et -^ «= 0, puisque la tangente en ce point est

parallèle à l'axe des x : \\ en résulte que B =* 0.

dx D'ailleurs, en ce même point , — = 1 ; par conséquent,

la constante A est la tension au point le plus bas : nous la désignerons par pc, c étant la longueur d'une portion du fil dont le poids pc est égal à la tension A au point le plus bas.

Nous aurons alors, en remplaçant les constantes par leurs valeurs :

mdx

ïf = />.;

d'où :

dx c'

or, de la formule :

rfs» — (te« (l + ^^

dafj'

on tire :

et, en intégrïuit :

as

+ K =« ci. (s + |/c« + s*).

eto-— ^=, (3)

ya^ + s*

Pour déterminer la constante K, nous supposerons que l'axe des y passe par le point le plus bas de la

Fig. 180.

courbe (flg. 130), sans du reste fixer l'origine. Il en résultera que l'on a a? « 0, pour sw^Q\ par conséquent,

et, en remplaçant.

j?= cl .

De cette équation on tire :

ce == s + |/c« + s* ;

par conséquent,

\/c^ + s'^^ce — s.

d'où, en élevant au carré et réduisant, on tire :

En éliminant s entre les équations (2) et (5), on trouve :

dx

et, en intégrant,

Si l'on prend l'origine sur la verticale qui passe par le point le plus bas, en un point 0, tel que l'on ait OC «= c (fig. 130), la constante K' est nulle, puisque l'on doit avoir y = c, pour a? = 0.

Nous aurons donc pour l'équation de la courbe qu'affectera le fil :

Cest l'équation de la chaînette.

869. Cette courbe jouit de plusieurs propriétés remarquables : nous allons en étudier quelques-unes.

D'abord, il est évident, d'après l'équation (7), que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des y.

D'autre part, de l'équation (5) on tire :

ds d'où, à cause de l'équation (7) :

Or, cette équation exprime qu'en chaque point de la chaînette, la projection MK de l'ordonnée de la courbe sur la normale MN est constante et égale à c.

On a, en eflfët (fig. 130),

MK = MP . ces PMK -» y cos T « y ^ = c.

L'équation (2) nous donne :

Cette équation exprime que la projection MI de Vordonnée sur la tangente MT est égale à Varc CM, compté à partir du point le plus bas de la courbe.

En effet, on a (flg. 130) :

MI = IF tg IPM « IP tg T - c ^ =T= 5.

D'ailleurs, les équations (8) et (9) nous donnent :

Cette équation exprime que Vordonnée y, Varc MC, et l'ordonnée c du point le plus bas forment un triangle rectangle dont Vordonnée y est Vhypothénuse.

Des équations :

T^-pc. (1)

on tire :

T = py.

Donc, la tension en un point quelconque de la chaînette est proportionnelle à Vordonnée de ce point.