CHAPITRE VIII

Principe des vitesses virtuelles.

375. Considérons un système de points matériels quelconques, soumis à certaines conditions, et supposons ce système transporté de la position qu'il occupe dans une position infiniment voisine qui satisfasse à toutes les conditions données. On appelle déplacement virtuel ou vitesse virtuelle d'un point quelconque, la droite qui joint la première position de ce point à la seconde. Le mot virtuel indique que ce déplacement est seulement possible, mais il n'a pas réellement lieu, et l'on n!a pas à considérer les forces qui seraient capables de produire ce mouvement.

On appelle moment virtuel ou travail virtuel dune force le produit de la valeur absolue de cette force par la projection sur sa direction du déplacement virtuel de son point dC application.

On est convenu de considérer la projection comme positive ou négative, selon qu'elle est dirigée à partir du point M d'application de la force dans le même sens que

la force ou en sens contraire, c'est-à-dire suivant que l'angle formé par la direction de la force avec le déplacement est aigu ou obtus.

Le moment virtuel est positif ou négatif suivant que la projection du déplacement est positive ou négative. Il est nul, si le déplacement est perpendiculaire à la direction de la force.

D'après cela, si l'on désigne par P la force appliquée à un point M, par as le déplacement virtuel de ce point, par (P, $s) l'angle compris entre ces deux directions, le travail virtuel de la force P est :

P . Is ces (P, Is).

Ce travail sera positif ou négatif suivant que l'angle (P, $s) est aigu ou obtus.

Remarque. — Il est évident que l'expression P . $s cos(P, as) peut être mise sous la forme :

P ces (P, Is) . hs,

et, sous cette forme, on voit que le moment virtuel de la force P est égal au produit de la vitesse virtuelle multipliée par la projection de la force suivant la direction du déplacement.

376, Le principe des vitesses virtuelles peut s'énoncer, en général, de la manière suivante :

Si des forces en nombre quelconque se font équilibre sur un système de points fnatériels, assujettis à des conditions données^ la somme des moments virtuels de toutes ces forces est nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons du système.

Réciproquement, si la somme des moments virtuels est nullCy le système sera en équilibre.

Nous démontrerons d'abord ce principe pour le cas d'un point unique.

377. Théorème. — Étant donné un nombre quelconque de forces P, P', P",..- concourantes^ le moment vû^tuel de la résultante de ces forces est égal à la somme algébrique des moments virtuels des composantes.

Soient R la résultante des forces P, P', P",... appliquées à un même point (fig. 132), et 00' = Ss un déplacement virtuel quelconque de ce point. Soient a, a\ a",...

Fig. 182.

les angles que les forces P, P', P",... font avec le déplacement 00', et ô l'angle de R avec ce déplacement.

Nous aurons (n^* 222) :

R ces 9 == P ces a + P' ces a' + P" cos a" + ... ; par conséquent,

r55 cos 9 = Vis cos a + P'85 cos a' + P"85 cos a" + ...

Or, en désignant par 5r, Sp, Sp,... les projections de 3s sur les forces R, P, P',... cette équation nous donne :

Ror = Pô/} + P'Sjo' + P^'Sp" + ... = SP5;},

ce qui démontre le théorème énoncé.

378. Pour que les forces P, P', P",... se fassent équilibre, il faut et il suffit que l'on ait R = 0, et, par conséquent, il vient :

Sp8/) ^ 0. (1)

Donc, pour que des forces appliquées à un point inatériel libre se fassent équilibre^ il faut et il suffit que la somme des moinents virtuels de ces forces soit nulle pour un déplacement virtuel quelconque.

Remarque. — Si l'on désigne par X, Y, Z les composantes de la force P suivant les axes, par Sœ, Sy, Sz les projections de Ss sur ces axes, le moment virtuel de la force P sera égal (n° 377) à la somme des moments virtuels de ses composantes, et nous aurons :

P8p = X8a? + Yôy + Z5^.

