iS", T-r, S'/", 4"'", ia'",4i

d'oii l'on lire, le rayon du cercle étant 5j'",

sinD' = -^j 0' ^ yi-i'j-'\l,

sinO' = /-^, 0"=.- 15" 40' 35', 8.

sinO" = p, 6-= jâ"5ï'i</,(i,

sin!i"=^, û"-= ii°^i-4,,',7,

sinO' = i^, û'.-4n"39'a.j',i,

sinG"= — ' '.— , 0"=ii2»53'aS',4.

4^6 CHAPITRE SKPTlftlIB.

Parsuile, on obtient les rapports désignés par m dans la Table I»

/// = — = OjO/O) ///''^= — = 0,480,

//i"— — = o,'2i2, nC = — =0,629,

Ces données suffisent pour calculer la partie principale de la poussée due à rensembic des poids; pour cela, il faut multiplier chaque résultante

partielle par un coefficient -^ que la Table I fait aisément connaître, au

moyen d'une triple interpolation. Prenons, par exemple, le coefficient qui s'applique à la seconde résultante de 89^,2, située à 32*" de la verticale

du sommet. Il s'agit de trouver la valeur d'une fonction de - - et de w/,

quand on y fait

Or la Table I donne :

Pour -77 ~ Oj8o, W ^ 0,45. . . rr = o,323,

Pour -— i- = 0 , 84 , /w = o , 4 "> . . . TT = « , 292^

Pour ~ — 0,80, /// ~ OjDo. .. - — 0,291,

Pou r -^ — 0,84, /// — o , M) . . . - = o , 26 1 .

Interpolant par parties proportionnelles entre la première et la deuxième ligne d'une part, la troisième et la quatrième d'autre part, on conclut:

Pour -^ = o,8.>4, /// ~ o,4J' • • V> -" o,323 — o,o3i x -7— = 0,3044?

Pour -^ = o,8>.4 , ifi = o, jo. . . - ^- o,2()i — o,o3o x 7— = 0,2730. 77 U * t|0

Une dernière interpolation entre ces deux lignes donne définitivement:

Pour — ^ — 0,824, m = 0,480... rr = o,3o44 — o,o3i4 Xi = 0,286.

Ainsi la valeur cherchée est 0,286. On a obtenu, par des calculs tout à

fait pareils, le coefficient de la partie principale de la poussée produite par chaque résultante partielle. Ces coefficients sont successivement

0,435, 0,421, o,36i, 0,286, Ojigi, o,o5o.

On en conclura la partie principale de la poussée due aux poids, en multipliant chacun de ces nombres par la résultante à laquelle il correspond, additionnant et multipliant par 2, afin de tenir compte des poids égaux placés de l'autre côté de la verticale moyenne BG, qui produisent la même poussée que les premiers. On a donc, en désignant par Q, cette partie principale,

Avant de faire subir à ce nombre la correction nécessaire, il faut encore lui ajouter la poussée produite par la dilatation linéaire indépendante

des charges. Ici nous avons — = 0,000269; car, la section étant un rec-

tangle homogène de 3" de hauteur, r^ est égal à -;- =0.75 et

rt = 52",9i5. D'un autre côté, l'aire de la section est o""ï,iî4, nombre qui, multiplié par le coefficient d'élasticité de la tôle, donne

Quant au coefficient de dilatation t, supposons-le, par exemple, de 0,0004, ce qui répondra, si l'on veut, à une augmentation de température de 2?' et à un calage ayant pour épaisseur 0,0001 de la longueur de l'arc. Enfin prenons dans la Table II, en interpolant, la valeur de F =3 2,6; nous trouverons alors, pour la poussée dont il s'agit, abstraction faite de la correction,

Donc la partie principale de la poussée sera, dans les conditions où nous nous sommes placé,

Il ne reste plus qu'à effectuer la correction. L'eiTetdc la dilatation étant ici peu important, nous affecterons l'ensemble des deux résultats du

même coefficient -,> bien que pour la dilatation nous dussions seu-

iement diviser par i 4- X' — ; la Table IV nous fournit la valeur de ce

coefficient. Pour -^ compris entre 0,80 et 0,84, et - = o,ooo5, le

coefficient serait 0,998; il devient i ,000 quand -5 s'annule: donc, pour

— = 0,000269, rinterpolation donnerait sensiblement 0,999. 11 faut donc

diminuer la poussée obtenue tout à l'heure de 0,001 de sa valeur, etloD obtient dL*finitivcmcnt le nombre

0 = 2i4S'iG — oS^i = 2i4S35,

résultat ésral, sauf une diiïérence relative de -r-rr-? à celui dont nous

avons fait us^a.i^c au n** 75 et que nous avions obtenu antérieurement à la construclion de nos Tables par l'emploi du Calcul intégral (n» 120). La différence provient des décimales négligées et de la substitution des résultantes partielles aux poids répartis d'une manière continue; il est môme vraisemblable que les erreurs ont dû se compenser. Néanmoins cet exemple semble prouver que la substitution dont nous parlons est sans inconvénient pratique dans le problème actuel.

