COS
1 — ^ CCS w '
par conséquent,
i + cose = 'l=:^LiL+£2i«l.
1 — e cos w
, ft (1 -4- ^) (1 — ces u)
1 — CCS 9 == - ^
1 — e CCS w
et, en divisant,
Cette formule donnera 6 en fonction de t^ lorsque u aura été déterminé en fonction de t.
Comme on le voit, le calcul des coordonnées r et 9 en fonction de t serait très pénible. On évite ces difficultés en employant les développements en séries procédant suivant les puissances do e. C'est ce qui constitue le prohlèine de Kepler.
188. Remarque. — La durée T de la révolution de la planète est donnée par la formule :
nt =^ u — e sin u ; en y faisant u = 27r, il vient :
nT = 2Tr,
d'où :
129. Cette formule nous permet de démontrer la troisième loi de Kepler, En effet, si l'on néglige la masse m de la planète, comparativement à la masse M du soleil, on pourra remplacer /x par M, et on a alors :
27ra-
pour une autre planète, on a de même
2Tra''-^
On en tire :
ce qui est la troisième loi de Kepler à savoir que les carrés des temps des révolutions de deux planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites,
130. La vitesse en chaque point de la trajectoire est donnée par la formule :
et, en remplaçant h par sa valeur , il vient :
' \r al
Problème de Kepler.
131. Proposons-nous de trouver les développements des coordonnées polaires r et d'une planète en fonction du temps.
A cet effet, nous devons appliquer une formule de Lagrange que nous croyons utile de rappeler d'abord.
Soient u une fonction de Ç et de e, définie par l'équation :
u = 'C, + eff(u),
e étant une quantité très petite, et F (m) une fonction quelconque de la variable u. Le développement de F (m) suivant les puissances ascendantes de e sera donné par la formule suivante ^ :
1. Bertrand. Traité de calcul différentiel. 1864. p. 312 et suivantes
En particulier, pour obtenir le développement de u suivant les puissances de e, il faudra faire F(w) = w, et il vient alors :
132. Cela posé, si l'on veut obtenir le développement de Yanomalie excentrique w, qui est donnée par la formule :
w = Ç + e sin w, (1)
dans laquelle on a posé Ç == w^, il faudra appliquer la formule (B), en posant :
(f{u) = sin u, (p(Ç) =- sin Ç,
et nous aurons, en conservant la lettre K pour simplifier les notations :
t. = Ç + esmÇ + j^-^^ + j— ^-3^+...
Or, si nous remplaçons les puissances des sinus par les sinus et les cosinus des multiples de S, et si nous effectuons les différentiations indiquées, il vient, en remplaçant ensuite Ç par nt, et nous arrêtant aux cinquièmes puissances de e :
Ϋ==n^4-^sinn^ + -^sin2n^-t-2i(3sin3n^--sinn0
f ji.^(2sin4n^— sin2nQ + 5^(5^sin5n^— .3^sin3w^+2sinnO.
133. Pour obtenir rcxpression du rayon i-^ecteur r, qui est donnée par la formule :
- = 1 — e CCS lit
nous appliquerons la formule (A) en posant :
F(w)=l-ecose«, F(î;)=1— ecosÇ, F(?)=esin^, (p($)=sinÇ,
et nous aurons :
En remplaçant les puissances des sinus par les sinus (it cosinus des multiples de Ç, effectuant les différentiations indiquées, et remplaçant enfin % par nf , il vient, (în s'arrêtant aux cinquièmes puissances de e :
-7=1 — ecosn^ — -;T-(cos2n^ — 1) — ^^--^(ScosSn^ — 3cosnO
— ^ (42 CCS Ant - 4 . 2* cos 2nt) (4)
— o 4 >>* (5^cos5n^-- 5.33cos3n^ -f r-^cosn^.
