseront pas d'être en équilibre, si l'on rend le polygone ABCD rigide. Par conséquent, la force T^ est égale et directement opposée à la résultante des forces R, P, P', P"* Comme on peut transporter des forces en un point quelconque de leur résultante, sans changer leui* effet, le théorème est démontré.
On peut, d'après ce qui précède, résoudre les deux problèmes suivants :
SôlÈ. Problème I. — Déterminer la position d^ équilibre dun cordon^ et les temiions de ses côtés^ connaissant les forces en grandeur et direction, et les côtés du polygone en grandeur seuleinent,
A partir d'un point A, je mène une parallèle à la force R, et je prends tme longueur AB égale am piranier côté du polygone. Par le point B, je mène une droite ^ale et parallèle à P, puis je construis un parallélogramîae dont P et R sont les côtés, la diagonale sera la tension du côté BC, et elle aura la même direction que ce côté. Je prends donc à partir du point B, et sur le
prolongement de la diagonale une longueur BC égale au second côté, puis par le point C, je mène une droite égale et parallèle à P', et ainsi de suite.
353. Problème II. — Étant données la forme du polygone funiculaire^ et les tensions des côtés, trouver les forces à appliquer aux nœuds pour maintenir réquilibre.
Chaque force sera égale et directement opposée à la résultante des tensions des côtés adjacents au nœud considéré.
354. Remarque. — Le plus souvent, au lieu d'être sollicitées par des forces données R et S, les extrémités du polygone funiculaire sont attachées à deux points fixes A et E. Alors R et S désigneront les réactions des points d'attache sur les cordons extrêmes, réactions qui sont égales et contraires aux tensions de ces cordons. On pourra dans oe cas se proposer, connaissant la forme d'un polygone funiculaire en équilibre sous Faction de forces données, P, P', P",... de déterminer les tractions exercées sur les deux points fixes.
Puisque l'on connaît la figure du polygone funiculaire, on connaîtra les directions de ces tractions. Pour déterminer la traction au point A (fig. 127), nous observerons que cette traction est égale à la tension du
côté AB, et dirigée ^'^' ^^^- suivant ce côté. Or,
la force P est égale et directement opposée à la résultante des tensions T^ et T^ des deux côtés AB et BC ; donc, — P est la résultante de ces tensions. Mais, la forme du polygone étant donnée,
on connaît les directions des deux composantes T^ et T^* On a donc à décomposer — P suivant deux directions données, et l'on trouve que BK est la tension du côté AB, c'est-à-dire que la traction au point A sera égale en grandeur à BK et dirigée dans le sens AB.
Solution analytique des problèmes précédents.
355. Problème I. — Supposons que le polygone ait n côtés. On donne les forces en grandeur et direction. Les inconnues de la question sont les n tensions Tp Tg,... Tn decescôtés, et leurs directions (a^^b^^cj,... (an^bn,Cn)y cc qui nous donne 4n inconnues.
Désignons par R (a,p,y), P^ («^ , Pi , yj, ... Pn-i(«n-i, Pn-1, 7n-i), S(«„, (3^, /n) les forccs appliquées aux points A, A^, A^,... A^-i, E. Les conditions d'équilibre nous donnent les équations suivantes :
Y Au point A :
Rcosa + TiCosai = 0, Rcosp + Ticos&i«=0, R cosy + Tj CCS c^ « ;
2"^ au point Aj :
P, ces aj — T,^ cos a^ + Tjj ces «g = 0, Pj cos p, — Ti cos 6i + Tg cos b^ = 0, Pi cos Yi — Ti cos c, + Tg cos c^ = ;
au point A^ i :
P„ 1 COS On 1 — Tn - 1 COS «n - 1 + Tn COS a« = 0, Pn l COSpn-1 — Tn-1 COS&n-l + Tn COS Jn = 0, Pn-.iCOSyn-l — Tn-iCOSCw-1 + Tn COS Cn = ;
au point E :
S CCS CLn — Tn CCS «n = 0, S COS Pn — Tn ces bn =* 0, S CCS Ytt — Tn CCS Cn « 0.
Nous avons ainsi n + 1 groupes de trois équations, c'est-à-dire 3n + 3 équations. En y joignant les n équations :
cos*ai + cos*&i 4" cos^Cj = 1, ces* «2 + ces* ftg + ces* Cg = 1,
COS^ Un + COS* bn + COS* Cn = 1,
nous aurons 4n + 3 équations entre les in inconnues.
En éliminant les in inconnues, nous aurons trois équations indépendantes des inconnues. Pour faire cette élimination, il suffit d'ajouter les premières équations de chacun des n + l premiers groupes, ce qui nous donnera :
RCOS a + Pi ces tti + ... + Pn ^ 1 CCS an - 1 4- S cos an -• ;
de même, en ajoutant les deuxièmes, et ensuite les troisièmes, on a :
R ces p + Pi COS Pi + ... + Pn- 1 CCS Pn-l + S COS ^n == 0,
R CCS Y + Pj CCS Yi + ... + Pn - 1 cos Yn - 1 + s ces Yn = 0.
