pr2sin0rf0rfr

1. Observons que nous ne devons prendre que ^ / dm, parce que Texpression ;

expression

2fdm' Q ^

est la résultante des actions de deux éléments symétriques ; par conséquent, pour avoir l'action de la masse toWe de Panneau, nous ne devons prendre que la moitié de la masse de cet anneau.

et l'action de l'anneau sur le point M sera :

/p z »^ • CCS p.

Tous les anneaux élémentaires auront de même leur action dirigée suivant OM ; par conséquent, nous aurons l'action totale de la couche sphérique en intégrant l'expression précédente entre les limites de la couche, c'est-à-dire depuis 6 = 0, jusque « tc.

Mais, pour intégrer cette expression, nous devons lui faire subir une transformation. On a :

r^ =a a* + w* — 2au ces p.

u2 = a* + r^ — 2ar ces e,

d'où

o a^ + vr — r*

cosS« ^ ,

^ 2au

sm 6 CÎ9 =

ar

d'ailleurs, de la deuxième formule on tire

pour 6^0, u~a — r,

= ir, u^^' a + r.

Si donc nous désignons par I l'action totale de la couche, il vient :

« ^j t r ^*rf^" a* + w* — ^* udii 1 « 2x:%fdm' I - .- • — 4: . ,

OU bien, en observant que r et rfr sont constants, puisque la couche est donnée :

Or, \nr^ est la surface intérieure de la couche, A.itrdr son volume, et inor^dr sa masse. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — L'action d\me couche sphériqiie homogène infiniment mince sur un point extérieur est égale à celle qu'exercerait la masse entière de cette couche concentrée à son centre.

394. Si le point M où se trouve l'élément dm^ est à l'intérieur de la couche, les limites de l'intégrale seront r — a et r + «, et nous aurons :

TZùfdnV . rdr