Pression maximum quand n est inférieur à - col

Dans ce cas, nous avons dit ( n® IW ) qu'on aurait seulement à étudier l'expression

dont il faut chercher le maximum en faisant varier a de o à 9. Cette expression est identique avec celle de q dont nous nous sommes servi au n^ ikk; si donc nous revenions à la considé-

470 CHAPITRE HUITlItMB.

ration de la parabole représentative, il faudrait conclure que le maximum de cette expression doit nécessairement correspondre à Tune des limites de a. Or a = o donne la formule (5); a — cp donne la formule (8), car, X étant nul, q et ç' deviennent égaux. Donc on devra prendre la plus grande des deux valeurs données par ces formules. Donc enfin le second cas principal ne se distingue en rien de la seconde subdivision du premier cas.

II n'y a donc à distinguer réellement que les deux cas den plus grand et n plus petit que la limite indiquée par la formule (6) : le premier exigerait l'emploi des formules (5 et (7), le second l'emploi des formules (5) et (8).

14-6. Remarque sur le cas d'une section transversale homogène, — Ce cas est compris comme cas particulier dans l'élude que nous venons de faire. La seule modification à introduire

dans les formules consiste à remplacer — ' par l'inverse de Taire

de la section ou par ^yj en désignant cette aire par £2. En

effet, e n'est autre chose que la somme des produits des éléments superficiels par leur coefficient d'élasticité longitudinale £ ou bien £0, puisque £ ne varie pas d'une fibre à l'autre; d'ailleurs, par la même raison, nous aurions £ = £i ; donc

e ELI il

147. Pression maximum produite par la seule existence d'une dilatation indépendante des charges. — Revenons maintenant au calcul des effets produits spécialement par les variations de température ou par le calage, et généralement par une dilatation quelconque due à une cause étrangère aux charges. Si l'on appelle QJIa poussée de l'arc dilaté sur ses deux appuis, la composante normale N de la force totale exercée sur la section qui fait l'angle a avec la verticale sera — Q cosa; j étant l'ordonnée du centre d'élasticité de cette section par rapport à la corde, le moment fléchissant sera — Qj. Ces deux quantités atteignent leur plus grande valeur absolue au sommet de l'arc, où le cosinus devient égal

DÉFOHHATION ET RÉSISTANCE DBS ARCS CIRCULAIRES. ^'Jl

à I et OÙ Tordonnée y coïncide avec la flèche / de la fibre moyenne. En outre, on voit que dans chaque section la partie comprimée par le moment fléchissant se trouve du côté de l'intrados, et l'on sait que la pression la plus grande produite par ce moment est supportée par les fibres les plus éloignées de Taxe de flexion. On aura donc, d'après les considérations du n''142, en désignant parc" la pression maximum cherchée, due tout à la fois à la compression uniforme et à la flexion, et conservant la signification déjà connue dans ce paragraphe aux lettres /i, e, E., r,

Or, d'après ce qu'on a vu au n® 128, Q peut être remplacé par ze — -, donc

Dans la plupart des cas particuliers r^ sera petit relativement

à - hfei à -^/*; on pourra donc poser approximativement

('o) ^".^r-^E.Tj.;

mais cette formule ne saurait être appliquée aux pièces presque droites, dans lesquelles r peut devenir grand relativement à/. 11 faudrait alors s'en tenir à la formule (9).

Exemple numérique, — Soil donné un arc du viaduc de Tarascon, dont la section a élédéûnie au n" 132; supposons une dilatation linéaire ayant un coefficient de 0,0004, ce qui répondrait à une variation de température de 36° C. On a ici

T= 0,0004, r'= 0,3009, // = !'", 70, /=4"N95; en outre, comme il s'agit d'une pièce en fonte, on peut, suivant Texpé-

47^ CHAPITRE HUITUMB.

rience (n** 6), prendre pour le maximum E^ du coefficient d'élasticité

E. — 12 X lO*.

longitudinale la valeur

Avec ces données on trouve sans peine le maximum de pression par unité de surface dû spécialement à la dilatation r; il est :

D'après la formule (g) fj' = i^'^62 x lo*,

D'après la formule (lo) rj" = l'^'jSS x lo*.

Comme on le voit, les deux formules donnent à peu près le même résultat, savoir environ i^^^ô par millimètre carré. Ce résultat se réduirait de moitié si Ton attribuait au coefficient d'élasticité la valeur moyenne 6 X lo", indiquée par MM. Desplaces et CoUet-Meygret; et c'est peut-être le parti auquel on devrait s'arrêter, car pour agir rationnellement il faudrait avoir égard aux variations de la résistance à la rupture aussi bien qu'à celles du coefficient d'élasticité, ce qu'on n'est pas en mesure de faire dans l'état présent de nos connaissances.

§ III. — Construction, disposition et usage de la Table V destinée à faciliter l'emploi des formules du paragraphe précédent.

IW. But de la Table; arguments pour y entrer. — Les formules (5), (7) et (8) du paragraphe précédent, auxquelles nous avons été conduit en nous occupant de la résistance d'un arc dans les circonstances définies au n" 14.1, sont par ellesmêmes assez peu compliquées et nous paraissent susceptibles d'être employées en pratique. Néanmoins le désir d'en faciliter l'usage auliinl que possible nous a engagé à construire la Table V, placée à la fin de ce Volume. Celle Table aura d'ailleurs un autre avantage : c'est qu'elle mettra en évidence quelques conséquences remarquables des formules, que les seules ressources de l'analyse permettraient difficilement d'apercevoir.

