sa section transversale
It la tension limite à laquelle on veut la soumettre par unité
de surface; n le poids de l'unité de volume du fer; la tension maximum dans les sections de la lige sera
et l'on devra déterminer m par l'équation ■ni Rw = '^+nw/,
SÏSTfiMSB ARTICULÉS SANS FtlOTTEHENT. 535
Les trois quantilés désignées par u, n, a éiant nécessairement positives, celle équation nous montre que cr el R — 11/ sont de même signe. Lorsque R surpasse H/, c'est-à-dire lorsqu'on a
a est positif; on peut, sans dépasser la tension R par unité de surface, faire supporter à t'Iiaque tige la force verticale
descendante -; pourvu qu'on donne à u la valeur (12].
Mais, si / dépassait =1 la lige ne pourrait être soumise à la
tension R que si rj cliaiigcail de sens; on voil en cffei que ie poids propre Il&i/de la lige produirait à lui seul une tension Tll par unité de surface, laquelle excéderait déjà R, en sorte que la lige, loin de pouvoir supporter en plus un poids i[uelconque, devrait èlrc soulagée par une force ascendante.
Pour /.— -, la lige atteindrait la tension limilo sous la seule
action de son poids, et l'on devrait faire tu -: o.
Les tiges de suspension étant construites en fer, on peut prendre, si le rhètre est l'uniié linéaire,
ce qui conduit à
Comme il s'en faut toujours de beaucoup que les longueurs / réellement données aux liges atteigncni des grandeurs de cet ordre, on voit que II /sera, dans la pratique, une pclile fraction de R. Il est donc inutile de faire varier la section ai en fonction de /; on peut adopter une section constante pour toutes les liges, par exemple celle qu'on obtiendra en remplai^ani dans la formule (12) /par sa valeur moyenne /'. Si l'on admet que les longueurs totales des diverses tiges croissent paraboliquement depuis un minimum l, répondant au milieu de la travée jusqu'à une limite /i répondant au voisinage des
536 CHAPITRE NEUTliUllU
appuis extrêmes, on pourra prendre
Par suite^ on aura la section totale des tiges
2Gja
leur poids sera Ul'noa ou bien acrg ^ ___ti if^ valeur qui, réunie au poids 2m a du tablier proprement dit> donne le total
2cja
ou simplement Kx 2iiTay K étant un rapport très-peu supérieur à i, défini par Tégalité
Il y a déjà, comme on le voit, par le fait du tablier et des tigesi un poids Kgt par mètre courant que doivent supporter les chaînes ou câbles de suspension indépendamment de leur poids propre.
Nous avons encore à déterminer la section Q de ces chatnes ou câblesy de manière à remplir la condition que leur maximum de tension par unité de surface atteigne, sans la dépasser, une limite Ri fixée d'avance; nous sommes, par codséquenty conduit à chercher comment varie la tension d'une section à l'autre et la plus grande valeur qu'elle est susceptible de prendre. Pour y arriver, on remarquera d'abord que les chaînes ou câbles affectent la figure d'une parabole à axe vertical, ayant une corde horizontale de longueur aa et uoe flèche verticale /, dont le constructeur peut disposer entre certaines limites. Le choix d'une grande valeur de /aurait pour conséquence la nécessité de donner une grande hauteur aux piliers de support, ce qui pourrait en rendre la construction difficile et coûteuse; une flèche très-petite donnerait lieu à des tensions très-grandes dans les chaînes ou câbles, comme on le verra par les formules que nous allons bientôt établir.
Pour éviter autant que faire se peut ces deux inconvénients, Tusage généralement suivi est d'adopter pour / une valeur comprise entre 0,06 et o,io de l'ouverture p. a.
Au moyen des données /et a et du poids total /? du système par unité de longueur horizontale, il est facile d'exprimer la tension en un point quelconque. Soit en effet [fig. 76)
Fig. 76.