Or, ces trois dernières équations qui sont indépendantes des inconnues sont les trois équatioiis cféquilibi^e du polygone funiculaire. Elles expriment, comme on le voit, cette propriété que toutes les forces R, Pj,... Pn i, S, transportées en un même point de l'espace, s'y font équilibre. Il en résulte que les 4n + 3 équations précédentes se réduisent à 4n équations distinctes nécessaires et suffisantes pour déterminer les 4n inconnues.
356. Problême IL — Connaissant les tensions Tj, Tj,... Tn, et les directions {a ^^ &j, Cj),... («n» &n» ^n)» des côtés du polygone ^ déterminer les forces R, Pj,... Pn-i, S, et les angles (a, P, y),... (a^, p„, /n), qu'elles font avec les axes.
Il y a actuellement 4n + 4 inconnues, ce qui exige la connaissance de 4n 4- 4 équations.
Or, nous aurons les n + 1 groupes de trois équations, et en outre les n + 1 équations :
cos* a + ces* p +• ces* Y = I»
ces* ttj + ces* Pi + ces* ïi = 1»
ces* an + C0S« pn + COS* Yn = !•
357. Remarque. — Si nous supposons que les forces extrêmes R et S sont remplacées par deux points fixes
A et E, alors, dans le premier problème (a, (3, y), («n, I3n» yn)» R et S ne sont pas donnés. Il s'ensuit que le premier des n + 1 groupes de trois équations disparaît, ainsi que le dernier, et il ne reste plus que 3n — 3 équations au lieu des 3n 4- 3 primitives (n° 365). Mais, dans ce cas, la distance L des deux points fixes est connue en grandeur et en direction, et, si nous désignons par i, fx, u les angles que L fait avec les axes, et par l la longueur de l'un des côtés du polygone, nous aurons les trois équations :
L ces X -- S/ cos a,
L cos |x = Itl ces b,
L cos u = Si ces c,
qui, jointes aux 3n — 3 précédentes et aux n équations :
cessai + cos*6i + cos'Ci =» 1,
ces* a« + cos* bn + cos* Cn = 1,
serviront à déterminer les 4n inconnues.
Si l'on se propose, dans cette hypothèse de A et E fixes, de résoudre le second problème, c'est-à-dire de déterminer en grandeur et en direction les forces Pj^... Pn-i, à appliquer aux différents nœuds, et les tractions R et S exercées sur les points fixes, nous aurons 4n + 4 inconnues. Or, R et S sont données respectivement par le premier et le dernier des n + 1 groupes de trois équations (n° 356), desquels on tire :
R = — Ti, a = a,, P = 6i, y -= c^,
Il reste alors, pour déterminer les 4n — 4 inconnues restantes, les n — 1 groupes de trois équations, et, en outre, les n — 1 équations :
cos* aj + cos^ Pi -f- cos* Yi = 1 ,
C0S«an-i + C0S*pn-l + C0S«yn-l = 1,
c'est-à-dire 4n — 4 équations.
358. Examinons encore le cas d'un polygone funiculaire fermé de n côtés, et proposons-nous de déterminer les tensions T^,...Tnyet les angles que ces côtés font avec les axes.
Soient P^ (« ,, Pi, 7i),... P« K.Pn^yn), les forces données appliquées aux n sommets. Nous aurons les 3n équations suivantes qui expriment qu'il y a équilibre à chaque sommet entre la force P et les tensions des deux côtés adjacents :
Pi cos aj -f- Ti cos «1 — Tn ces an «= 0, Pi cos pi -f Ti cos 6i — Tn ces hn = 0, Pj cos Yi + Ti cos Cl — Tn COSCn = ;
P^ cos ttjj + T55 cos a^ — Ti cos ai = 0, Pg cos P2 + Tg cos &2 — Ti cos &1 = 0, P2 ^s Yg + Tj cos Cg — Ti cos Cl = ;
Pn cos an -t- Tn COS ttn — Tn-l COSan-l «O, Pn COS Pn + Tn COS &n — Tn - i C0s6n-1 = 0, Pn COS Yn + Tn COS Cn — Tn-l COS Cn - i =0.
D'autre part, on a les n relations :
cessai + CCS* 61 + cos^Ci = 1, cos^aj -h cos^Jg + cos^Cg = 1,
ces* Un + cos^ bn + cos* c„ «= 1 ;
en outre, puisque le polygone est fermé, on a, en désignant par l la longueur d'un des côtés :
S/ oos a =»= 0, 2/ ces 6 = 0, JU cos c = 0.