L'équation (1) devient alors :

S PLSo? + Y8y + Z5^) = 0. (2)

Cette équation (2) nous donne immédiatement les trois équations d'équilibre d'un point libre (n® 220). En effet, elle peut être mise sous la forme :

3j7 . SX + Sy . 2Y + 05 . SZ =- ;

d'où l'on tire, puisque dœ, 5y, oz sont arbitraires comme is^

SX — 0, SY = 0, SZ = 0.

379. Considérons maintenant deux points M et M' (flg. 133), soumis respectivement à l'action de deux forces égales et directement opposées P et P' et cherchons la somme des travaux virtuels de ces forces pour un déplacement très petit du système de ces deux points.

Soient {œ, y, z), {œ\ y\ ^') les coordonnées rectangulaires des deux points M et M' (flg. 133), r la distance de ces deux points, nous aurons :

r» =- (^ - 0/)* + iy—y'f + (^ - zf. (3)

Nous considérerons les forces P et P' comme positives ou négatives suivant qu'elles tendent à rapprocher ou à séparer les deux points d'application. Par conséquent, les cosinus directeurs de la force P sont :

et le travail virtuel de cette force P sera :

Pl /

— - (0? - 0?') Sa? + (y — y) 8y + U - z' )lz ;

de même, le travail virtuel de la force P' égale et directement opposée à P sera :

^'1(0?- a?') Iccf + (y-^y') V + (z-z)tz^l

Nous aurons donc pour la somme des moments virtuels de ces deux forces, en observant que P = P', l'expression suivante :

Or, de la formule (3) on tire :

r5r=(a?— a?')(8a?— 8a?') + fy~y')(3y--8y')+(^--5')(8;2:--8^');

par conséquent, la somme des moments virtuels des deux forces P et P' est égale à :

On voit que cette somme sera nulle, si la distance r est constante.

Donc, dans tout déplacement virtuel pour lequel la distance MM' ne variera pas, la somme des moments virtuels des deux forces P et P' est nulle.

Cette propriété aura lieu lorsque les deux points sont unis par un lien rigide, ou lorsqu'ils sont liés par un fil flexible et inextensible, ce fil étant tendu, et restant tendu pendant le déplacement virtuel considéré. Elle cesse d'avoir lieu si les deux points sont unis par un fil élastique, ce fil s'allongeant ou se raccourcissant pendant le déplacement virtuel.

Théorème des moments virtuels poixr un système matériel quelconque.

380. Nous avons vu précédemment (n° 244) que les forces qui sollicitent un système de points matériels sont de deux espèces : elles sont intérieures ou extérieures. Les forces intérieures sont celles qui émanent de points faisant partie du système ; les forces extérieures émanent, au contraire, de points matériels extérieurs au système.

On divise aussi les forces en forces directement appliquées et forces de liaisons. Nous allons définir ce que l'on entend par forces de liaisons.

En général, les divers points d'un système ne sont pas indépendants les uns des autres : leurs coordonnées sont assujetties à remplir certaines conditions, à satisfaire à certaines équations auxquelles on donne le nom de liaisons. Ainsi, certains points du système peuvent être assujettis à rester à des distances invariables les uns des autres; certains points peuvent être assujettis à rester sur des courbes fixes ou des surfaces fixes; certaines parties du système peuvent être assujetties à rester en contact les unes avec les autres.

Ces conditions sont exprimées par des équations entre les coordonnées des points du système et constituent ce que l'on appelle les liaisons. Ces liaisons équivalent à des forces.

En efffet, si l'on supprime une liaison, le système prendra un mouvement différent de celui qu'il aurait pris si la liaison avait subsisté : l'état de repos ou de mouvement du système sera modifié. Or, il est évident

que l'on pourra ramener le système à son état primitif, en appliquant certaines forces aux différents points de ce système. Ces forces s'appellent forces de liaisons : elles peuvent être intérieures ou extérieures, suivant les cas. Lorsqu'une liaison est remplacée par une force, cette force devient une force directement appliquée.

