Remarque. — De l'équation (2) on tire
ds =^cd.^y ou bien, en remplaçant ds par sa valeur rfa? %/ 1 + -jr^ •
On trouve pour X équation différentielle de la chaînette :
371. Propriété, — Le rayon de courbure de la chaînette est égal à la normale MN, mais dirigé en sens contraire.
En effet, le rayon de courbure est donné par la formule :
et, en vertu de (10), on a :
Mais, de l'équation (8) on tire :
par suite,
D'autre part, on a :
MN = y %/l + ^ «= ^, et, par conséquent, p = MN.
Équilibre d'un fil appliqué sur une surface.
872. Un fil est appliqué sur une surface ^ et sollicité par des forces dirigées dune manière quelconque dans l'espace. On demande de trouver la position d'équilibre de ce fil.
Soient MM' — ds un élément du fil (flg. 131), et Pds
la force agissant sur cet élément.
Nous rendrons l'élément libre en introduisant la réaction Ncf^ de la surface et les deux tensions T et T' aux deux extrémités M et M'.
L'élément ds libre est alors en équilibre sous l'action des forces Fds, Nd^, T et T. Par conséquent, les équations d'équilibre sont :
d (t^) + Xd5 + Nrf^cosX = 0, d [t^) + Y(fc + Nds CCS fx = 0, rf (t^) + Zds + Nds cos u ^ 0,
A, f*, u étant les angles que fait avec les axes la normale à la surface :
Les équations (1), (2) et (3) nous donnent
Multipliant ces équations respectivement par -r-,
■#» J-» Bt ajoutant, en observant que l'on a : as as
m + (f )■ + fê)'
^dœ , dy , dz ^
cosX^ + cosp^ + cosu^«0,
il vient.:
dT + Xrfo? + Ydy + Zdz = 0,
d'où, en intégrant,
T = C —f{Kdœ + Ydy + Zdz). (8)
Cette équation servira à déterminer la tension T au point M.
Pour trouver la forme d'équilibre du fil, nous devons chercher une deuxième équation à joindre à l'équation (4).
A cet effet, multiplions les équations (5) et (6) respectivement par -^ et -7-, et retranchons, il vient :
On a de même :
^dzd^ — dyd^z , ^dz „dy , ^J dz dy\ ^ ,,^,
^dœ(Pz — dzd^x , „dx ^dz , ^^t dœ ^dz\ ^ ,.,,
Cela posé, multiplions ces dernières équations respectivement par —, —, T-» et ajoutons, il viendra :
d¥^ l dyd^œ — dœdHf \ , rn ^ I dzd^ — dyd^z \ ^ dz \ rf^ / ^ ^ dœ\ ds' )
(ÎF [ dxd^z — dzd^œ \ , '^F / rfy ^ dœ\ + ^ d^\ 'd^ / "•" dz [^ ds ^ dsj
dx\ ds ds] ^ dy\ ds ds}
. ^Aॠt ^dy dx\ , d¥l dz dy\
, d¥ l dx . dz\\ ^
Or, il est facile de voir, en remplaçant cosl, cosf*, cosu par leurs valeurs que le coefficient de N est nul, et, par conséquent, cette dernière équation se réduit à la suivante :
dF dydfix — dxâ^y , m^ dzd^ — dyâ^z dz ds^ '^ dœ d^
yrp^ dxd^z — dzd^x . ^ /y^ v — \ dy * ds^ dz\ ds ds)
Cette équation (12), jointe à l'équation (4) donnera la forme d'équilibre du fil.
878. Pour déterminer la réaction normale de la surface, ou la pression exercée par le fil sur cette surface, nous multiplierons les équations (5), (6) et (7) respectivement par cos X, cosfx, cos v, et nous ajouterons ; nous aurons l'équation :
+ p(^ cos X -f Y cos p + Z cos v) 4- N ~ 0,
qui servira à déterminer N.
