lO

= 175 mètres.

L'équation du second degré qui donne celte limite quand on fixe la valeur de h devient ici, pour h =z 9,

et Ton en déduit

2rt -= i36 mèîres.

181. Poutres articulées à longerons courbes, — On peut faire àla^'g^. 87 (p. 588) deux changements: 1° remplacer les droites Aoûfo et Bofro par deux courbes AnM«o, A^M' ac [fig, 89), ayant

Fig. 89.

chacune leurs deux extrémités sur les points d'appui Ao, «o, et représentant les axes de deux longerons; ?,° intervertir le sens des diagonales, c'est-à-dire avoir des liges inclinées qui, dans la partie AoM par exemple, descendent de gauche à droite au lieu de descendre de droite à gauche. Les montants verticaux équidistanls sont d'ailleurs conservés; de plus, les deux longerons courbes tournent leur concavité vers la droite Aoûfg. Enfin les lignes ponctuées de la figure sont censées provisoirement ne pas exister; nous y reviendrons

Svfi caiPITRM NtUVifiMB.

(Iniis nn inslanl. La potiire ainsi constituée recevant l'action tli' (Uvors jHHiIs en ses arlicublions A,, A,. . . ,, M, . . .. a,, a,, il est chi-oro facile de itéterniiner les efforts supportés par l.-.;s les Cvlès liii svsu'nie.

En eiïoi, !>i l'en coupe la pièce par un plan vertical quelivn.)iie i"l>, ce plan rencontrera irois côtés, savoir : B,B,, K- K., A-\ : en chacun des points de rencontre, il s'exerce sv.r b iviriie de poutre placée d'un certain côté du plan CD * i:^n.-^e. par exemple) une pression ou tension, de direc- •.,.•;•, l'onimo, provenant de l'action exercée par l'autre partie. i*r. ces trois forces doiveni, avec les poids appliqués de A, e;-. l-l> 01 la réaction Y de l'appui A„ former un système en o.;uilit're; égalant donc à zéro la somme des projections hor jonlLilu's ou verticales et la somme des moments par rappcrl à B„ on aura trois équations qui permettront de calluler trois de nos inconnues. On agirait de même à l'égard lie Ions les quadrilatères analogues à fi,6,A,A,, compris enlre deux montants verticaux consécutifs; quant aux triangles ovirèmes, il suffira de décomposer les réactions de chaque appui en deux forces, suivant les côtés qui aboutissent à cet appui; ainsi en A, on décomposerait Y suivant les directions A„B, et AoA, pour avoir les pressien el tension respectives de ces deux côiés. Il ne restera plus alors qu'à trouver les tensions des montants verticaux ; on y parviendra sans peine en projetant sur leur direction les forces appliquées à une articulation quelconque.

On peut également emplojer les procédés de la Statique graphique, dont on a déjà donné une idée et fait des appli- Ciitions (n"' 176 ci 180). Dans le cas actuel, après avoir calculé les réactions Y, il faudrait construire les polygones de composition des forces pour les divers sommets du système articulé, en suivant l'ordre A., A., Bi, A„ B:, ...,B,; arrivé là, on connaîtrait toutes les tensions ou pressions dans la moitié de gauclic, et par cela même dans la moitié de droite, à cause de la symétrie. 11 n'y aurait d'exception que po\iT la tension de MM' ; on la déterminerait par la consîdérjiiiiii de l'équilibre du point M', puisque sur trois forces n|iplîquccs à ce point on en connaît maintenant deux. Si la symétrie n'existait pas, après avoir construit les polygones

de composilion en pariant de Â« jusqu'au point où rinclinaison des diagonales change de sens, on recommencerait une opération semblable en partant de «a, et Ton arriverait encore à déterminer ainsi toutes les forces inconnues, sauf la tension d'une tige telle que MM', qu'on obtiendrait ensuite comme ci-dessus.

La Jig, 90 représente Tépure à dessiner. On a fait toute Ja construction comme si la symétrie n'avait pas existé. Les traits forts distinguent les pressions proprement dites.

Fig. 90.

Lorsque tous les poids suspendus aux divers son^mets inférieurs sont égaux, on trouve, en appliquant Tune ou l'autre de

>oS CH A PITIE KEUTIÈIB.

res méiLodes, que le longeron supérieur esl partout comprioi'^, et le longeron inférieur partout soumis à une tension; en outre, on obtiendra généralement des tensions dans toutes ks lizes verii'^ales ou inclinées qui réunissent les longerons. Nous admettrons que la forme des courbes a été choisie de n.aniere à remplir cette condition. Alors on voit que, si Ton complète le système par l'adjonction des diagonales supplémentaires tracées en lignes ponctuées sur la Ogure, ces diagonales resteront inactives tant que la poutre sera uniformément chargée sur la longueur entière; mais elles travailleront si nous supposons, comme au n° 180, qu'un certain nombre de sommets, à partir de A,, supportent un même poids, pendant que chacun des autres supporte un autre poids, ce qui est le cas d'une surcharge incomplète. Alors le point analogue à M où les diagonales doivent être changées de sens pour n'éprouver encore aucune compression ne restera plus au milieu de la pièce, et la fi^. 89 se modilîera en perdant quelques-unes de ses diagonales en traits pleins, qui seraient remphicées par leurs supplémentaires. Celles-ci se trouveraient d'ailleurs soumises à des tensions connues; on donnerait à chacune la section capable de résistera la plus grande tension obtenue en faisant varier le nombre des sommets surchargés à partir de l'une ou l'autre extrémité.

Une autre méthode, aussi imparfaite sous le point de vue de la théorie pure, mais peut-être plus commode dans Tappliration, consisterait à regarder la poutre, avec toutes ses diagonales, comme résultant de la superposition de deux aulrrs poutres, entre lesquelles on partagerait également la charge totale : l'une des deux serait formée des longerons, avec les montants et les diagonales pleines; dans l'autre, il y aurait également les longerons et les montants, mais les diagonul(*s seraient les lignes ponctuées. En réunissant les sections obtenues des deux manières pour les longerons et les montants, on retrouverait en somme le même résultat que par la première méthode; les diagonales pleines seraient d'ailleurs réduites à moitié. 11 y a donc là quelque chose de contraire à la sécurité, puisqu'on peut craindre que, par suite d'un règlement mal fait, les efforts ne se partagent pas également entre les deux systèmes de diagonales. 11 serait prudent

SYSTÈMES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. