Si donc nous désignons par x^, y^, ^^ les
coordonnées du centre de gravité par rapport aux axes fixes de l'espace, par X, Y, Z les composantes de l'une des forces appliquées au corps, suivant ces mêmes axes, parp, q, r les composantes de la vitesse angulaire w relative au point G suivant les axes
Fig. 58.
principaux d'inertie GH, G/î, G?, par <p, ^, 9 {flg. 58) les angles qui déterminent la position de ces axes principaux par rapport aux axes Gx, Gy, Gz, constamment parallèles aux axes fixes, nous aurons les équations <iu mouvement :
M ^^' — vv
^ dt^ ""^^'
A|| + (C-B)gr = L,
rf9 dj>
p = -^ CCS ^ + -^ sin J; sia G,
rf9 dv
ç =• — -^ sin «sj/ + -^ cos i{^ sia 6,
d\t d^ '-dt + dt'^'^^
L, M, N étant les sommes des moments des forces extérieures par rapport aux axes principaux GS, G/;, Gî;.
Ces équations serviront à déterminer a^j, y^, z^, <p, '^, & en fonction de t.
300. Remarque. — Il résulte de ce que nous venons de voir que le mouvement d'un corps solide libre se réduit à deux mouvements entièrement distincts : le mouvement du centre de gravité, et le mouvement du corps autour de son centre de gravité considéré comme fixe.
301. Si les forces extérieures ne dépendent que du temps, ou de la position du centre de gravité, on peut déterminer isolément le mouvement du centre de gravité, c'est-à-dire œ^^ y^, z^ en fonction de t, au moyen des trois premières équations, sans avoir égard aux équations du mouvement de rotation.
Mais, en général, les forces motrices dépendent de la position du corps, c'est-à-dire des angles <p, ^, 6, et alors il n'est plus possible de traiter séparément les deux mouvements.
302. Cas particuliers. — V Si les forces qui sollicitent le corps sont nulles, le centre de gravité aura un mouvement rectiligne et uniforme {xf 179). Le mouvement du corps autour du centre de gravité satisfait au théorème de Poinsot (n® 275).
2° Si les forces se réduisent à la pesanteur seule, le corps étant lancé avec une vitesse initiale donnée au-dessus de la surface de la terre, le centre de gravité décrira un parabole (n° 55), et le corps tournera autour de ce point comme s'il était fixe. Les forces se réduisant dans ce cas à une résultante unique égale au poids du corps et passant par son centre de gravité, le moment de cette résultante par rapport à un axe quelconque passant par le centre de gravité sera nul, et le théorème de Poinsoi (n*' 275) sera encore applicable au mouvement relatif autour du centre de gravité.
y Si le corps solide est une sphère pesante et homogène, l'ellipsoïde central est une sphère, et, par conséquent, A =» B = C. D'ailleurs, on a aussi L -= M = N = 0. Par suite, dans c^ cas, les équations d'Euler nous donnent pour p, î, r des valeui's constantes ; il en est de même de w. Il résulte de là que l'axe de rotation du corps autour de son centre de gravité reste toujours parallèle à une même direction, et la vitesse angulaire est constante.
4*" Si le corps solide est une sphère homogène dont tous les points sont attirés par un centre fixe, en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances, le centre de gravité décrira une section conique (n^ 124). D'autre part, les actions exercées par le centre fixe sur les différents points du corps se réduisant à une résultante unique passant par le centre, il s'ensuit que les moments de ces forces sont nuls ; d'ailleurs, le corps étant une sphère, on a : A = B = C, et les équations d'Euler nous donneront pour p, g', ?" des valeurs constantes. Par conséquent, la sphère aura un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe, constamment parallèle à une direction donnée.
303. Remarque. — Il résulte de la théorie que nous venons d'exposer une remarque importante. Nous avons vu, en Statique (I, ïf 286), que les forces apphquées à un corps sohde peuvent se réduire à une force unique et un couple unique. Si l'on prend pour origine le centre de gravité du corps, le mouvement du centre de gravité est produit par la force unique, sans que le couple ait aucune influence ; le couple produit la rotation du corps autour de son centre de gravité, sans que la force unique ait aucune influence.
Problème de la Toupie.
304. Un corps solide pesant et homogène^ de révoliUion autour dHun axe passant par son centre de gravité, s'appuie par un point A de son axe sur un plan horizontal parfaitement poli. On demande le mouvement de ce corps.
Soient M la masse du corps, Mflr son poids appliqué au centre de gravité G (fig. 59), R la réaction normale du plan, réaction qui est verticale ; Ox, Oy, 0^ trois
Fig. 59.
La
yi
Mg'
axes fixes rectangulaires, Torigine étant dans le plan fixe. Taxe 0^ vertical et dirigé vers le haut, a?j, yj, z^ les coordonnées du centre de gravité du corps.
Les forces qui agissent sur le corps rendu libre sont : le poids Mp du corps au point G, et la réaction R au point A.
On a donc pour les équations du mouvement du centre de gravité :
on en tire :
Les équations (1) nous apprennent que la projection du centre de gravité sur le plan dappui est animée d'un mouvement rectiligne et uniforme.
