V-^'^VlT
f^a formule (i), en remarquant que pour 9 — - on a/— n ~ 0, <!onnerait
on voit donc qu'elle conduirait à peu près au résultat exact.
La substitution de o — ^ nous fournirait encore une conclu-
sîon dans le même sens, car en laissant de côte le facteur '- 5 sur lequel on fait une très-peiite erreur quand
on le remplace par ^-^—z » la formule (11 donnerait pour
le second facteur
au lieu de la valeur véritable
' iC V
Terreur relative à craindre serait donc limitée à -, dans le
cas défavorable où — - serait très-grand, et généralement elle
ai' °
serait plus petite, car il est rare que le terme i ,56 ne Tem-
porte pas de beaucoup sur celui qui contient le fadeur -^^— .
438 CHAPITRE HUITIÈUE.
135. Variation de flèche produite par un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de la corde. — Nous admettons identiquement les mêmes données qu'au n** 134, à part cette différence que la charge sera répartie uniformement, non plus suivant la longueur de l'arc, mais suivant une parallèle à sa corde, c'est-à-dire qu'une partie de l'arc, occupant en projection sur cette corde une longueur /, supportera une charge p'L Cette charge agit d'ailleurs perpendiculairement à la corde. On demande de déterminer l'abaissement — A/du sommet de l'arc.
On remarquera d'abord que la pièce a un poids propre dont on ne pourrait pas toujours faire abstraction; mais, si l'on eu tenait compte, cela aurait simplement pour e£fet d'introduire
dans l'expression de — A/les termes H ^ et H"^-^ que nous
er^ e
doivent rester les mêmes que tout à l'heure, car il est clair que la réaction Q entrera de la même manière dans X et N; seulement Q ne conservera pas la même valeur numérique, et dans les applications il faudrait avoir soin de prendre celle qui répond au cas actuel. Tout considéré, nous n'avons donc à chercher que les termes provenant de l'introduction de p' dans X etN.
Or on trouve sans difficulté
X = /?'p'(sin<p — sina)»-4-Tp(sin9 — sina)-+- . ..,
N=:/>'p(sin<p — sina]sina — Tsina — . . .,
avons calculés au n*» 134. En outre, les termes H' -^ etH'— ^
et, comme T est ici égal à p' psinç.
X==:-//p^(sin'9 — sin*a)4- . . ., N =-— p'psin'a— . . .,
Dû* PP*
d'où l'on conclut que les termes analogues à H^ etH"^
DfiFORHATIO» ILT BtSISTlNCE DtS AHCS CIRCULAIIIE5. 4^
sont, dans le cas actuel,
■i— ~ / [sinç — sin«] (sin'9 — sîn'orjda pt '-^ j sin'zda.
Ces inlégmles se décomposent Tacilement en intégrales conn ues, et, tout calcul effectué, on trouve, pour les coefficients H,
ei H' qui multiplient respectivement — — et — ' i
ll,=
H, ==- — coso -i-^cos'v-
Ainsi l'on aurait en définitive, pour l'effet produit sur l;i flèche/par le poids -yp'a,
La substitution de la valeur de (} et k' «léveloppemL'nl en série donnent ici, comme au n" \^\, un léaultut sjmpli^ c\ remarquable. On a d'abord (n"12!)j
Q= 2 !•""/)' psin'^ -- I -î/-
el, par suite,
-\f^ — ^L2!__| H,-i-3F"irsiiu, ''."^-1- -^
-^':^:ir;-,rirsi.,o
sin^
+ '1 11",;.' -■•i-"!rî,siii'- |.
Maintenant, si l'on développe en série les quanlilés H, m 111,
44o CHAPITRE HUITIÈME.
on trouvera
H. = -7 9M I — -4- 9' + -V- '«^ iJ o«-4-...
au moyen de ces valeurs ei des valeurs déjà connues deH^H^ F", X, X', on obtiendra les développements ci-après :
. , : h H'^ -t- 2F"irsino
Mn'p sinp
25/ ICI j ^47^ ^
ir, /' - 2F"H'a sin o =.- ^ o' I - — o^ -^ . . .
Donc, 9 étant d*abord supposé petit, on pourra écrire
•^~ "7 ^'''\ \84ôr~^ "^76"^ "87*';' .(^i + A-p-*
soit plus simplement, en procédant comme au n" 134.,
ou enfin
— A/'=I,56 -^-^-; ( I -t-0,OI22-^ }.
