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BfiFORMATlON ET RÉSISTANCB DES ARCS CIRCOLAIRES. 4??

Ce Tableau se comprend de lui-même. On voit qu'il exige huit recherches dans la Table et sept interpolations, et, quoique cela soit très-élémentaire, on perdrait ainsi le grand avantage de la rapidité. Hâtons-nous de dire que cette rigueur de calcul sera le plus souvent inutile ; nous voyons en effet, dans l'exemple précédent, que l'interpolation nous a donné, à une petite différence près, la même valeur de 6 que nous avions obtenue déjà par remploi d'arguments approchés. Au reste, les interpolations qui concernent le rapport - pourraient être faites à la lecture; alors le Tableau

ci-dessus serait réduit aux opérations 3, 6, 7, 10, i3, ij, i5, c'est-à-dire diminué de plus de moitié.

La Table donne 6 avec trois chiffres, c'est-à-dire avec une approximation variable qui parfois peut entraîner une erreur relative de quelques millièmes. Cela semble peu de chose en comparaison des grandes variations que subissent les qualités physiques des matériaux employés aussi bien que les coefficients de résistance en usage. Il serait donc évidemment inutile de rechercher une plus grande approximation au prix de calculs notablement plus longs et plus compliqués.

On remarquera, dans chaque page de la Table, un trait horizontal brisé à une certaine hauteur. En voici le sens : les nombres qui sont au-dessus ont été fournis par l'application de la formule (5) (n" 144), et, par conséquent, le maximum de la pression est alors au sommet et à l'extrados de l'arc ; les nombres en dessous du trait proviennent au contraire de l'emploi de la formule {7) (n'*144), ce qui place le maximum de pression aux reins et à l'intrados. Quant à la formule (8), nous n'avons pas eu occasion de l'appliquer. On peut donc dire que la plus grande pression se produira rarement aux naissances.

ISO. Limites de la Table. — Les valeurs de —, varient de dix-millième

en dix-millième, depuis 0,0001 jusqu'à 0,0006; puis viennent les valeurs 0,0008, 0,0010, 0,0012 et enfin 0,001 5. Dans les arcs existants, pour la grande majorité, le rapport en question est compris entre 0,0002 et o,ooo5. Un seul des exemples cités au n° 123 donne une valeur plus petite : c'est le pont du Carrousel, à Paris; un seul donne une valeur supérieure : c'est le viaduc de Lormont (chemin de fer de Bordeaux), pour

lequel —, s'approche de 0,0008. Nous pensons donc que les limites 0,0001

et 0,001 5 ont une amplitude suffisante.

Lorsque -5 est donné, le rapport - ne doit pas être pris tout à fait

arbitrairement. En premier lieu, on a (n° 123) /"< -j et, par conséquent,

->2- ou ->2V-, a a a ^

478 CHAPITRE HUITIÈMB.

en posant — = z. D*un autre côté, en considérant les formes usitées pour la section transversale, on voit que le rapport p descend bien rarement

au-dessous du nombre — 7 qui correspond à la section rectangulaire. On

r* I peut donc a fortiori admettre comme limite inférieure tï = "j- ' nombre

répondant au cercle plein. Alors on aura /i^ < i6r', soit —, < 162, et enfin - < 4 v/2. Donc - sera compris entre 2 \/z et 4 v/i- Attribuant successivement à z ou ~ les valeurs de la Table, on forme le Tableau ci-après:

Limite tnférleart de -• Limite rapérleure de -•

ti a

Valeun de — ,

,ooo3

,ooo5

Pour permettre les i ntcrpolations entre les résultats qui correspondent à

deux valeurs consécutives de — ,) nous avons remplacé dans la seconde

colonne du Tableau précédent chaque nombre par celui qui est immédiatement au-dessus, et au contraire nous avons descendu d'un rang dans la

colonne des limites supérieures. Par exemple, lorsque -5 est égal à o,ooo3,

au lieu do supposer - compris entre o,o35 et 0,070, nous avons admis

qu'il pourrait varier entre o ,028 et o ,080. En outre, nous avons cru devoir

rejeter comme inutile en pratique toute valeur de - inférieure à o,o3 et

supérieure à o, 10. Ces deux modifications conduisent au Tableau suivant, dans lequel on n'a d'ailleurs introduit que des multiples de o,oo5 pour les limites cherchées, en les exprimant à moins de o,oo3 près.

Valears da -=

Limite Inférienre de - •

Limite sapérieare de -

0 , oooa

o,ooo3

o,ooo5

o,oGo

OjIOO

o,ooi5

L'existence de ces limites explique les lacunes qui sont restées dans les pages de la Table.

Pour ce qui concerne Tangle ^, on a fait varier le rapport —^ entre

0,12 et 1 ,00, comme dans les Tables de poussée. Mais les valeurs de ce rapport ne procèdent par degrés rapprochés (de 0,01 en 0,01) qu'entre

-- = 0,20 et — = 0,32, c'est-à-dire dans l'intervalle qui comprend les

arcs les plus ordinairement employés; en dehors de ces limites, il y avait peu d'inconvénient à avoir des dilTérences plus grandes, et cette mesure a été prise pour ne pas trop augmenter le volume de la Table.

