OZ OX

dF dF

on en tire, comme précédemment (n"" 226) :

dF "* dp"" dF' dx dy dz

d'où l'on conclut que, pour qu'il y ait équilibre, il faut que la résultante des forces appliquées soit dirigée suivant la normale à la surface.

388. Équilibre d'un point matériel assujetti a DEMEURER SUR UNE COURBÉ. — Soient :

f(co> y, X) = 0,

les équations de la courbe, et X, Y, Z les composantes de la résultante des forces qui sollicitent le point. L'équation d'équilibre est :

X8â? + Yoy + z8^ «= ;

les équations de compatibilité sont :

ày

àf..

5aj + ^ 8y 4- -^ 8« = 0.

De ces trois équations on tire :

dF dF âF ^Q

dœ dy dz

df dr dr

dœ dy dz

C'est l'équation que nous avons trouvée précédemment (n° 227).

389. Équilibre d'un solide invariable. — Proposons-nous d'appliquer le principe des vitesses virtuelles à la recherche des conditions d'équilibre d'un système de forme invariable, soumis à l'action de forces données, et d'ailleurs entièrement libre.

D'après ce que nous avons vu (n"* lll), le déplacement d'un corps peut toujours être ramené à un mouvement de translation et un mouvement de rotation. Nous allons donc considérer séparément ces deux mouvements, qui sont d'ailleui's mdépendants Vtin de Vautre,

L'équation d'équilibre du système est :

S (Xoo? + Yly + Zoz) « 0.

Or, si nous considérons d'abord le mouvement do translation, les déplacements virtuels des différents points sont égaux et parallèles. Nous aurons donc :

et ces déplacements sont parallèles. Il s'ensuit que les projections de tous ces déplacements sur chacun dos axes sont égales, et, par suite,

$y = jy « jy »

L'équation des moments virtuels peut donc être mise sous la forme suivante :

Sx . SX + 5y . SY + ^-2 . £Z = 0.

Or, le déplacement commun $s étant arbitraire, il on est de même de ses projections dx, Jy, àz, et, par conséquent, l'équation précédente nous donne les trois équations :

SX = 0, 2Y = 0, SZ = 0.

Ce sont les équations â! équilibre de translation.

Si nous considérons, en second lieu, le mouvement de» l'otation, il s'effectue autour d'un axe passant par le point 0, et nous pouvons décomposer cette rotation en trois rotations autour des trois axes coordonnés.

Considérons d'abord la rotation autour de Taxe des z

(tig. 134) : en vertu de

Fig. 134.

cette rotation, le point M du corps décrira un arc infiniment petit MN sur un parallèle perpendiculaire à OZ, parallèle qui se projette en vraie grandeur sur le plan des xj/. Nous aurons donc :

MN = mn ==- os.

Tous les points du corps décriront des arcs infiniment petits perpendiculaires à OZ. L'équation des moments virtuels étant :

2 (Xix + YSy + Ziz) « 0,

nous aurons à déterminer les projections ix, oy, Sz de MN sur les axes. Or, il est évident que dz = 0, puisque^ Ss est dans un plan perpendiculaire à OZ : d'autre part-, en posant Om = r, et en désignant par 9 l'angle mOx, l'angle inOn sera égal à ^^ , et nous aurons :

to = aô = me = 7nn sin cp =^ rS(f . sin cp,

Sy =z ne = nin cos (p = r$(f . ces ^.

Si nous observons qu'en vertu de la rotation Jç, la coordonnée x du point M diminue, le déplacement $x est négatif, et nous aurons :

Ja? =- — r sin ç d<p,

iy z=^r cos (p (îcp,.

D'ailleurs, on a aussi :

a? = r cos (p, y «= r sin (p,

et, par conséquent,

do? = — yJtp, iy « a?(î(p.

En substituant dans l'équation des moments virtuels, il vient :

et comme (îcp est le même pour tous les points du corps, et que, d'ailleurs, il est arbitraire, on a :

S (Yx — Xy) = 0.

En opérant de la même manière pour les rotations autour des axes des x et des y, on trouve les deux équations :

S [Zy - Yz) ^ 0,

S (Xs: - Ix) = 0.

Ces trois dernières équations sont les équations â! équilibre de rotation (n° 301).