Pour savoir si la formule (2) s'écarte beaucoup de la vérité (!ans le cas où 9 ne serait plus petit, nous avons encore
cherché les vraies valeurs de— A/ pour 9 = - et 9 = ^» et
nous les avons comparées avec les résultats qu'on aurait
IIËFOnUlTtO» ET ResiSTA>CK DES AIICS CIKCULAIRES. 44'
trouvés par l'applicalion de la Tormule (2). En laissant toujours de côlé les facteurs — — ' ' et '-/— — , qu'on
sait être très-sensiblement égaux, voici le résultat de cette comparaison. La formule [2) donne :
Pour y -: '- 1,56-.- o.oigo^^,
Pour V
respectivement, au lieu de
,32-f-o,o[38^ et i,5o^-o,<.i;8-''—
On voit, par conséquent, que la formule ? serait encore assez
menl trop grande dans les environs <li- v = -■ Toutefùïs cette
erreur n'irait jamais jusqu'à augmeiiier de 4" pour 100 le résultai véritable, et, par conscqueiu, elle n'en changerait |)as l'ordre de grandeur.
136. Autre démonstration des foiniides pn'céi/enles, pour le cas des arcs très-surbaissés. — Le procédé par lequel nous sommes arrivé aux formules (i) et ':■.; des n"' 13V et 135 a l'avantage de ne laisser dans l'esprit aucun doute sur ta vérité du calcul et de faire connaître en même temps jusqu'à quel point ces formules sont applicables à dos arcs ne remplissant plus la condition d'être fortement surbaissés. Mais nous avons dû subir l'iuconvénient d'une suite de Ironsformalions longues ei pénibles, et il est possible de les éviter, ou tout au moins de les diminuer considérablement, quand on udmet comme point de départ : 1° que l'angle 9 est asse^ petit pour qu'on puisse, sans erreur sensible, le imiter en inliniment petit dans le calcul; 2° que, conformément à une remarque du n" 134, l'expression de l'abaissemeni — A/puisse ÛMro ajiprosi-
mativement réduite à
fi-v
\{a — x) ds .
et
dx
Ces hypothèses admises, voici comment on procédera au calcul de A/.
D*abord on écrira, en prenant l'angle a pour variable,
— cr^àf=^ j XfvV sin9 — s\ny.]dx
=^ p- j \d^ se sine
o -h cosa -—II.
Si Ton intègre par parties le second membre, on aura
Xisino — sina)^/a=:Xi asin9 -l- cosa — i;
— / asino -1- cosa — l'^^rfa; par suite, quand les limites de l'intégration seront o et 9,
X I si II G — sin a W/a - — / (a sin 9 -.- cos a — i ) -j- rfa,
attendu que X s'annule pour a = 9 et que asin9 -r- cosa— i s'annule pour a = o, de sorte que le produit de ces facteurs est nul aux deux limites. La question est donc ramenée à trouver riniégrale qui forme le second membre de la dernière équalion. Maintenant il faut distinguer deux cas.
Premier cas. Poids uniformément réparti suivant la fibre moyenne. — On a (n° 13V)
— — Pc 1- — po'x cosa -\- (Jp sin a ^^ —p9' [ ^ ^^s a sma •
» Mi*
Le rapport -^ est donné (n" 129) par la relation
no ' ^,r-
qui, dans l'hypothèse de f irès-petit, peut se réduire à
On a d'ailleurs, aux quantités du quatrième ordre près,
qu'il suit :
Le facteur entre crochels, raulliplié par i ^i devieiii
mais, si nous prenons pour règle de ne conserver duns cliaijuc groupe que les termes de l'ordre le moins élevé, il linidra réduire ce produit à
comme nous savons en outre (n» 12(j que ^ rem-
place — p~r dans le cas où ç esL irès-pelii, nous trouve-
444 CUAIMTRB UUITIÊUE.
rons, par des substitutions faciles à voir.
3" "^ •lo'r/V
Avec le même système d'approximation, le facteur
a sino -h cosa — i
s'exprime par a'j ? en sorte qu'on peut écrire
— /?r' A/~ — o' I ' a sin 9 -H cosa — i ) ^— da
L'iniégralion s'elTeciue sans peine, puisqu'il s'agit d'une fonction entière et rationnelle; on a
/ ac3 -'- o- — T -+- ocdx
< ^ Il ■'
" * U;3 4ot i5 ""36/"^ -2^^^ V3 8/
On en conclut
soit, en divisant toul par ^r%
s^r^^ '^'\ Py 1:^ ^ iÇ o'v*' \
•' i() / i5/-'\ \ iC '?S} 17.60 r^J
.sy-'
Pour obtenir la formule [i], il faut, comme au n"" 134, remplacer p9 par a et p'9* par aM — j dans la formule précédente; puis on réduit les fractions ordinaires en fractions décimales.