Nous avons ainsi 4n + S équations entre les 4n înconnnes Tj (a^, 6^, Cj),... Tn («n» ^n> ^n). Or, si l'on élimine les 4n inconnues, en ajoutant, comme nous l'avons fait précédemment (n° 355), les 3n premières équations, on obtient les trois équations :
EPcosa = 0, SP cos p = 0, 2P cos Y -= 0,
qui seront les conditions d'équilibre du polygone fermé.
359. Remarque. — On peut encore mettre les conditions d'équilibre d'un polygone funiculaire sous une autre forme. En effet, comme chaque nœud doit
être séparément en équilibre sous Faction de la force qui y est appliquée et des tensions des deux côtés adjacents, on a (flg. 128) :
Fig. 128.
R : P : T, = sin a' : sîn (a + a*) : sin a,
Tj : F : T3 « sin P' : sin (P + p') 2 sin p,
etc.
De ces équations on tire, en égalant les valeurs des tensions :
Psina
sin (a + a') "" sin (p + P') '
de même.
P^ sin p sin (P + P')
P^^ sin f sin (Y + f) '
et ainsi de suite.
Ce sont les conditions d'équilibre du polygone funiculaire.
On a aussi pour la tension du premier côté :
sin (a + a'j
360. Cas particulier. — Si les forces sont les bissectrices des angles du polygone, on a, en désignant par 2a, 2^,... les angles formés par les côtés,
2 ces a 2 CCS p 2 ces y
Donc, Véquilibre exige que chaque force soit pvvportionnelle au double du cosinus de Vangle qu'elle fait avec chacun des côtés adjacents du polygone. La tension est constante dans toute retendue du fil.
C'est ce qui arrivera lorsque les forces P, P', P'',... seront appliquées à des anneaux, puisque, comme on sait (n"" 346), dans ce cas, chaque force est bissectrice de l'angle des côtés adjacents.
Cas des forces parallèles.
361. Si les forces appliquées aux différents sommets du polygone sont parallèles et verticales (flg. 129), excepté les deux forces extrêmes, qui sont toujours dirigées suivant les deux côtés extrêmes (par exemple, si ce sont des poids), les conditions d'équilibre prendront une forme simple.
Fig. 129.
En effet, nous avons les équations (n"* 359)
P sina P' sin ^
sin (a + a') ^ sin (p + ?') '
F sin fi
sin (P + p'i
etc.
Or, on a évidemment :
P^^ sin Y^ sin (Y + Y)
d'où :
sin a' = sîn {3, sin p' =» sin y, ...
Multipliant les deux membres de la première équation respectivement par sin a' et sinjS, les deux membres de la seconde par sin/3' et sin y, et ainsi de suite, on a :
P sin a sin a' P' sin p sin P' P^^ sin y sin Y
sin (a + a') ^ sin (p + P') ^ sin (y + y') ^ '"
ou bien :
cotg a -h cotg a" cotgP + cotgp' cotgy + cotgy'
Donc, dans le cas actuel, la condition d'équilibre est que chaque force soit proportionnelle à la somme des cotangentes des angles qu'elle fait avec les deux côtés adjacents au nœud correspondant.
362. Propriété. — La tension horizontale de chaque cordon est une quantité constante.
En effet, la tension du premier cordon AB est donnée par la formule (n^ 359) :
P sin (x!
sin (a + a')
La composante horizontale de cette tension est évidemment :
^ . P sin a sin a'
H == Ti sm a == — r
sin (a + a') cotg a + cotg a'
On trouverait de même que la composante horizontale de la tension du second côté est :
P cotg p + cotg p' '
et ainsi de suite. Par conséquent, la tension horizontale de chacun des côtés du polygone est une constante, et les conditions d'équilibre (n° 361) expriment cette propriété.
363. ^^ROPRiÉTÉ. — La tension de chaque côté est en raisoiï inverse du sinus de Vangle que ce côté fait avec la direction de la force.
En effet, on a :
sma
* sm a' sm p '
364. Propriété. — Lorsque toutes les forces sont parallèles^ le polygone funiculaire en équilibre est un polygone plan.
En effet, l'équilibre de chaque sommet exigeant que la force P qui y est appliquée, et les deux cordons adjacents soient dans un même plan, ce plan contiendra la force P' parallèle à P, et appliquée au sommet suivant. Le côté suivant sera encore dans ce même plan, et ainsi de suite.
365. Propriété. — Les deux côtés extrêmes se rencontrent en un point de la verticale passant par le centre des forces parallèles appliquées aux différents nœuds.