Le second exemple se rapporte au viaduc en fonte de Tarascon, établi sur le Uljône pour le chemin de fer de la Méditerranée. La section transversale d'un quelcoîujue des huit arcs en fonte qui soutiennent une arclie est repn'senlée on déliiil par la Jî^. 05. La fibre moyenne est d'ailleurs ç, un arc de cercle de 4"N9> de flèche et 59°, 99 de

corde. On déduit de ces données

o.oc

0,17 /l 0,17 I ^- y — i8"44'3o",G'2, en degrés sexagésimaux.

^^ "I^tè 2v i8°44'3o",()a

et, dans l'hypothèse do Thomogénéité de la fonte. r''= 0,3009, d'où — =o,ooo33J.

Nous voulons simplement ici trouver la pousëée

due à un poids de io5 tonneaux de 1000''», unifor-

^ '-^^-p'S mément réparti sur la longueur entière de Tare,

^^ Sl^__ et à un poids égal uniformément réparti suivant la

longueur entière de la corde.

Cette poussée sera exprimée (n" 1:29) par

POtlFSËB DUS AltCS CinCULAIRES. 4^9

soil, à cause de ipff = ip'a = loS',

La Table II donne f et F° (') :

Poiir'^- o,ao, on a F'^i,56i, r^=i,573;

Pour'^ = o,ai. (jn a l.-i,iH4, l'-^i.jgG;

■lonc, en interpubnt pnr piirlics proportionnelle?, lorsqufl -J sera o,ii)aa, on trouvera

F'-^ 1,573 -0,82(1.173 -■.jçir.) = 1,110.

•Juanlau coefficitTit île correction -.^ on l'obi ient au moyen de lu

Table IV jiar une double inlerpoliition. On trouve :

• Pour ~ — o,ao cl --, — o.ooiiï. . . le coefficicnl = i>,'jG4 ;

Pour — ^ = o.ai tt -, = <i,iioo5. . . le coeriieienl = 0,967.

Donc, si — devient 0,2081 ot si -5 reste l'yal à 0,000 J, le coefficient de correction deviendrait approximativement

o,<jG4-*-o,S2(o,<,r,7-„,.jO-i)=<.,oai;5,

en admeltnnt l'interpolation par parties proportionnel les. Da il leurs, pour une valeur tiuelconiiie de ~i si — ^ est nul, le coefficient eherché est toujours Égal ù 1; donc une serotide interpolation entre —, = o,oooj et

(') Noua n'pinpIojOHS ici le roplficiniil F" qu'aïM trois dècimalM, tandis ■que la Tatilc II !e donne avirc cinq. Les deux dcniiêrps ont 6ti; chcrchêES snr- 1"ul PU vue du calcul d^ la Tatile V, dont il ser.i qiicslion dans lo Cliapilro

43o GUAPITRE SEPTltME. — POUSSÉE DES ÂfLtS OIBCCLÀIRES.

-:: = o, — restant 0,2082, donnera pour la valeur demandée

^,,. / ^-^.o,ooo5 — o,ooo336

Donc définitivement la poussée d'un arc appartenant au viaduc de Tarascon sera, dans les circonstances indiquées,

Q = 0,9775 (1,498 -+-1 ,5io) io5'= 3o8', 7.

Ces deux exemples paraîtront sans doute suffisants pour bien faire comprendre la disposition et l'usage des Tables de poussée.

DËFOKBATION IT IIËSI9TANCE DES AttCS CIRCClAtBES. 4^1

g I. — Calcul de la Tarïation de flèche dans certaines circonstances.

133. Observations préliminaires. — Nous conlinuerons à faire au sujet des pièces courbes dont nous devons étudier la variation do nèche les hypothèses rcslrîctives ijiii ont été exposées au n" 113. De plus, nous conservons dans le courani de ce Chapitre les noiaiions définies au n" IIV.

