PCB

dt*

dhi d1*

= fi/;

en intégrant, il vient :

oc == Ae +Be

et, en observant que pour ^ = 0, on a :

^»' y^^ (w)o = -*'«''*' "' fêlr''"'''"''

on trouve pour les valeurs des constantes :

ro t?o CCS g r^ t^p ces a

2 2l/f* 2 2|/|ui

A' = B' = î^2ii2Ji;

par suite,

a\ 'k /» /♦•„ ». cosa\ ~'k f

On en tire :

j/tl/ji -t\/A ajsina + wcosa.

^Q sin a

t?o Sin a

d'où, en élevant au carré et retranchant, il vient pour l'équation de la trajectoire :

(œ sin a + y cos a)* — i-—^ y^ = r^^ sin* a.

Ccst l'équation (10) dans laquelle on a changé le signe de fx.

Cette équation représente une hyperbole ayant pour centre le point fixe.

Observons que les valeurs (11) deviennent infinies pour ^ = 00 ; donc, le mobile mettrait un temps infini pour parcourir la branche d'hyperbole sur laquelle il se trouve au commencement du mouvement.

181. Problème. — Si un point matériel décrit une ellipse sous Vaction cCune force dirigée vers son centre, cette force sera proportionnelle à la distance du point au centre fixe.

En désignant par a et b les demi axes de l'ellipse, l'équation polaire de la courbe est :

/ly qg sin« 9 + feg cos^ 6 l^ , a^ — b^ .

Pour déterminer la force cp nous ferons usage de la formule (4) ou de la formule (7). Or, on a :

" -r^r = — îTr- sin ces 9 ;

d'ailleurs, de Téquation de la courbe on tire :

sin* 9 = — T r:: — i » ces* 9 —

par suite,

% j ^ (gg — rg) (r* — ¥)

d'où :

! [ ^ ) 1 (g* — r«) (r^ — feg) gg + feg r^

Par conséquent.

et la formule (4) nous donne :

Ainsi donc, la force émanant du centre sera proportionnelle à la distance au centre, et elle sera attractive, puisque la valeur de cp est positive,

122. Problème. — Un point matériel décrit une section conique sous Vaction dHune force dont la direction passe constamment par un foyer de cette courbe. Trouver Veœpression de cette force.

L'équation polaire de la courbe est :

^ 1 + ^cose'

p étant le demi paramètre, e l'excentricité. La courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'on a :

^ < 1, e > \y ou ^ = L

Or, de l'équation de la courbe on tire :

1 l + gcos9 r '^ '

d'où :

r __ e cos 9

par suite,

1 r l+ecos6 ecosô i

et, par conséquent, la formule (7) nous donne

On voit que la force est attractive, puisque la valeur de (p est positive^ et qu'elle est en raison inverse du carré de la distance au foyer.

123. Problème. — Trouver le ^Tiouve^nent d'un point matériel sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, et dont Vintensité varie en raison inverse du carré de la distance du point au centre fixe.

La force accélératrice sera donc égale à -g* Observons

que si le centre d'attraction est mobile, on peut ramener le problème au cas du mouvement d'un point autour d'un centre fixe. C'est ce que l'on fait dans le mouvement d'une planète autour du Soleil, si l'on tient compte de l'action de la planète sur le Soleil. En effet, soient M la masse du centre d'action, par exemple le Soleil, m la masse du point attiré,

par exemple une planète. Le point m est attiré par

le point M par une force accélératrice ~§, dirigée

de m vers M ; le point M est attiré par le point m

m par une force accélératrice — — » dirigée de M vers m,

c'est-à-dire en sens contraire de la précédente. Or, on pourra considérer le point M comme fixe, à la condition

d'introduire au point m et au point M vuie force égale

et contraire à la force ë» Le point m est alors

sollicité par les deux forces de même sens -^ et -^i

dirigées de m vers M, et le point M est ramené au repos. Si donc nous posons M + m = f/, nous pourrons considérer le centre d'attraction comme fixe, et le

point m comme sollicité par la force accélératrice ^»

dirigée vers le centre fixe.

Les équations différentielles du mouvement sont :

Le principe des aires nous donne l'intégrale première :

r^d^ ^ cdt, (2)

dans laquelle la constante c, d'après ce que nous avons vu (n** 116), a pour valeur r^ji^^sina, en désignant par r^ et v^ les valeurs initiales de r et v, et par a Tangle que la vitesse initiale fait avec le rayon vecteur mené de la position initiale du mobile au centre fixe. L'intégrale des forces vives nous donne l'équation :

= h + 2f(Xdw -f Ydy) = A — 2^^ *%

d'où :

2tx r

équation dans laquelle on a :

Nous aurons donc une seconde intégrale première

rf^^ ' r

En éliminant dt entre les équations (2) et (4), il vient :

^ r^rfe^ + ^8 - ^ + ,^ • (^'

C'est Véquation différentielle de la trajectoire.

On serait d'ailleurs arrivé au même résultat au

moyen de l'équation (7) {if 119) en y faisant ç = -^-g.