131. Exemple du calcul de la résistance d'un arc de pont sous la charge d'e'preiwe, — Quand une fois on aura obtenu le coefficient 6, comme il a été dit au n° 149, le calcul de la résistance s'achèvera aisément. En voici un exemple.

Supposons les données suivantes :

Arguments pour entrer dans la Table V : -^ = o,ooo334, — = 0,2082,

a TT

Poids de la demi-travée, uniformément réparti suivant l'horizontale : p'a = io5 tonneaux; Aire de la section supposée homogène ; il = o°"ï,i428.

La division de p'a, exprimée en tonneaux par mille fois Cl exprimé en

mètres carrés, donnera le quotient ^ exprimé en kilogrammes par millimètre carré :

48o CHAPITRE BUITlkMB.

D'un autre côté) les arguments ci-dessus indiqués nous ont donné (n"* 149) la valeur de 6 égale à 4,07; donc la plus grande pression, rapportée au millimèlre carré, sera

c'est-à-dire que la matière de Tare sera soumise à une pression maximum de près de 3''» (2''^',99) par millimètre carré.

Ces données et ce résultat conviendraient approximativement au viaduc de Tarascon, si la fonte pouvait être regardée comme homogène : nous disons approximativement, parce que la section n'est pas tout à fait symétrique par rapport à l'horizontale du centre de gravité. D'ailleurs Taugmentation du coefficient d'élasticité vers les bords pourrait conduire à modifier notablement le chiffre de 2*^^,99. Quoique les données expérimentales nous manquent pour effectuer le calcul avec quelque précision, nous rappellerons que les constructeurs du viaduc deTarascon, MM. Desplaces et Collet-Meygret, ont évalué à 6000000000 le coefficient moyen d'élasticité longitudinale des arcs (n° 6), de sorte que l'on a

De plus, le nombre E, paraît devoir être fixé à 12 x 10*; donc

pa -^ = io5ooo — -— = 1,47 X 10*.

Ainsi la quantité à multiplier par le coefficient 6 aurait une valeur double do celle que nous avons supposée tout à l'heure.

Quant à 6, il dépend du rapport — j qui peut être altéré aussi par le

défaut d'homogénéité de la section; mais la Table V montre que, avec

les arguments -3^—0,9.1 et - = o,o55, 6 ne s'écarte pas sensiblement

de 4îO, quand môme — varierait de 0,0002 à 0,0008. Il faut donc conclure de toutes ces considérations que probablement la pression maximum demandée se trouve aux environs de 6^* par millimètre carré.

D'un autre côté, il y a lieu de répéter ici une observation analogue à celle qui termine le n° 147; on remarquera que ce maximum se produit en des poiots situés à la surface extérieure de la section. Or, ces points s'étant refroidis plus vite que les autres pendant le moulage de la fonte, par suite de leur contact avec le moule, la matière y est plus serrée et plus dure que dans l'intérieur. C'est pour cela que déjà nous avons supposé au maximum £, une valeur double de la moyenne ; il est probable que la même circonstance rend aussi la matière susceptible de mieux résister à l'écrasement. Quand on pénètre à une profondeur de o"',oi

OU o^jOi au-dessous de la surface, peut-être la fonte devient-elle beaucoup plus molle et moins résistante; mais, par compensation, E, serait remplacé par un nombre beaucoup plus petit, ce qui diminuerait la pression moléculaire par unité de surface. En (in de compte, lorsqu'on en vient aux applications numériques, on voit qu'on ne peut guère faire autrement que de supposer les matériaux homogènes : leurs qualités physiques sont encore trop imparfaitement connues pour qu'on soit en mesure d'avoir égard aux différences d'élasticité ou de résistance des diverses libres élémentaires qui traversent une môme section.

l IV. — Des circonstances qni peuvent influer sur la résistance d'un arc à section constante, chargé uniformément suivant l'horizontale. — Vérification de la stabilité sous la charge d'épreuve.

152. Généralités. — On suppose toujours ici les circonstances générales admises dans tout ce Chapitre^ savoir celles qui ont clé indiquées au n**l41. Ainsi Tare est à fibre moyenne circulaire, avec une section constante; sa corde est maintenue invariable par deux appuis fixes placés au même niveau, et aucun autre obstacle ne gêne ses déformations; la charge, y compris le poids propre des pièces, consiste en un poids uniformément réparti suivant l'horizontale; enfin la section n une forme telle, que Tare fiéchit dans son plan vertical sans gauchissement (n"" 88). Alors la pression maximum, si la section est en outre supposée homogène, sera représentée,

comme on vient de le voir au paragraphe précédent, par €^-

Nous nous proposons ici d'examiner de quelle manière varie ce maximum quand, laissant le poids total p'a et l'aire 12 constants, on fait varier les trois arguments qui ont servi à trouvère (n® IW); pour cela, il suffira d'étudier les variations de 6, ei c'est ce que nous allons faire maintenant. Les trois quantités dont nous avons à rechercher l'influence sont :

I® Le demi-angle 9 au centre de l'arc, qui caractérise la figure de la fibre moyenne;

2* Le rayon de gyralion r et la hauteur A de la section, comparés à l'ouverture ia de l'arc, ou, en termes plus généraux, les éléments qui sont introduits par la forme de la seclion transversale.