Remarque. — On peut encore obtenir les six équations d'équilibre d'un corps solide de la manière suivante :

Reprenons l'équation des moments virtuels :

le mouvement le plus général d'un corps pouvant être déterminé par une translation et une rotation, nous aurons évidemment pour la vitesse d'un point M du corps :

Va: = Ux']r qz — vy, 'Cy =^ Uy '\' rx — pz^ Vz = Uz +py—qœ,

en désignant par Wj., w,/ , Ug les composantes de la vitesse de translation, et parp, q, r les composantes de la vitesse de rotation.

Or, si nous remplaçons dans l'équation des moments virtuels, do?, dy, ^z par les composantes de la vitesse du point M dans le mouvement virtuel considéré, il vient :

SiX(Ua.+gs— ry)+Y(Wy+ra?— ^z)+Z{w^+/}i/— S'iTlj^O;

mais, les composantes w-j,, Wy, w^, p, g, r étant des quantités indépendantes de a?, j/, z^ on peut les faire sortir du signe S, et il viendra * :

1. n est, en effet, évident qae ces composantes sont les mêmes pour tous les points du corps, la translation et la rotation étant les mêmes pour tous ces points.

u^ ÏX -f u^ ÏY + M, SZ + /)S (Zy — Yz) + gS (X;? — Zx)

+ rS (Yâ? — Xy) = 0.

D'ailleurs, les six quantités Wa-, Wy, w^, |o, g^, r étant arbitraires, on en conclut les six équations :

SX — 0, £Y = 0, SZ « 0,

i:(Zy — Y-2) — 0, 2(Xz — Zo?) « 0, 2 (Y^ — Xy) = 0.

Réciproquement, si ces équations sont vérifiées, l'équation :

sera vraie pour tout mouvement virtuel du corps solide. Par conséquent, les six équations qui précèdent sont les conclUio7is nécessaires et suffisantes de l'équilibre des forces appliquées à un corps solide libre.

390. Problème. — Un j)oi7it matériel M, posé sur U7i plan incliné est sollicité par une force P, et maintenu en équilibre par une force Q, faisant un angle (5 avec le plan. On demande de déta^niner la force Q et la pression du point M sur le plan.

Soit a l'inclinaison du plan AB sur l'horizon (fig. 135).

Donnons au point M un déplacement virtuel Ss compatible avec les liaisons ; ce déplacement sera évidemment situé dans le plan incliné, et nous aurons :

Fus ces (P, 5^) + Q85 ces (Q, Is) = 0.

Or, si le déplacement Ss est perpendiculaire à P, l'angle (P, as) = 90^ d'où cos (P, $s) = 0, et, par suite, on a :

cos (Q, ôs) = 0;

Fig. 136.

donc, la force Q doit être située dans le plan vertical nortnal au plan incliné.

Prenons ensuite le déplacement virtuel suivant BA, nous aurons :

cos (P, is) =« sin a, ces (Q, $s) -« — cos p,

et l'équation précédente nous donne :

P sin a — Q cos p « ; d'où :

P sin a

cosp

Pour déterminer la pression du point sur le plan, nous rendrons le point M libre^ en introduisant la réaction normale N ; nous pouvons alors donner au point M un déplacement virtuel quelconque, par exemple suivant la normale MN au plan incliné : le travail virtuel de N sera N^«, et nous aurons pour l'équation des moments virtuels :

— P(Î5 cos a 4- Q^s sin p + N(Î5 = ; d'où l'on tire :

XT T^ /^ • Q P cos (a + 3)

N = P cos a — Q sm p = .. ^ .

^ cos p

391. Problème. — Un point M est sollicité vers trois points A, B, C par des forces respectivement égales à mr, irHr^, m' V, m, wi', ;?z" étant des coefficients constants, r, r\ r" les distances du point M aux trois points A, B, C. JJ angle BAC est droit. On demande la position d'équilibre du point M.

Prenons les droites AB et AC pour axes des x et

des y (flg. 136), l'axe des z étant perpendiculaire au plan BAC, et posons :

AB-=a, AC — ô.

Les composantes de la force qui attire le point M vers le point A sont ^ :

— mXy — my, — mz ;

par conséquent, le moment virtuel de cette force est :

— m (xSœ + y$y + zSz).

De même, le moment virtuel de la force qui attire le point M vers le point B est :

— m' \{x — a) Jâî + y^y + ^^^\^

et le moment virtuel de la force qui attire le point M vers le point C est :

— m" \xSx + (y — b)Sy + zdz\.

Si nous égalons à zéro la somme des moments virtuels, et si nous posons M = m + m' + m", il vient :

— M {xdx + y3y + ziz) + m^aSx + m'^bdy = 0,