381. Considérons maintenant un système quelconque de points matériels sur lesquels agissent des forces données. Ces points peuvent être libres, ou soumis à des liaisons. Or, en substituant aux liaisons les forces qui peuvent en tenir lieu, le système pourra être considéré comme composé d'un certain nombre de points matériels libres sur lesquels agissent les forces données, et les forces de liaisons, c'est-à-dire les forces inconnues provenant des liaisons entre les points ou des obstacles extérieurs au système.

Pour que chacun des points du système soit en équilibre, il faut (n*^ 378) que la somme des moments virtuels de touêes les forces intérieures et extérieures qui agissent sur lui soit nulle pour un déplacement virtuel quelconque de ce point.

Si l'on fait la somme des équations semblables obtenues pour chacun des points du système, on en conclut que, dans tout système matériel en équilibre, la soynme des moments virtuels de toutes les forces intérieures et extérieures qui sollicitent les différents points est nulle pour tout déplacement vi^^tuel quelconque.

Il est évident que ce théorème ne serait d'aucune utilité à cause de Timpossibilité de déterminer a priori les forces de liaisons. Mais, on peut, comme nous allons nous en assurer, éliminer les forces inconnues, de manière que l'équation ne renferme plus que les moments virtuels des forces motrices données. Il suffit, pour cela, de prendre parmi tous les déplacements

infiniment petits que Ton peut attribuer aux différents points matériels, ceux qui sont compatibles avec les liaisons du système, et alors les liaisons disparaîtront d'elles-mêmes.

Nous allons définir ce que Ton entend par un déplacement virtuel compatible avec les liaisons du système. C'est un déplacement qui doit être possible sans altérer les liaisons du système ; en d'autres termes, les équations de liaisons doivent être vérifiées par les différents points du système, non-seulement dans sa position actuelle, mais aussi dans celle qui correspond au déplacement. Si donc les équations de liaisons sont vérifiées par les coordonnées (a?, y, z), {œ\ y\ ^'),... des différents points du système, elles doivent être vérifiées aussi, et au même instant, par les coordonnées :

[X f Ix, y + ly,z + oz], (a?' + 8a?', y' + ty\ ^' + 8^'),...

de ces mômes points après le déplacement.

382. Démontrons maintenant que, si l'on considère des déplacements compatibles avec les liaisons, les forces qui tiennent lieu de ces liaisons disparaîtront d'ellesmêmes.

P Si certains points sont unis par des liens rigides, la distance de deux points ne varie pas, et, par suite, la somme des moments virtuels des forces provenant des liaisons de ces points est nulle (n*^ 379). Par conséquent, ces forces n'entreront pas dans l'équation des moments virtuels.

2*" Si un point M du système est assujetti à rester sur une surface fixe, la réaction de la surface est normale à cette surface, et le déplacement du point étant dans le plan tangent, le moment virtuel de cette réaction est nul. Il en sera de même pour tous les points assujettis à

demeurer sur des surfaces fixes. Il en est aussi de môme pour tous les points assujettis à demeurer sur des courbes fixes. Donc, les réactions de ces obstacles n'entreront pas dans l'équation des moments.

3° Si un point est assujetti à demeurer sur une surface faisant partie du système, et mobile avec lui, la réaction N de la surface est encore normale à la surface. Mais, le déplacement Ss n'est pas, en général, perpendiculaire à cette réaction : en efFet, on doit alors combiner le déplacement du point sur la surface, avec le déplacement de la surface, et ds peut être considéré comme la résultante d'une vitesse relative du point M, tangente à la surface, et d'une vitesse d'entraînement due au mouvement de la surface. Or, la projection $n de Ss sur la normale se réduit à la projection de la vitesse d'entraînement, et le moment virtuel NSn restera dans l'équation des moments. Mais, le point exerce sur la surface une pression N' égale et contraire à la réaction N ; la vitesse du point d'application de cette pression est évidemment égale à la vitesse d'entraînement. Par conséquent, le moment virtuel de la pression N' est N'iîn' = N(în ; ces deux moments virtuels égaux et de signes contraires se détruiront dans l'équation des moments virtuels. Il en serait de même pour tous les points assujettis à demeurer sur des surfaces mobiles.