AOB la parabole des chaînes ou câbles; les axes coordonnés étant la verticale O2 du sommet et la tangente horizontale 0^ au même point, son équation serait (n° 169)
Mais il faudrait attribuer à la pression Q en 0 une valeur négative; au lieu de cela, nous sommes libres de remplacer Oz par un axe O2' de sens contraire, pourvu que nous changions en même temps le signe de Q et que nous prenions cette force en valeur absolue; cela donnera pour équation de AOB, dans le système z'Ox,
Ai
En mettant pour x et z' les valeurs particulières a et /, on trouve
d'où l'on tire
valeur constante de la tension projetée sur l'horizontale. D'un
538 CHAPITRE NEUTIÈHS.
autre côté, nous avons vu qu'on a pour la tension en un point quelconque M
or, d'après Téquation (i4),
Donc
ou, en mettant pour Q sa valeur (i5\
On arriverait au même résultat en considérant l'équilibre
(le la portion OM, sous l'action des trois forces Q =^ —p^P^
et T, et écrivant que la dernière est égale à la résultante des deux autres.
L'expression (i6j montre que la tension est croissante avec X et que sa plus grande valeur T, répond à x — -±ia\ on a
ce qu'on peut écrire sous la forme
(17) T, r^:z K'pa,
f K' étant un rapport uniquement fonction de - et défini par
l'égalité
La petitesse du rapport - fait que T, dépasse peu ^j voici en effet les valeurs du radical i/ i -4- ^ pour diverses va-
SVSTfeHES ARTlf^UUS SINS PnOTTEMEKT. 53ç)
leurs de -^ comprises enlre 0,06 et 0,10 :
iyi + ^--- i,oaH4 :,o385 1 ,o5o(i 1 ,c.CaH J ,'>77u
Un pourrait donc, sans grande erreur, regarder la tension comme constanie et égale à '-- ; louierois, il est mieux (l'avoir i-gard à la valeur limite Ti quand il s'agit du calcul de la section Q..
Cette section est déterminée, d'après ce qu'on a vu plus haut, par la condition
|jy, R,l>^-T,--K'/>a.
Le poids par unité de longueur p comprend la partie Kro déjà calculée, plus ce qui provient des chaînes ou câbles; la longueur de ceux-ci étant approximativement, d'après une formule connue, 2« ( 1 -^ ■^■— , j ('), leur poids total s'exprimera ■
par srtllii ( 1 ---■— U ce qui donne, par unité de longueur
mesurée horizontalemenl, 1112 (' "*" t'^; )' S'''' K"!!!!, en posant
('] L'ùquation ilu i;i par.
lu radical par
arc AOB l'on int«(;re, après avoir remplacé le radical par l'cipi
54o CHAPITRE NBCYlftBB.
On a donc
(21) p=^Kw-t-K''nû,
valeur qui, substituée dans (19), donne
R,û=K'a(Knj-T-K"nû;, et par suite
Les calculs de stabilité du pont se trouvent ainsi complétés dans leur partie la plus essentielle.
Remarquons que, dans le cas où l'ouverture 2a atteindrait ou dépasserait la limite
le poids propre des chaînes ou câbles serait déjà suffisant pour produire à lui seul la tension R, par unité de surface, de sorte qu'on ne pourrait leur donner aucune autre charge à supporter, si même on n'était pas obligé de remplacer cr par une force verticale ascendante, afin de les soulager. On doit donc nécessairement prendre des portées moindres que 2a,, et il convient de rester notablement en dessous» sans quoi le dénominateur de la formule (2-2) s'approcherait trop de zéro, la section 12 serait très-grande et la construction entraînerait l'emploi d'une grande quantité de fer. Nous
avons calculé et nous donnons ci-dessous les valeurs de 2a,
répondant à diverses valeurs de 7— quand on suppose
R, 1 : gOOOOOO,
ce qui convient aux câbles en fil de fer; on peut faire, comme plus haut, n — 7800, et l'on obtient K' ainsi que K" par les formules (i8) et {20). On forme de cette manière le Tableau suivant :
f -î— o,oG 0,07 0,08 0,09 0,10
Outre rinconvénient déjà signalé de conduire à une grande valeur de 0, les portées voisines de la limite sa, auraient aussi
celui d'exiger la construction de piliers très-élevés; ainsi une
f portée de 5oo"*, avec — =o,io, conduirait à y^- 5o'", ce
qui ne constitue encore qu'une partie de la hauteur des piliers.