En effet, toutes les forces appliquées au polygone doivent se faire équilibre. Or, toutes les forces parallèles sont dans un même plan avec les forces R et S, dirigées suivant les côtés extrêmes. Mais, toutes les forces parallèles se réduisent à leur résultante égale à leur somme, et par conséquent cette résultante doit faire équilibre aux deux forces R et S. Or, pour que trois forces situées dans un même plan se fassent équilibre, elles doivent concourir en un même point.
Équilibre d*un fil flexible.
366. Trouver la forme cC équilibre d'un fil flexible et inextensible attaché par ses deux extrémités à deux points fixes ^ et sollicité par des forces en ses différents points.
Supposons le fil divisé en éléments de longueur ds ; un élément MM' « ds, considéré comme libre, sera en équilibre sous l'action des forces qui le sollicitent, et des tensions à ses deux extrémités. Ces tensions sont d'ailleurs dirigées suivant les tangentes aux deux points M et M' : elles agissent l'une dans un sens, l'autre en sens contraire.
Soient Vds la force qui agit sur l'élément ds : Xds, Yds, Zds ses composantes ; T la tension à l'extrémité M : ses composantes sont :
^dx ^dy rj^dz^ ds' ds' ds'
Comme la force T est dirigée en sens contraire du sens dans lequel on compte l'arc ds, ses composantes doivent être prises avec le signe — .
Soit T' la tension au point M' : décomposons cette tension suivant les axes. A cet effet, observons que la tension T en un point M de la courbe est une fonction continue de l'arc s qui définit ce point, ou des coordonnées Xy y y z, de ce point : il en est évidemment de même de
ses composantes T -^, T ^, T t-t-. Par conséquent,
quand on passe du point M au point M', ces fonctions augmentent chacune de sa différentielle. Les composantes de T' sont donc :
elles doivent être prises avec le signe +, puisque T est de sens contraire à T.
Nous aurons donc les trois équations d'équilibre :
Des équations (1) on tire les suivantes :
as as
doo Multipliant ces dernières respectivement par -r-,
-j-y -T-, et ajoutant, en ayant égard aux relations :
it)' + m + (S)
doc .dx 1^^^ 1^//^— -0 ds ds '^ ds ds ds ds '
il vient :
rfT -= — (Xrfa? + Yrfy + Zdz),
formule qui donnera la tension T en un point du fil^ en fonction des coordonnées de ce point, lorsque le second membre sera intégrable.
Si nous multiplions les équations (2) respectivement
•fdx ^dy jdz , . . . «i • x
par rf — , d-^j d--r-y et si nous ajoutons, il vient :
Cl/S CvS (a/S
ou bien, en désignant par p le rayon de courbure au point M, et par A, fx, v les angles qu'il fait avec les axes :
i^ + i(XcosX + YcoSfx + Zcosu)d5« = 0;
— 368 ~ d'où :
— + Pcos(P,p)rf5«=0.
De cette formule on conclut que — est égal à la
composante normale de la force Fds qui sollicite Vêlement ds.
Enfin, si Ton multiplie les équations (2) respectivement par :
dyd^z — dzd^y, dzd^x — dœd^z, dœd^y — dyd^œ.
et si Ton ajoute, il vient :
X (dyd^z — dzdhf) + Y [dzd^x — dxdfiz)
+ Z {dœdhf — dyd^œ) = 0,
les autres termes se détruisant.
Cette dernière équation exprime qu'en chaque point la force Pds est dans le plan osculateur à la courbe.
367. Cas particulier. — Supposons le fil soumis à Yaction de la pesanteur seule, et supposons qu'il soit homogène. Désignons par p le poids de lunité de longueur du fil, l'axe des z étant dirigé suivant la verticale de bas en haut.
Nous aurons :
et les équations (1) deviennent alors :
dlT
i (t^) - pâ, - 0.
Des deux premières, on tire, en intégrant :
^das ^ds-''^
^ ds "'
d'où:
dy ft cte "" a'
et, par suite,
Il en résulte que la projection de la courbe sur le flan des xy est une ligne droite, et, par conséquent, cette oMrfe ^ plane.
Remarque, -t- On peut arriver directement au même résultat : en effet, les éléments ds sont les côtés d'un polygone fiiniculaire infinitésimal. Or, les poids des
éléments étant des forces parallèles, le polygone infinitésimal sera dans un plan vertical passant par les deux points d'attache (n*" 384).
368. Puisque la courbe est une courbe plane, nous pouvons la rapporter à deux axes pris dans son plan, Taxe des œ étant horizontal, et l'axe des y .dirigé suivant la verticale, les y étant comptés positivement de bas en haut. On a les deux équations :
Ce sont les équations (^équilibre cTun fil homogène pesant attaché par ses deux extrémités à deux points fixes.
En intégrant ces équations, on a :
ds
Pour déterminer les constantes A et B, nous supposerons que l'on compte les arcs s à partir du point le plus bas de la courbe. Nous aurons évidemment en ce point,