Deuxiéub CAS. Poids uniformément réparti suivant la corde.
— La marche du calcul reste la même que dans le premier
rfX cas; mais il faut employer d'autres valeurs de 0 et de ~-j—»
On a ici
-— ^ = Po=^/i'p- sino — sinajcosa — />'p'sinocosa -^ Opsina
= Vo
=: — /?'p-sinacosa ~ Qpsina '^ \ P P/
— T— ^= ar sino ;
La dernière égalité devient, dans le cas de 9 trcs-petil,
20^ a' xy-a^
portant celte expression dans -y— ? en même lemps que 7. et
i ^» au lieu de sina et de cosa, on trouve
tr-
dX , \ OL^ [ 2 \ -yg^
ou plus simplement
d\ p'rj'oL /2 , a» , i5r^\
da i:w^' \7 ' 2 aowr/
.(4(> CIlAriTRE HUITIÈME.
Par suiie, il vienl
fi'\f o' / asmo -f- cosa— 1 1 -7— «a
Lo calcul se continue ensuite d'une manière identique à celle du proniier cas, à part cette différence que Tintégrale
iluit être remplacée par
dx.
(!cUc dernière a pour valeur
j ( - 9^:^.- — - v'a' 9«* -i- — | rfa
il y aura tout simplement substitution du dénominateur 84^ à la place du dénominateur 1260, ce qui aura pour effet d'augmenter de moitié le terme de la formule (i) contenant le fac-
leur •'— . On retombera bien ainsi sur la formule (2].
137, ^ipplication numrr'uiiœ des formules [\) et (2). — Nous allons appliquer les formules ( i ) ot (•>» ) des n°' 13-4 et 133 au viaduc de Tarascon, (Icjà cité aux n"' 123 et J32. On a
Des valeurs de /et de a on conclut d'abord celles de y et de p, car
tang - y — - , et 0 = >— ;
DftFORHATIOn ET RfSBTANCE DES AnCS CIRCULAIRES. 44?
donc
Quant à c, c'est )e produit de la section it de l'arc par le coefficient
d'élasticité longitudinale, que les constructeurs du viaduc, MM. Desplaces
ot Colle t-Ueygret ('), ont Évalua, d'après leurs expériences, à Gxio';
comme " est L^gal à 0,1 iaS [wiir h/ig. Ci, p. 4î8), on a donc
Au moyen de ces données, si l'on fait, par exemple,
on lirera des formules [i] et [■>) :
Pour l'efTct du poids >/> > i/'— W.ii^.-;
Pour I ffet du poids ■>/>« — J/"^ ii"',028.
MU. DespldCP!, et Lolkl Meïf;ret. ont constate directement que i'effet total des deux poid'> de loi tonneaux dont il sagit était environ o'",ii6, landis quL nous le Irouvpns a iilemenl do o" 02 + o'",ca8, soit o"',ii55. Nos formule-, diniurdienl dont, une erreur relative en moins dont In valeur est a peu près — Cette erreur assez peu importante dans une tiuesliondece e[cnro s L\pliqueparlejoudes assemblages el aussi par l'ïni-erlitude qui dlTeite la \ikur du coefficient d élaslicilt'j le nombre G x 10" est une moyenne de plusieurs expériences assez divergentes dans leurs résullats, et l'on no saurait guère compl<!r sur son exaciitudc absolue.
Lorsqu'on essaye des applications numériques semblables j'i relie qui vient d'être faite, ou rcmartiue fréquemment f|ue le
tlaiis l'exemple ci-dessus, ou aval
les coerficicnls i
448 CHAPITRE IIU1TIÈ31E.
i5r' par I -f- 7777? élaieni donc respeciLvemeni 0,995 el 1,004.
On voit qu'il n'y aurait presque pas eu d'erreur à les négliger el à prendre simplement
ib e
^ ri
au lieu des formules (i) el (2).