L'équation (2) détermine la réaction R, lorsque z^ est connu en fonction de t.
305. Étudions le mouvement relatif du corps autour de son centre de gravité. Observons d'abord que G? étant un axe principal d'inertie du point G, deux axes quelconques perpendiculaires entre eux, et à G? forment avec G? un système de trois axes principaux. D'ailleurs, l'ellipsoïde d'inertie étant de révolution, désignons par G le moment d'inertie relatif à GS, et soit A le moment d'inertie relatif à GÇ et à Gyj (ces deux moments étant égaux, ou bien A =» B).
La troisième équation d'Euler (n*" 263) est :
Hr C^4-(B-A)pg = N.
Or, N — 0, puisque les forces extérieures R et M^ rencontrent Taxe G'I ; d'autre part, on a B = A, et, par suite,
ou bien :
y = consi.
Imaginons trois axes Go?', Gy', Gz' (fig*. 59), menés par le point G, parallèlement aux axes fixes du point 0, et appliquons au mouvement autour du centre de gravité le théorème des forces vives et le théorème des moments des quantités de mouvement.
En désignant par 2T la force vive du corps, on a :
2T «= Ap« + Bç« -f C'/-« = A (;>2 + q^} + Cn« ; et en remplaçant p et q par leurs valeurs (fig. 60) :
p » B' cos 'I + (f! sin 9 sin ^y q ^ — 0' sin ^ + o' sin 9 cos '];,
Fig. 60.
nous aurons :
2T = A (0'2 + (p'2 sin« 6) ^- Cn«.
Cherchons maintenant la somme des travaux des forces. A cet effet, observons que les coordonnées du point d'application de R étant 0, 0, — ^,, le travail élémentaire de cette force est — Rrf^:,.
D'autre part, les coordonnées du point d'application de la force M^; étant nulles, le travail élémentaire de <*ette force est nul. Donc, la somme des travaux
des forces est — / Rdz^, et nous aurons pour l'équation <tes forces vives :
A(V2 + (f'2sin«9) + Cn«==— 2y*Rrf^i = ~2My'(.9 + ^)f/^,
En désignant par l la distance du centre de f^avité G au point A, on a :
d^ z^ = / ces 6, d*où -^.i -= — f sin . G',
et l'équation des forces vives devient alors :
A (G''^ + cp'* sin* 9) + Cn^ « — 2M(;Z ces 9 + 2Ug iz,),,
ou bien :
(A + M/'î sin2 0) 6'* + A sin^ . q. '* = A — 2Ugl cos 9, (3)
h étant une constante.
Appliquons le théorème des moments des quantités de mouvement à Taxe Gz' : nous écrirons que la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à cet axe est constante, puisque les moments des forces iîxtérieures R et Mgr par rapport à Gz* sont nuls, <*es forces étant parallèles à l'axe. Or, les sommes des moments des quantités de mouvement par rapport aux axes GS, Gri, Gi; sont Ap, kq^ Cr ; par conséquent, la somme des moments par rapport à G^' est :
\p cos (Ç, z') + kq cos (yj, z') + Cr cos {Ç, z').
Mais, on a (fig. 60) :
cos(;,^')-=sin'];sin9, cos(yi,y)«=cos^{^sin6, cos (î;,^') — cos 9.
Par conséquent, la somme des moments des quantités de mouvement est :
A/>sin'^sin0 + Ag'C0S'|sin9-f Crcos9— Asin29.ç»' + Cncos9.
L'équation des moments nous donne donc :
A sin2 9 . cp' + Cn cos 9 -= A, (4)
k étant une constante.
En éliminant 9' entre les équations (3) et (4), il vient :
|/a sin erfG I/a + M/'* sin« 6
dl^ ± y , , , , > (5)
1/ A sin< 6 (/i — 2Mgr/ eus 6) — (* — Cn cos ôj*
équation qui détermine 9 en fonction de l.
306. Discutons maintenant les équations que nous venons d'obtenir. Supposons que le corps ait reçu une vitesse initiale assez grande autour de son axe de figure : les valeurs initiales de jo et ç seront nulles, et, par conséquent, il en sera de même des valeurs initiales de 9' et 6'.
Désignons par a la valeur initiale de 6, et faisons / = dans les équations (3) et (4) ; nous aurons :
h = 2Mgl cos a, A = Cn cos a.
Par suite, les équations (3), (4) et (5) nous donnent :
(A + MZ* sin« G) 6'« -h A sin« 9 . <p'« — 2Mgl (cos a - cos 9), (6)
A sin* 9 . (p' — Cn (cos a — cos 9), (7)
L== \/(cosa~cos6)l2MAyZ-C«n«^ ^''. ,,^^'^1 (8> -M/:*sin«ttjV "^ ^1 ^ »in«9 j' '^
d^' 1/ A(AH-Mi<sin«ttj
Le premier membre de l'équation (6) étant positif, il en est de même du second membre; donc,Z(cosa — cos9)>0,.
Or, l est positif, puisque le centre de gravité est au-dessus du plan fixe ; par conséquent, on a :
cosa — cos6>0, d'où cosô<cosa, et e>a.