4"" Enfin, si deux corps s'appuient l'un contre l'autre, il en résulte des pressions normales égales et opposées, dont les moments virtuels égaux et de signes contraires, disparaîtront de l'équation des vitesses virtuelles.

Il résulte donc de cette discussion que, dans tout système matériel soumis à des conditions analogues à celles que nous venons d'examiner, et pour tout déplacement virtuel compatible avec ces liaisons^ la somme des moments virtuels des forces de liaisons inconnues est

nulle; par conséquent, si l'équilibre a lieu, la somme des moments virtuels des forces motrices sera nulle, et l'on aura :

SPSp = 0.

383. Réciproquement, si la somme des moments virtuels est nulle pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons, le système est en équilibre.

En effet, si les forces appliquées au système ne se font pas équilibre, ce système prendra un certain mouvement compatible avec les liaisons, et l'on pourrait empêcher ce mouvement en appliquant à chacun des points du système, dans la direction opposée à celle où il tend à se mouvoir, une force Q d'une intensité convenable. Le système étant alors en équilibre, nous aiu'ons, d'après ce qui précède (n*" 382) :

SP5/) + SQôç = 0.

Or, par hypothèse,

SP5p - ; par conséquent, on a :

HQ^jq = 0.

Mais, chaque force Q étant directement opposée au déplacement virtuel dq de son point d'application, les moments virtuels Q^q sont tous négatifs. Par conséquent, l'équation I^Q^q = est impossible, et, par suite, l'hypothèse que nous avons faite était absurde, et le système proposé était en équilibre sous l'action des forces P seulement.

384. Nous aurons donc le théorème suivant qui constitue lepri7icipe des vitesses virtuelles :

Théorème. — Pour qu'un système de points matériels^ soumis à des liaisons quelconques^ et sollicités par des forces 7notrices quelconques soit en équilibre^ sous roction de ces forces, il est nécessaire et suffisant que la somme des moments virtuels de ces forces soit nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons du système.

Si donc on désigne par P l'une quelconque des forces motrices, et par ^p la projection sur sa direction du déplacement virtuel os de son point d'application, la condition nécessaire et suffisante de l'équilibre est :

SPSp = 0,

le signe S se rapportant à toutes les forces motrices.

Remarque. — Si l'on désigne par X, Y, Z les composantes de la force P, par œ, y, -s: les coordonnées de son point d'application, l'équation précédente pourra être remplacée par la suivante :

S ÇLlx + Yly + Zlz) = 0.

385. Nous allons voir maintenant comment le principe des vitesses virtuelles peut donner les conditions d'équilibre d'un système quelconque^ soumis à des liaisons données.

Soient :

Li==0, L, = 0, ... La = 0, (1)

k équations données entre les coordonnées des n points qui composent le système : ce sont les équations de liaisons.

L'équation d'équilibre est :

S (Xix + y8y + Zoz) «= 0,

les déplacements Sœ, St/y dz,... étant compatibles avec les liaisons du système.

Or, pour exprimer que les déplacements sont compatibles avec les liaisons, nous devons exprimer que, si les coordonnées x, y, z,... des différents points satisfont aux équations (1), il en sera de même des coordonnées œ 4- dœ,y + Sy,z + dz,... Nous devrons donc avoir les équations de condition :

Lj + ôLj = 0, L^ + 5L2 « 0, ... La + SLa = ;

ces équations devant être vérifiées en même temps que les équations (1), on a :

oLi = 0, Sl^ = 0, ... oLft = 0.

Par conséquent, les variations dœ, Sy, 3z,... doivent satisfaire aux k équations :

dL,

dL,

(?Li

-^->! 2^+ -^;f Sy + ^8^ + ^ Sa?' + ... = 0,

(?Li

dx

ày

dz

dx'

dx

8^ + ^Sy + '^a. + ^aa^+... = o.

dz

Ce sont ces équations (3) qui expriment que les déplacements des différents points sont compatibles avec les liaisons du système.

