CHAPITRE IX
Attraction des corps.
392. Les phénomènes astronomiques et physiques nous conduisent k reconnaître que tous les corps de la nature s'attirent : deux éléments infiniment petits s'attirent proportionnellement à leurs masses, et en raison inverse du carré de leur distance.
D'après cela, l'action mutuelle de deux éléments infiniment petits dm et dm' sera donnée par l'expression :
fUmdm/
en désignant par u la distance de ces deux éléments, et par /* l'action exercée par l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance.
393. Proposons-nous d'abord de AéievuïAwevV attraction exercée par une couche sphérique homogène infiniment mince sur un élément dm\ situé en un point M à une distance a du centre de la couche.
Soient le centre de la couche (flg. 137), OM = a la distance du point attiré au centre de la couche. Par le centre et Télément M menons un plan qui coupera la
Fig. 137.
couche sphérique suivant une section annulaire, et menons deux rayons Oad, Obc infiniment rapprochés l'un de l'autre.
Soient Oa = r, et ad = bc = dr l'épaisseur de la couche; posons &0M = 9, JMO = (3, 60a — rf9, et 6M =u.
L'élément abcd a pour surface rdMr\ en tournant autour de OM, la section annulaire engendrera la couche sphérique, et l'élément abcd engendrera un anneau de cette couche. En vertu du théorème de Guldin (n° 339), le volume de cet anneau est :
rrfô rfr . 27T . ôg == "Ir.r^ sin 6 rf9 dr.
D'ailleurs, un élément de cet anneau exerce sur l'élément dm' en M une attraction dirigée suivant 6M, et égale à :
fdm dm^
Mais les éléments de Tanneau sont symétriquement placés par rapport à OM. Si nous considérons deux éléments symétriques par rapport à OM, la résultante de leurs actions sur M sera dirigée suivant OM, et égale au double de la projection sur OM de l'une de ces actions. Cette résultante sera donc :
2fdm dm! ^
. -^ ' . cos S.
te* ^
L'action totale de Tanneau étant la résultante des actions de ses éléments, elle aura pour valeur :
2fdm! Q ^ r^ /^^' Q r^ 1 t?~ cos p . -y dm - ^ cos ?y dm, '
Or, le volume de l'anneau étant :
2ûi^ sin BdOdr, sa masse sera, en désignant par p la densité,
