De l'équation (5) on tire

rfô = ± ^^^

r |/— c^ + 2ur + hr^ '

on prendra le signe -I- dans le second membre, lorsque r croît quand augmente, car alors d^ et dr sont de même signe ; au contraire, on prendra le signe — , si r décroît quand 6 augmente, puisqu'alors dr et rfô sont de signes contraires.

Nous supposerons, pour fixer les idées, qu'à partir de la position initiale correspondant à r == ?"o» ^^^ rayons commencent par croître, et nous prendrons donc le signe + . Nous aurons l'équation :

rf9 = "^''

Pour intégrer cette équation , remplaçons les constantes c eih par d'autres qui faciliteront la solution. Si l'on pose :

hr^ + 2|ui/' — c» = 0,

cette équation a ses deux racines réelles : en effet, pour r = 0, le premier membre est négatif, et il est d'ailleurs

positif pour d'autres valeurs de r, sans cela 4^ ne serait

jamais réel : Désignons ces deux racines par a{\ — é) et a (1 + ^). Nous pouvons observer que ces deux

racines sont les deux valeurs minimum et maximum

d/T* du rayon vecteur r, puisqu'elles donnent ^ = 0.

Cest donc en passant par ces valeurs de r que dr change de signe.

De ce que les deux racines de l'équation du second degré sont égales à a (1 — e) et a (1 + e), on tire :

A = — ^, c = l/pa (1 — e^) . (7)

L'équation (6) devient alors :

rf9= ^

ar (1 — e^) «« (l — e*)

on en tire, en intégrant,

6 = a + arc cos -

et, par conséquent.

1 + e cos (8 — a)

On voit donc que la trajectoire décrite par le mobile est une section conique ayant le centre d'attraction pour Vun de ses foyers. D'ailleurs, la constante e n'est autre que Texcentricité de cette courbe qui sera donc une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'on aura :

^ < I, e> l, ou e = 1.

Or, des formules :

on tire :

i-==a(l-.e*)==-J(l~eO;

d'où :

ou bien :

Par conséquent, on aura :

e <l, e > l, ou é? « 1,

jsuivant que l'on aura :

A < 0, A > 0, ou h = 0.

Mais, on a :

donc, la trajectoire sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que Ton aura :

Il résulte de là que Tespèce de courbe dépend seulement de la grandeur de la vitesse initiale, et non de sa direction.

125. Pour obtenir la loi du mouvement sur la trajectoire, observons que les équations (2) et (6) nous donnent, en ayant égard aux formules (7) :

j, rdr

dt =

Y^— ^ + 2yr-^a(l~e«)

On pourrait intégrer le second membre au moyen d'un arc de cercle ; mais, la formule ainsi obtenue serait peu favorable pour le calcul de r en fonction de t.

Pour intégrer plus facilement, observons que r étant compris entre a (1 — e) et a (1 + e), on peut poser :

r == a (I — e cos m),

u étant une variable auxiliaire.

Nous aurons alors :

dt = y^ (1 — e cos u) du.

et, si l'on pose :

il vient :

ndt == (1 — e ces u) du.

d'où, en intégrant.

nt =^ u — e sin w.

On n'ajoutera pas de constante, si l'on suppose w *= 0, pour ^ -= 0, c'est-à-dire si Ton compte le temps à partir de l'instant où le rayon vecteur est minimum, et égal à a (1 — é). Quand il s'agit du mouvement d'une planète, ce point s'appelle le périhélie ; le point diamétralement opposé, pour lequel le rayon vecteur est égal à a (1 -h e) est V aphélie.