134. Pour obtenir le développement de Vanoraalie vraie 9, qui est donnée par la formule :
4 lu « /l +^. 1
nous aurons à faire usage d'une autre formule due aussi à Lagrang-e et que nous allons démontrer. Soit l'équation :
igCG = m tg y,
et proposons-nous de trouver le développement de x en fonction de y.
En remplaçant les tangentes par les rapports des sinus et des cosinus, et ensuite les sinus et les cosinus par les exponentielles imaginaires, on trouve, en désignant par c la base des logarithmes népériens :
ou bien :
txyZ-i 2Î/V/-1
d'où l'on tire :
, 22/1/- 1 . y ^ -2yl/- 1
2^V/-i {m + l)c —(m — l) 2i^l/-il — Xc c s= ■ ■ = e ■ ■
tyy-\ 2yl/-l
(m + 1) — (m — 1) c 1 — Xc
en posant :
Prenant les logarithmes des d eux membres, nous aurons, en divisant par 2|/ — 1,
Si X est moindre que l'unité, on pourra développer les logarithmes en séries, et il viendra, en remplaçant les exponentielles imaginaires par des sinus et des cosinus :
â? = y + X sin 2y + — sm4y + — sin 6^/ + ...
135. Cette formule, qui a été donnée par Lagrange, est applicable à l'équation (5) : en effet, dans le cas actuel, on a :
par suite.
et, par conséquent, X est moindre que l'unité. Nous aurons donc la formule :
6 = w + 2 X sin t« + — sin 2w 4- "o sin 3w + ... .
Or, des formules (1) et (2) on tire :
sinw= — - — =sinn^+-sin2n^ + 5j(3sin3n^— sinnQ + ,..
On obtiendra sin 2w, sin 3w,... en appliquant la formule (A) dans laquelle on fera Bucc^sivement :
F (u) = sin 2w, sin 3w, . . . (p (u) = sin u,
F (0 = sin 2Ç, sin 3$, ... (p (Ç) = sin Ç,
et ensuite Ç « w^ Nous aurons ainsi :
sin2w «= sin2n^ + e (sin3n^ — sin nti + e^ (siu4ni — sin 2nO + 55—^ (25 sin Qnt — 27 sin Snt + 4 sin nt) + ,.,
sin3ifc = sin Snt + g^ (3 sin 4nt — 3 sin 2n^)
+ 23 (15 sin 5n^ — 18 sin Snt -\- S sin nt)
+ -- (9 sin 67it — 12 sin 4nt + 3 sin 2nt) + ...
Il ne reste plus maintenant qu'à développer les puissances de X suivant celles de e. A cet effet, nouis poserons :
et nous aurons :
l — eL .
Par conséquent, pour obtenir }P, il faudra deve- — p lopper L suivant les puissances (de e.
Mais, de la formule (7) on tire :
L« — 2L + 1 - 1 — es d'où :
Ju
— p Or, nous pourrons développer L suivant les
puissances de e^, en appliquant la formule (A) de
Lagrange dans laquelle nous remplacerons e par e',
et faisant :
w = L, Ç=-2, (f(u) — — Y, (pg)..—-.
F(w)«L ', F(i*) = --^,, Ffô==^, F(i;)^~^;
nous aurons ainsi :
par suite :
> eP . p ^ + ^^ plp+\?) r+* ■ p(?>+4)(j>+5) P+« , 2»'"^2P+« "*"2.2»'+*^ "^ 2.3. 2P+6 "^•"
Si maintenant nous substituons dans l'équation (6) les valeurs de t«, sinw, sin2M,... ainsi que les valeurs des différentes puissances de )., nous aurons, en nous arrêtant aux cinquièmes puissances de e :
Qz=^nt + 2e sin nt + ^ ^' sin 2nt -{- ^^5— (13 sin 3nt — 3 sin nt)
+ 55— ô (103 sin 4nt — 44 sin 2n^)
+ 00 ^o ^ (10^7 sin bni -- 645 sin 3nt + 50 sin nt).