Donc, l'axe de figure fera constamment avec la verticale un angle plus grand que l'angle initial a.
D'autre part, l'équation (7) nous apprend que <jp^ est de même signe que le produit n (cosa — cos6), et comme cos a — cos 9 > 0, il s'ensuit que cp' et n sont de même signe. Donc, le sens de la rotation de la trace GR autour de l'axe Gz' est le même que celui de la rotation du corps autour de G%. Le mouvement de la trace GR, ou du plan vertical z'GR autour de G^' est le mouvement de précession (n^ 288). On peut donc dire que le mouvement de précession est de même sens que le mouvement de rotation initial autour de Taxe de figure Gîl.
307. Considérons maintenant l'équation (8) : d'abord, puisque 6 > a, il s'ensuit que l'angle commence par croître, et, par conséquent, rf0 > 0. On doit donc prendre le signe + devant le radical, et le conserver aussi longtemps que ne passe pas par une valeur qui annule le radical, valeur qui annule h\ L'angle croît donc jusqu'à une valeur b pour laquelle on aura :
2Mkgl sin« 9 — C^n« (cos a — cos 0) « 0.
Cette valeur h existe nécessairement, puisque, pour —= a, le premier membre est > 0, et "que pour « ir, il est < 0.
Désignons par T le temps qui s'est écoulé depuis = a jusque — ft. Après ce temps T, diminue : car, si 6
continuait à croître, le second facteur sous le radical dans l'équation (8) deviendrait négatif, et comme le premier facteur cosa — cosô est positif, le radical,
et par conséquent -tt serait imaginaire.
Donc, à partir de 9 = 6, Tangle 9 diminue, -tt devient
négatif, et 9 se rapproche de a : il reprend cette valeur après un temps égal à T. En effet, de & à a, on doit prendre le signe — dans le second membre de l'équation (8), et intégrer entre les limites h et a, ce qui donne le même résultat que tantôt. Pour 9 = a,
— « 0, et, à partir de là, ^' devient positif ; 9 croît
de a à &, et ainsi de suite.
Le temps T d'une demi révolution est donné par la formule :
|/a (A + MZ« sin* b) sin U^
ly/i^a-o^^hw.çl- '-^'^^-'^''^
Ainsi donc, 9 varie constamment entre deux limites^ Tune minimum et égale à a, Vautre maximum et égale à b. Vaxe G? exécute des oscillations isochrones dont Vamplitude est constante dans le plan z'G% lequel tourne autour' de la verticale Gz\ Le mx>uvenient oscillatoire de GS est le mouvement de nutation (n^ 288).
308. Supposons, en particulier, que la vitesse horizontale du point G soit nulle : alors, le point H, projection de G sur le plan horizontal sera fixe pendant toute la durée du mouvement. Il est facile de frouver de la manière suivante la courbe décrite sur le plan horizontal par la pointe A de la toupie autour du point R.
Posons AH «= p, et soit AHN «= « (flg. 61) l'angle que fait ce rayon p avec la parallèle HN à Gx' menée par le point H ; p et w seront les coordonnées polaires du
Fig. 61.
ix)int A» H étant le pôle. Cela posé, HN est perpendiculaire à VGH dans le plan zGx\ et HÂ est I)erpendiculaire à ^'GH dans le plan z'GR ; dpnc,
AHN == Iv^O* — ?, d'où w « 180^ — (p.-
D'ailleurs, le triangle rectangle AGH nous donne :
p = AG sln 9 «= i sin 9.
Or, • varie entre les limites a et b; donc, p varie entre les limites Zsina et Isînb^ c'est-à-dire que le point A décrit une courbe comprise entre deux circonférences de rayons l sin a et / sin b. D'autre part, si l'on
désigne par e l'angle que la tangente à la courbe fait avec le rayon vecteur p, on a :
, 7 • ft^ sine --ri
paco tsinGao) dt
^ ^ *^ "rfp" "" "~ rfTTlkTô Tdh
» CCS 9 -rr
En remplaçant 777 ^t 777 par leurs valeurs (7) et (8), il vient :
. ^ Cn CCS a — ces G smô 1
Asin*6 tge=^
1 * / \ . cosa — cosGi cosG , , y (cosa - cosG) 2MAo/— C^n» . ,^
Cw |/cos a — ces G i/a (A + M/* sin* G) A CCS G p^2MAgr/sin«G— C^n'^cosa— cosG)
Or, pour G==«, on a tg£ = 0; d'où e «= 0, et la tangente coïncide avec le rayon vecteur : la courbe est donc normale au cercle de rayon l sin a. De même, pour G «= 6, le radical du dénominateur est nul, et l'on
a tg e = 00, d'où e =- 0, ^t la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur, c'est-à-dire que la courbe est tangente au cercle de rayon / sin &, ou à la circonférence extérieure.
Il résulte de là que la pointe de la toupie décrit sur le plan de projection autour de H, une espèce de roscùce composée d'une série cCarcs égaux, tangents à la circonférence extérieure et normaux à la circonférence intérieure.