Cette dernière équation peut être mise sous une autre forme que nous allons chercher. En désignant par p le rayon de courbure de la courbe, et par A^, fXj, v^ les angles qu'il fait avec les axes, on a :
. d^x dhj d^z
COSX,-p^, COSfX,«p^, cosu, = p^.
et l'équation précédente devient :
— (COSl COSij + COSfX COSjXj + COSUCOSU,)
+ (X cosX + Y cos|[x + Z cpsu) + N « 0.
Or, en désignant par 19 l'angle que fait le rayon de courbure de la courbe avec la normale à la surface, on a :
cosYj = cosX cosXi + cosfi cosfXi + cosu cosui ;
d'autre part, si 6 est l'angle que fait la force P avec la normale à la surface, on a :
XcosX + Ycosfx + Zcosu = P cos9,
et il vient alors :
— cos>i + P cos9 + N — ,
équation qui donnera la pression — TUds exercée par un élément cb du fll sur la surface.
374. Cas particuliers. — r Si les forces qui sollicitent le fil sont nulles, on aura : X «= 0, Y =«= 0, Z — ; par suite.
d'autre part, on a :
— N «■ - ces >î.
Donc, la tension en chaque point est constante^ et la pression exercée par chaque élément du fil est proportionnelle à cette tension constante^ et en raison inverse du rayon de courbure.
2^ Si la force aux différents points du fil est normale à la surface, on a : .
X = PcosA «PV^,
dx
dF Y = F cos II ^FYj-^
dF Z « Pcosv «=PV^,
en posant,
L'équation (8) nous donne encore :
D'ailleurs, l'équation (12) se réduit à son premier terme, et il vient :
dF âV
^ (dzd^ — dyd^z) + g^ (dxd^z - dzd^x)
dF + ^ {dyd^x — dxd^) « 0.
Or, les coefficients de cette équation sont ceux du plan osculateur, et en les désignant par A, B, C, on a :
j^àF dF dF ^Q
'^ dt/ dz
Cette dernière équation, jointe à l'équation :
nous donnera la forme du fil.
Il est facile de voir que l'équation :
dF dF dF dœ dy ^ ôz
exprime que la normale à la surface est dans le plan osculateur de la courbe. Donc, le plan osculateur de la courbe est normal à la surface. Cette courbe jouit de la propriété d'être la plus courte que l'on puisse mener sur la surface entre deux quelconques de ses points : c'est une ligne géodésique.
3^ Si nous supposons le fil libre, nous aurons N = 0, et les équations (1), (2) et (3) deviennent alors :
ce sont les équations que nous avons trouvées précédemment (n"" 366).
Les équations (8), (9) et (10) nous donnent :
^.dz „ dy , ^dz d^y — dy d^z ^
r,dœ ^ dz . -.dœé^z — dz d^œ ^ ^rfj""^rfj+^ d^ ^•
Il est facile de s'assurer que ces trois équations se réduisent à deux qui sont celles de la courbe d'équilibre.
4® Si le fil est libre et soumis à V action de la pesanteur seule^ on a :
X-^0, Y — 0, Z^ — g, N*»0, et les équations (1), (2) et (3) nous donnent :
5° Si le fil libre est sollicité par des forces normales à ce fU, les équations d'équilibre sont :
rf(T9^l+Xtb-0,
d[^%)+^ds^O,
rf|T5^l + Zefe — O»
La force étant normale au fll, on a :
Xdœ + Ydy + Zdz = 0, «t réquation (8) nous donne :
T =s const.
Les équations d'équilibre deviennent alors ;
dx
^Trf(f)+X^ = 0, Td (g) + Yds = 0.
Trf(g)+Zrf. = 0;
d'où, en élevant au carré, et ajoutant, en observant que l'on a :
il vient :
d'où :
T = Pp,
ou bien
Donc, quelle que soit la force normale au fil, la forme du fil est telle que la force est en raison inverse du rayon de courbure.
Remarque. — Si la force P est constante, on a p = const., et, par conséquent, la courbe est un arc de cercle.