Conservons les notations des n*" Hl à 143 et appelons, en outre, û Taire de la section de l'arc. Quel que soit le cas particulier dans lequel on se trouve, on aura toujours, en employant soit les formules [5) et (7), soit les formules (5) et (8), à calculer des expressions telles que

DÉPOBMATION ET RÉ8IST1NCB DBS ARCS CIRCULilKBS. 4?^

OU, si la section est homogène,

6 étant un coefficient numérique variable d'une pièce à une autre.

Nous n'avons rien à dire ici des quantités p'a, e, E,, û; leur définition même explique suffisamment comment on peut les connaître; mais nous avons à montrer de quelle manière on arrivera, par le secours de la Table V, à trouver la valeur de 6.

Par l'inspection des formules que nous venons de citer, on voit que 6 est exprimé au moyen des relations :

Dans la formule (5) ^ = 2/2 4- r-^l i — in tang-y h

Dans la formule ( 7 ) S = -. 1 — =-(" cotv) >

Dans la formule (8) € = a/zcosy -+- sin^.

n désigne le rapport de la poussée horizontale de Tare au poids total ^p'a; ce rapport est donné par la formule (6) du n*» 122 ou par les Tables, et Ton voit qu'il dépend uniquement du

rapport — et de Tangle 9 ou du rapport — - de cet angle à l'angle droit; d'un autre côté, on a identiquement

ah h , /'

donc les trois expressions du coefficient 6 dépendent de trois arguments, qui sont :

1® Le rapport — -,

•2** L'angle 9 ou le rapport — :

3** Le rapport -•

Lorsque ces trois arguments seront connus, on conçoit que

Ton pourrait d'abord calculern parles formules ou les Tables

du Chapitre VII, puis, ayant n, voir celui des cas examinés

474 CBAPITBB UUITlfcHB.

au § II ci-devanl, dans lequel on se trouve, déterminer les deux valeurs de 6 qui conviennent à ce cas et choisir la plus

grande. En la multipliant par — Ei ou par ^ si la section

est homogène, on aurait la pression maximum cherchée. Or c'est toute cette série d'opérations, sauf la dernière, que la Table Y dispense de faire. On en déduit de suite, au moyen d'une opération extrêmement facile (une simple division par loo], la valeur de 6 que Ton doit finalement employer, savoir la plus grande des deux qui sont fournies par les formules (5) et (7) ou (5) et (8), suivant le cas.

Nous ne croyons pas devoir expliquer en détail la construction de la Table; elle revient en définitive à la réunion d'un certain nombre de solutions obtenues comme nous venons de le faire concevoir. Seulement la simultanéité dans la recherche de tous les résultats rendait celle-ci plus prompte el plus sûre; elle permettait aussi l'emploi de quelques procédés simples de calcul qu'il serait cependant sans intérêt de développer ici.

149. Disposition el emploi de la Table, ~ La Table donne cent fois le coefficients; elle esta triple entrée ou plutôt elle se compose d'une série de Tables à double entrée, dont cha-

cune occupe une page. L'argument — est inscrit dans le haul de la page; l'argument — dans une colonne verticale, a

gauche; l'argument -i exprimé en millièmes (c'est-à-dire

multiplié par 1000), dans une colonne horizontale, en tête de chaque Tableau. Une question particulière étant définie 'par ces trois arguments, le premier indiquera la page, le second la colonne horizontale, le troisième la colonne verticale, dans lesquelles on doit chercher la valeur de ioo8; on aura celle de 6 en séparant par une virgule les deux derniers chiffres vers la droite.

Exemples. — Prenons ~ =^ 0,0004, —^ = 0,21, -- = 0,000; la Table V donne 1006 = 4^5 et, par suite, 6 = 4><>5. Si Ton

DÉFORMATION ET RÊSISTANG8 DBS ARCS CIRCULAIRES. 4?^

a* TT "a

même 1006 = 220 ei 6^=2,20.

avait — = 0,0006, --î-=zo,44> - = 0,075, on trouverait de

Dans le cas où les arguments ne seraient pas exactement dans la Table, mais seraient compris entre ceux qui s'y trouvent, on pourra procéder par interpolation ou bien se contenter de la valeur correspondant

aux arguments les plus rapprochés. Exemple : on a — ^ =o,ooo334,

--^ = 0,2082, - - 0,0567. Prenant — — o,ooo3, — ^ — 0,21 , - = o,o55,

it fi Cl' "K a

on déduira de la Table 6 = 4 ,o3 ; si Ton passe à la page suivante de la Table et qu'on porte — de o,ooo3 à 0,0004, on trouvera 6 = 3,95.

D'ailleurs on voit, dans l'une et l'autre page, qu'un petit changement

de —^ et de - autour de 0,21 et de o,o55 n'altère S que faiblement;

TT Cl

donc 6 est approximativement égal à 4»o- Si l'on tenait à procéder par interpolations régulières, la détermination de 6 serait plus longue, mais toujours facile. Voici le Tableau des calculs :

CHAP1TRB HUITlftMB.

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