Travées suspendues , non symétriques par rapport à leur milieu, — Il arrive souvent que la parabole de suspension a des ordonnées inégales en ses deux points extrêmes, comme l'indique la Jîg. 77 ; le sommet 0 de la courbe n'est plus
alors au milieu de la portée CD—- 26, et il s'agit d'abord de trouver sa position quand on
donne les ordonnées BD=/,
AC^^/', ainsi que 26. A cet effet, désignant par a et a' les distances
OD et OC, on aura d'abord
a-\- a'^^ib;
ensuite on exprimera que les abscisses d'une parabole sont proportionnelles aux racines carrées des ordonnées, ce qui donne
De ces deux équations on tire facilement
a^= 7.b — ^ -'^—zz^ j rt' =^ 2 6 — ^
Après avoir déterminé a et a', si a est la plus grande de ces deux longueurs, on devra faire les calculs relatifs à la stabilité du pont comme pour une portée égale à 2a, avec une flèche/ des deux côtés du sommet; seulement on ne construirait en réalité une des deux parties que sur la longueur «', avec la flèche/'.
Calcul de la flèche provisoire des chaînes ou câbles avant la pose des tiges et du tablier, — Après avoir construit les maçonneries destinées à l'amarrage des chaînes ou câbles et
54^ CHAPITRE NBUnfeMB.
avoir élevé les piliers qui doivent en former les supports aux deux extrémités de chaque travée, on procède presque toujours à rétablissement des chaînes ou câbles; ensuite on y suspend les tiges» et finalement on attache le tablier à celles-ci. Les chaînes ou câbles sont d'abord soumis, dans l'intervalle des supports , à la seule action de leur poids propre; leur flèche s'augmentera nécessairement par la mise en place des tiges et du tablier, ei davantage encore sous les surcharges d'épreuve. Si donc on veut que cette flèche ait finalement une valeur déterminée et prévue par le projet du pont, il faut lui donner une valeur primitive plus petite pendant la période d'établissement.
Le calcul de cette flèche provisoire dépend en partie des dispositions adoptées dans chaque projet; nous nous bornerons à deux exemples, qui feront sufQsamment comprendre la méthode à suivre dans d'autres cas particuliers.
Supposons d'abord une travée symétrique relativement à la verticale CO du milieu (Jig. 78); AO est la demi-parabole des chaînes ou câbles, qui, après avoir passé, sans interruption, sur le support fixe A, vont s'amarrer en F. La partie AF,
Fig. 78.
ne supportant jamais que son propre poids, doit affecter la forme d'une chaînette (n® 168); mais, pratiquement, elle est à peu près rectiligne, et nous la regarderons comme telle. Avant la mise en place des tiges et du tablier, la courbe AO était remplacée par AO', qui doit venir coïncider avec AO après la déformation produite par le complément de charge; d'ailleurs, si la fixité de A est bien complète, la portion FA aura conservé une position constante pendant ce changement. Cela posé, nous nommerons
L la longueur FAO dans l'état définitif; L' la longueur provisoire FAO' ;
a la distance constante AC^ demi-ouverture du pont;
/la flèche définitive CÔ;
f la flèche provisoire que Ton veut calculer.
Comme nous Pavons fait remarquer plus haut, la tension des chaînes ou câbles est sensiblement constante en tous leurs points; cette tension se transmet à peu près sans alté*ration au câble de retenue AF^ en admettant que^ suivant Tusage, on ait pris les précautions nécessaires pour atténuer les frottements sur le support A. La grandeur définitive de cette tension diffère peu de Ri par unité de surface, sous le poids p par unité de longueur horizontale; le poids des tiges et du tablier entrant dans p pour la valeur Kgt, il en résulte que le supplément de tension» quand on passe de la position
AO' à AO, est égal à R, par unité de surface ('), et Tallon-
R Kbt gement proportionnel correspondant est (n® 1) -' — • On a
donc
ou plus simplement, \J pouvant être approximativement remplacé par L dans le second membre,
Puisque le point A jouit, par hypothèse, d'une fixité parfaite, cette différence L — L' est celle des courbes AO, AO'; or, on sait que