Nous les appellerons les équations de compatibilité.

Si de ces équations (3) on tire les valeurs de k variations, et qu'on les substitue dans l'équation (2), on obtiendra une équation renfermant 3n — k variations indéterminées. Comme cette dernière équation doit être vérifiée pour toutes les valeurs de ces 3w — k indéterminées, il faudra que les coefficients de chacune d'elles soient nuls séparément. Nous aurons ainsi 3n — k équations, nécessaires et suffisantes pour Véquilibre du système. En les joignant aux k équations données (1), nous aurons 3w équations entre les 3n coordonnées des différents points du système et les forces données. Ces équations pourront servir à déterminer les positions des n points du système, de manière que l'équilibre ait lieu, ou bien les positions d'un certain nombre de points, ainsi que les grandeurs et les directions d'un certain nombre de forces.

386. Observons que l'opération que nous venons de faire, revient à éliminer k variations entre les équations (2) et (3). Or, cette élimination peut se faire par la méthode des multiplicateurs. A cet effet, on multiplie les équations (3) par des facteurs indéterminés Xj, >2» •••'»» puis on ajoute à l'équation (2) : on égalera à zéro les coefficients des k variations que l'on veut éliminer, et l'on aura ainsi k équations pour déterminer les k facteurs ^1» ^8>"- ^A- On égalera ensuite à zéro les coefficients des 3n — k autres variations qui sont arbitraires. On voit donc que l'on doit égaler à zéro les coefficients des 3n variations ; k des équations ainsi obtenues serviront à déterminer les valeurs de 1^,1^,,.. ïj^ , et en substituant

ces valeurs dans les 3n — k autres équations, on aura les conditions d'équilibre.

Remarque. — Cette méthode présente l'avantage de faire connaître lo^^ efforts produits par les liaisons, et les forces capables de remplacer les équations de liaisons.

Nous aurons, en effet, les 3n équations suivantes :

. dLi . dLg , . ^L

^ + ^'' dx' + '^ (?a?' + ••• ^ ^'^ do?' ^'

Or, ces équations sont précisément les mêmes que celles que l'on obtiendrait si les équations de liaisons (2) n'existaient pas, c'est-à-dire si tous les points étaient libres, et si l'on appliquait :

r Au point M (x, y, z):

une force ayant pour composantes :

''dx' ''dy' ''^ dz ' une force ayant pour composantes :

^'^Tx' "" dy' ^ ôz '

2^ Au point M' (a?', y\ z') :

une force ayant pour composantes :

^'daf' ^'ly^' ^''èz'' une force ayant pour composantes :

^ d^' ' ' dij ' ^- ()3' '

et ainsi de suite.

On voit que la force, appliquée au point M, et qui. tient lieu de l'équation L^ — 0, est normale à la surface qui aurait pour équation L^ « 0, dans laquelle on n(î regarderait que x, y, z comme variables ; de même, la force, appliquée en M', est normale à la surface qui aurait pour équation Lj = 0, en ne considérant que ^\ y\ ^ comme variables, et ainsi de suite.

On comiaît donc ainsi en grandeur et direction les forces qui pourraient remplacer les liaisons.

Applications.

387. Équilibre d'un point matériel assujetti a DEMEURER SUR UNE SURFACE. — Soient X, Y, z les composantes de la résultante des forces qui sollicitent le point, et :

F (0?, 2/, ^) = 0, l'équation de la surface.

En. désignant par Sœ, dy, 9z les projections du déplacement virtuel sur les axes, on a l'équation d'équilibre :

X5a? + Y5y + Zoz = ;

d'ailleurs, les déplacements Sx, iy, 3z doivent satisfaire à l'équation de compatibilité :

En éliminant entre ces équations l'une des variations, par exemple iz, il vient :

cette équation devant être vérifiée, quels que soient Sx, et i^j se décompose en deux, savoir i