CHAPITRE IX

Mouvement des solides naturels.

Choc des corps.

309. Les théories que nous avons exposées dans les chapitres précédents supposent que le solide considépé est de forme invariable, c'est-à-dire qu'il conserve la même forme pendant toute la durée du mouvement. Or, les solides naturels ne sont pas, en général, dans ce cas. Cependant, il existe dans la nature un grand nombre de corps pour lesquels les changements de forme sont insensibles, c'est-à-dire qui ne se déforment que de quantités inappréciables sous l'action des forces qui leur sont appliquées. Tels sont les matériaux qui entrent dans la construction et dans les machines. On pourra appliquer à ces corps naturels tout ce que nous avons dit des solides invariables. Il n'en résultera qu'une erreur extrêmement petite, et, par conséquent, inappréciable.

Lorsque le corps subit un changement de forme sensible pendant la durée du mouvement, on ne peut déterminer les circonstances du mouvement, que si l'on connaît les lois suivant lesquelles varient les actions que les différents points du corps exercent les uns sur les autres. Alors, le problème rentre dans le cas

général du mouvement d'un système de points matériels soumis à des forces extérieures et à leurs actions mutuelles.

Nous venons de dire que le mouvement d'un solide naturel, qui ne subit pas de déformation sensible pendant la durée du mouvement, peut être traité comme s'il s'agissait d'un solide de forme invariable. Mais, la plupart du temps, dans les applications, on a à considérer le mouvement de corps qui se meuvent ^n touchant d'autres corps mobiles ou immobiles. €e contact peut avoir lieu de différentes manières. Il peut n'avoir lieu que pendant un temps très court : o'est ce qui arrive quand il se produit un choc; ou pendant un temps fini : c'est ce qui arrive quand les solides glissent ou roulent l'un sur l'autre.

310. Proposons-nous actuellement d'étudier le phénomène du choc de deux corps sphériques. Considérons donc deux corps sphériques et homogènes, de masses m et m\ animés chacun d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme, suivant la ligne des centres. Soient v et v' les vitesses de ces corps, vitesses que nous supposons de même sens. Supposons le corps m ^n arrière de ni\ et soit v > v^ \ la distance des deux corps va en diminuant, et ils finiront par se rencontrer en produisant un choc. Il est évident que les deux centres resteront en ligne droite pendant le choc, et après le choc. Or, lorsque les deux corps viennent en contact, il se produit des forces qui tendent à ■diminuer la vitesse de m, et à augmenter la vitesse •de m'.

Au bout d'un temps très court, les deux corps auront donc une même vitesse u. Pour déterminer cette vitesse commune m, nous appliquerons le théorème des quantités de mouvement projetées sur un axe. Or, les forces

développées par le choc sont des forces intérieures : il n'y a donc pas de force extérieure appliquée au système. Par conséquent, en vertu d'un théorème connu (n** 183), la variation de la somme des quantités de mouvement projetées est nulle. Si nous projetons sur la droite qui joint les deux centres, les quantités de mouvement projetées sont égales aux quantités de mouvement elles-mêmes. Or, la somme des quantités de mouvement avant le choc est :

la somme des quantités de mouvement lorsque la vitesse est la même pour les deux corps est :

mu -Y m'u = (m -}- m*) u; on a donc :

mv + m't?' — (m + m') m =» 0,

d'où:

mo + m'v'

équation qui servira à déterminer la vitesse commune te.

311. Etudions maintenant ce qui se passe à partir de cet instant. Nous aurons deux cas à considérer suivant la nature des corps :

r* Si les corps sont entièrement dépourvus délasticité, ils ne tendent pas à revenir à leur forme primitive. Ils cesseront d'agir l'un sur l'autre, et ils. continueront à se mouvoir avec la même vitesvse te,, en restant en contact.

2*" Si les corps sont élastiques, ils tendent à reprendre leur forme primitive. Ils continueront à réagir l'un sur l'autre : la vitesse de m est encore diminuée, et celle de m^ est encore augmentée. Au bout d'un certain temps, les corps se séparent avec des vitesses différentes.

Si nous supposons les corps parfaitement élastiques, les réactions pendant la deuxième partie du phénomène seront égales aux actions développées pendant la première partie. La vitesse de m diminuera donc de la même quantité v — u que dans la première partie, et la vitesse de m' augmentera de la même quantité u — v^ que dans la première partie.

En désignant par w et w' les vitesses de m et m' au moment où ils se séparent, u — w sera la vitesse perdue par m dans la seconde partie, et t(?' — u la vitesse gagnée par m' dans cette seconde partie; nous aurons donc :

u — w = V — lij

On en tire :

, (m' — m) v' + 2mv

Ces équations serviront à déterminer les vitesses w et w* des deux corps au moment où ils se séparent^

Ainsi donc, dans le cas de deux corps dépourvus <r élasticité^ la formule :

mv + mV m + m

donnera la vitesse commune aux deux corps après le choc.

