CHAPITRE PREMIER

Théorie des moments d'inertie.

136. Avant d'aborder l'étude du mouvement des systèmes, nous allons considérer certaines intégrales définies qui jouent un rôle très important dans la théorie du mouvement des corps solides. Nous admettrons, comme nous l'avons fait dans la théorie des centres de gravité (I, n° 329), que la matière qui compose un corps solide est distribuée d'une manière continue dans la totalité de l'espace occupé par le volume de ce corps. Cette hypothèse n'amènera aucune erreur appréciable dans les actions exercées sur les différentes parties du corps.

137.. On appelle ^moment d'inertie d'un point matériel de masse m par rapport à U7i axe, le produit mr- de la masse de ce point par le carré de sa distance à l'axe.

Le mmnent âHinertie d'un système de xmnts matériels de forme invariable par rapport à un axe est égal à la somme des moments d'inertie de ces différents points par rapport à l'axe. Si donc m, m\ m",... sont les masses des différents points, r, r\ r",... leurs distances à l'axe, le moment d'inertie du système sera :

mr^ + mV* + mV* -!-•••== ^mr^.

Si, au lieu de considérer des points massifs isolés, nous considérons un corps solide continu, le ^noment d^inertie du corps par rapport à un axe sera égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments par rapport à cet axe.

Si donc on désigne par dm la masse d'un des éléments du corps, par r la distance de cet élément à l'axe, le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe sera :

= / r^dm.

l'intégrale étant étendue au corps tout entier.

Remarque. — En désignant par du un élément de volume, de surface ou de ligne, suivant que le corps sera un volume, une surface ou une ligne, le moment d'inertie sera donné par la formule :

' / ^r-du,

p étant la densité au point a?, y, ^ où se trouve l'élément du\ p sera donc une fonction de a?, y,

On voit par ce qui précède que le moment d'inertie dépend seulement de la forme du corps et de la distribution de la matière dans ce corps. Il dépend de la position de la droite par rapport à laquelle on prend ce moment d'inertie.

138. Interprétation mécanique du moment d'inertie d'un corps. — Soient « la vitesse angulaire du mouvement de rotation du corps autour de l'axe, dm la masse d'un élément de ce corps, et r la distance de cet élément à l'axe. Pendant le temps infiniment petit dt^ le point m décrira un arc infiniment petit mm^ dans un plan perpendiculaire à l'axe.

La vitesse linéaire de l'élément dm au point m est V == wr, dirigée suivant la tangente à la circonférence de rayon r. La quantité de mouvement de cet élément est (ùrdm ; c'est, comme on sait (I, n"" 202), la mesure de la force qu'il faudrait appliquer au point dm libre et au repos, pour lui communiquer la vitesse v «= wr pendant l'unité de temps. Le moment de cette quantité de mouvement ou de la force qu'elle mesure , par rapport à l'axe est égal (I, n^ 233) à la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe par la distance de cette projection à l'axe. Or, ici, la projection est [la force elle-même ; donc, le moment de la force par rapport à l'axe est :

tùvdm . r = tùv^dm,

La somme des moments des quantités de mouvement du système sera donc égale à :

iiùr'^dm *« (0 / r'^dm.

Donc, le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe est égal à la somme des moments des

quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à l'axe pour une vitesse angulaire égale à l'unité.

139. Le moment d'inertie d'un corps par l'apport à un axe 01 étant calculé, il est évident que l'on peut toigours imaginer une longueur A, telle qu'en désignant par M la masse totale du corps, on ait :

ÇrHm «» MA«.

Cette longueur k est ce que l'on appelle le rayon de gy ration du corps par rapport à la droite 01. Il est facile de voir que cette longueur k n'est autre que le rayon d'un cylindre de révolution qui aurait la droite 01 pour axe géométrique, et sur la surface duquel on supposerait la masse du corps répartie comme on voudra : en effet, le moment d'inertie de ce cylindre par rapport à l'axe 01 serait égal à MÂ^

140. Problème. — Connaissant le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe^ trouver le 7)ioment

d'inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle au premier.

Prenons le premier axe pour axe des ^, et pour plan des zx le plan passant par les deux axes (flg. 26).

^ Soient m (a?, y, ^) un point du corps, dm sa masse, mK =» r et ?nN = R ses distances aux deux axes, a la distance de ces axes.

Fig. 26.

Le moment d'inertie du corps par rapport à 0;^: est /r-rfwî, et son moment d'inertie par rapport à AB est IR^dm.

Or, on a :

R« ^ fo? — (if + ?/««= r« — 2aa^ + a^ ;

par suite,

/ R*rf?n == / ^'^dni — 2a 1 œdm + a^ i dm.

Mais, en désignant par œ^, ij^, z^ les coordonnées du centre de gravité du corps, et par M la masse du corps, on a (I, n"* 323) :

= / dm, IHXq = j xdjn ;

par conséquent,

r^Si^dm «= ÇrHm — 2aM^o + Ma^.

141. Cas particulier. — Si l'axe des z passe par le centre de gravité du corps, on a : o?^ « 0, et il vient :

f^Hm «= frHm + Ma^

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque, est égal au moment d'inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle

passant par le cenlre de gravité^ augmenté du produit de la masse entière du corps par le carré dtC la distance des deuœ axes.

Corollaires. — De la formule précédente on conclut (lUC le 7)wment d'inertie d'un corps par rapport à un axe passant par son centre de gravité est moindre que pour tout autre axe parallèle à celui-ci.

On en conclut aussi que le moment d^inertie n'a pas de maximum, puisqu'il augmente indéfiniment avec a.

Enfin, si a est constant, le moment d'inertie reste constant.

Donc, le moment d'inertie est constant pour tous les axes parallèles et également éloignés d'un axe passant par le centime de gravité.

Remarque. — On peut encore démontrer la formule précédente comme suit :

Soient x^, y^, z^ les coordonnées du centre de gravité G, par rapport à trois axes rectang-ulaires Oo?, Oy, Oz ; menons par le centre de gravité trois axes Ga?i, G^i, G^^ parallèles aux axes coordonnés.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point m du corps par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, et x^, y^, z^ les coordonnées de ce même point par rapport aux axes Ga?i, G^i, G^, ; désignons par I le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe 0-^, et par I^ son moment d'inertie par rapport à Gz^. Nous aurons :

'•f(x^ + y') dm ;

Or,

y - yi + yo ;

par suite,

I =/! (^1 + ^^o)' + (yi + yo)' i dm

= f{xi^ + ^1^) dm 4- 2Xq fœ^ dm

+ ^Viifyidm + (^0* + yo)fdm.

Mais , le centre de gi'avité étant l'origine des coordonnées œ^, y,, z^, on a (I, n** 323) :

/ x^dm = 0, / y^dm = ; .

par conséquent,