Cela posé, nous allons procéder au calcul de la variation de !a (lèche : i" sous l'action d'un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de l'arc; 2" sous l'action d'un poids uniformément réparti suivant la corde entière; 3° par l'effet d'une dilatation provenant de causes éiran^jèrcs aux charges.

13V. Variation de Jlèche produilr [iiii- un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de f'arc. — La pièce éiani sjmélrique et symétriquement chargée, on doit appliquer la dernière formule établie au 11° 91, en supposant 7^0, parce qu'on ne s'occupe pas ici des effets de la dilalalion résultant de causes étrangères aux charges; si d'ailleurs on néglige le glissement transversal (n" 811, et qu'on prenne pour axe des x la ligne joignant les extrémités de Li fiiu'e moyenne, la formule en question devient

/"N </■)■ - j- ils

n'aura pas d'influence sensible. Eu l'IïcI, d'a[n l's b théuiic de

432 GUAPITRB UUlTlfeME.

N Texiension simple, la valeur absolue de — exprime l'allonge-

menl ou raccourcissement relatif subi par l'élément ds de la fibre moyenne; or, dans la pratique, ce nombre est toujours très-peiit et ne dépasse pas ordinairement quelques dix-millièmes. On serait donc en droit d'admettre l'inégalité

zt— '<0,00I,

et par suite

-j- dx étant égal en valeur absolue à la flèche f,

Ainsi le terme dont il s'agit ne produira jamais dans la flèche un changement proportionnel atteignant o,ooi. Donc on pourrait, comme nous l'avons dit,

FifT. GG. , , ,^

ne pas s en préoccuper. Touiej fois nous établirons d'abord des

^J formules exactes, en tenani

/"^ ! Xp j compte de ce terme.

■^- ■ ^ ./ il — Pour effectuer le calcul de

",/ ^ — <^/»on exprimera, comme on

*P > Ta fait précédemment, toutes

0 les variables en fonction d'une

seule, qui sera Tangle a de la verticale OB [fig, 66) avec le plan OG d'une section normale quelconque. On aura

^ = psina, ' dx :=^ pcosxdx,

j'~p(cosa — COS9;, dy =^ — psinada^

a r= CD =: psin9, ds == pda.

Projetant ensuite sur GO et sur la tangente en G toutes les

DEFOSUATION et HtSISTANCI! UE9 ABCS CIRCULAIRES. 4^^

forces extérieures qui agissent sur ia partie GC de la pièce, on obtiendra l'cfTort tranchant P et la tension totale N dans In section faite suivant GO, savoir :

P— /ï,'y(9 — zjcosst — Tcosa + Qsinot, K^/>f.[9 — a)sln« — Tsin« — Qcosa, •

ou, à cause de T = />p3,

P— — ppacosa + Qsiny.

N = —poxsina — Qco^a,

l.a valeur de P nous est utile pour connaître X, car un a, \y.\r U relation (9) du n<* li, le couple fj. éiant nul dans le ons nctuct,

t/X = P(/i — Poi/a;

donc, en intégrant cette relation,

X= I Ppdx-h const.

= ( — />p' I «cosctrfaH-Qp I •,in afJix\ h- const,

--[— pç'iarsina-H COSkÎ — Qorosz" --- consl,

Afin de compléter la détermination ik' X, on remarquer! que X s'annule en C, puisque les forcer appliquées â la dernière section se réduisent à Q et à T; cela détermine la cnnsUnte, et il vient Tinalement

\ = — ^p'(cosa — COS9 H-Ksina— '^siri-^ —fio.cosjc— cos^J.

Quand on transporte ces diverses viileurs dans l'eNprcssion de — A/", on trouve

— A/=^'- / [sin« — sin-j', ^cosa: — coiy -'- îtsiiiz — y sin^ji/^

H ^ / (sina— sin^i (cos« — cos^ ;rf«

434 CUAPlTnB HUITIÈME.

L'intégration s'effectue aisément; on ne rencontre ici que des

intégrales déjà connues, sauf / ocsWadx. Or, en intégrant par

t.' parties, on obtient successivement

1 xsin'pjrfa = — asinacosa 4- / cosarf. asina)

-- — asinacosa r- i (sînacosa -+- acos'ajrfa

— asmacosa 4-

- a sin a cosa -+- y sm'a -f- t ^ • 2 4 4

On est donc en mesure d'écrire la valeur de — A/, qui est — A/ I- — — T sin'o -f- -osino cosq -f- 1 — coso

— o sino ~T- o^sin'o -+- — -sino — osino coso H- coso

-h -, ?.osmo coso -4- sin-o -r- o'; 4- — ^sm'o,

soit encore