C'est la vitesse avec laquelle ces deux corps continueront à se mouvoir en restant en contact.

Dans le cas de deux corps pay^faitement élastiques, on devra appliquer les deux dernières formules qui nous donneront les vitesses respectives w et wf des deux corps après le choc.

312. Cas particuliers. — F Si le corps m' a un rayon infini, et une masse égale à l'infini, et si sa vitesse r' est nulle, ce corps se réduit à un plan fixe choqué par un corps sphérique qui se meut perpendiculairement à sa direction. On a alors :

te = 0, w = — V.

La première formule nous apprend que si les deux corps sont Vun et Vautre dépourvus délasticité^ le corps qui rencontre le plan restera immobile sur ce plan,

La seconde formule nous montre que si les deux corps sont parfaitement élastiques^ le corps qui rencontre le plan quittera ce plan avec une vitesse égale et de sens contraire à celle quHl possédait au moment du choc. C'est le cas d'une bille d'ivoire qui tombe normalement sur un plan de marbre.

2° Si les masses m et m' sont égales, et si v' =- 0, on a :

Donc, si les corps sont dépourvus d'élasticité^ la première formule nous montre qu'après le choc, ils se meuvent ensemble avec une vitesse commune égale à la 7noitié de la vitesse de m au moment du ohoc. Au contraire, gi les corps sont parfaitement élastiques, les deux dernières formules nous apprennent que le corps m ^arrêtera à la fin du choc, et que le corps m' prendra la vitesse v que possédait le corps m au moment du choc. (Test ce qui arrive lorsque les deux corps de même masse sont des billes d'ivoire.

313. Proposons-nous de déterminer la perte de force vive dans le choc. Considérons donc les valeurs de la force vive avant le choc et après le choc, et appliquons, pour trouver ces deux expressions de la force vive, le théorème de Kœnig (n** 207) :

'SLmv'^ = MV* + SmwS

c'est-à-dire que nous décomposerons la force vive totale €n deux parties : l'une, la force vive du système s'il était concentré à son centre de gravité ; l'autre, la force vive relative au centre de gravité.

Mais, le centre de gravité du système est animé pendant toute la durée du choc d'un mouvement rectiligne et uniforme (n** 179). Il a donc constamment la même vitesse, avant, pendant et après le choc. Cette vitesse constante sera donc égale à w, vitesse commune des deux corps au moment de la plus grande déformation. Le premier terme du second membre de la formule de Koenig a donc la même valeur, et, par conséquent, il disparaîtra dans l'expression de la Tariation de la force vive totale d'un instant à un autre.

D'autre part, les vitesses relatives au centre de^ gravité avant le choc sont respectivement v — u

et M — î?' ; donc, avant le choc, la force vive du système dans son mouvement relatif au centre de gravité est :

wi {v — w)* 4* ^^' (w — t?')*.

Cherchons maintenant la force vive relative aprèsle choc.

Si hs corps sont parfaitement élastiques^ les vitesses^ relatives au centre de gravité après le choc sont respectivement u — w et w^ — u; donc, après le choc, la force vive relative aur^ pour expression :

m {u — wf + m' (w' — W;*.

En remplaçant w et w^ par leurs valeurs, on trouve pour la force vive relative après le choc :

m (v — uf -f m' (u — v'f.

La force vive relative après le choc est donc égale à la force vive relative avant le choc. Or, la force vive totale étant égale à la force vive relative augmentée d'un terme constant, il s'ensuit que, dans le cas des corps parfaitement élastiques^ la force vive totale après le choc est égale à la force vive totale avant le choc.

Au contraire, si les coi*ps sont dépourvus d^élasticité^ d'après ce que nous avons vu, ils continuent aprèsle choc, à se mouvoir avec la vitesse commune u ; la vitesse relative est donc nulle pour chacun des deux corps. Par conséquent, après le choc, la force vive relative est nulle ; il s'ensuit que, par TefiFet du choc„ la force vive totale a diminué de la quantité :

Or, cette dernière expression est celle de la force vive correspondante aux vitesses perdue et gagnée par les deux corps, lesquelles ont respectivement pour valeurs v — u et u — v\ et nous aurons le théorème suivant :

Théorème de Carnot. — Lorsque les corps qui se ohoquent sont dépourvus (télaslicité, la perte de force vive due au choc est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses perdue et gagnée par les deuac eorps.

FIN DU tome DEUXIEME.