Ce résulial se relrouve à peu près par le raisonnement approximatif que voici. Dans les arcs à surbaissement moyen
(de — à — U pour peu que le rapport — ne dépasse pas une
limlie de o,ooo4 à o,ooo5, comme cela se fait habituellement, on ne commet qu'une peiiie erreur sur la poussée (quelques centièmes au plus) en négligeant les corrections représentées
par les coeflicicnis i — / — -. n"' 12o et 126). On aura
donc une valeur passablement exacte de cette force en calculant les expressions ( n** 129 )
2F'/>oo, 2F"y;'psin9,
lesquelles, pour de petites valeurs de op, deviennent simplement/?p el p'p. Or cela représente aussi, avec une petite erreur, la composante N qui comprime chaque élément ds de la fibre moyenne, parce que : l'^dans un arc surbaissé la poussée l'emporte notablement sur la charge verticale; 2** cette charge ôlant presque perpendiculaire à (Isa une projection très-petite sur la direction de N. Donc tous les éléments vont éprouver
un raccourcissement proportionnel ^-^ ou ^-^y suivant le
cas; et la diminution totale sur la longueur p9 du demi-arc
sera ^ ou ^-^ — -»
Maintenant, à quelle diminution de flèche répond une diminution donnée de longueur dans un arc circulaire surbaissé
DÉFORMATION ET RÉSISTÀNGB DBS ARCS CIRCULAIRES. 449
dont la corde reste invariable? Pour résoudre cette question subsidiaire, soit /la longueur du demi-arc; on aura la formule connue
qui donne, par la difTérentiation,
c'est-à-dire
ôa
if- — Il
OU enfln, en remplaçant —j par -»
Cela posé, il suffit de mettre, au lieu de A/, les augmenia-
lions négatives trouvées ci-dessus, savoir — ^— , — i—^ — i- ,
ce
(•) Cette formule est celle qui sert à trouver la lon^jucur d'un arc parabolique il petite flèche; l'arc circulaire surbaissé peut ôtre confondu avec la parabole de même flèche et de mémo ouverture. Au reste, il est facile de démontrer la formule sans cette assimilation : on a
o — îarc tau'î - = — i — -— -; -h . . . ) ,
relations d'où résulte
ou bien
"(-îS)
en négligeant la quatrième puissance et les puissances supérieures de -•
Cm
\, 3*édit. 29
45o CHAPITRE HOITIÈHE.
et l'on obtiendra les résultats correspondants
Ce sont les mêmes que ceux auxquels nous étions parvenu
d'une autre manière, sauf la légère différence entre les coef-
25 3 ficients -^ et -» différence qui s'explique assez par la nature
même de l'analyse précédente. Toutefois, on peut conclure assez rationnellement de cette analyse que la diminution de flèche, dans un arc surbaissé supportant une charge uniforme, est due presque entièrement à la diminution de longueur, de sorte que la flèche varierait très-peu si la fibre moyenne devenait incompressible, tout en laissant à ses divers éléments la liberté de tourner les uns par rapport aux autres.
138. accroissement de /lèche produit par une dilatation linéaire indépendante des charges. — Lorsque, par une cause quelconque, telle que le changement de température, il se produit une dilatation ou contraction de la matière qui compose la pièce, toutes les dimensions tendent à augmenter ou à diminuer dans un rapport constant. Cela entraînerait déjà une variation de flèche représentée par zf; mais la flèche varie surtout parce que, les deux points d'appui faisant obstacle au changement de la corde ?.a, il naît de là deux forces horizontales Q, égales et contraires, appliquées aux deux extrémités de Tare, qui l'obligent à se courber davantage et à augmenter sa flèche sMl y a dilatation, ou produisent l'effet inverse s'il y a contraction.
Il n'est pas besoin de nouveaux calculs pour trouver l'expression de la variation de flèche dont il s'agit. On l'obtiendrait, en effet, au moyen de la formule générale rappelée tout à l'heure (n" 13^), dans laquelle on mettrait pour X et N le moment ou la projection de la force Q produite par la fixité des appuis, en ayant soin d'ailleurs d'y rétablir le terme r/ On retrouverait donc pour l'intégrale qui entre dans la formule
les deux termes
OoV3 . . \ Qo , -^( -sin*9 — çsincp coscp -i-cosç — i j ^sin'9,
faisant partie de l'expression de A/, calculée au n*" 13&> dans le cas d'un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de l'arc. Donc on aurait, pour représenter le changement de flèche dû à la dilatation dont le coefficient estT>
A/=r/H —\ -sin^9 — 9sm9COS<p-4-cos9 — i ) '-sm'9;
dans cette formule, Q exprime la poussée correspondante à la même dilatation, poussée dont la valeur nous est connue {nM28).
Afîn d'arriver à un résultat plus commode pour les applications pratiques, remplaçons encore Q par son expression en fonction de t et des dimensions de l'arc (n"118); nous aurons ainsi
3 r* -sin^o — osinocoso -f-cosQ — i sin^o
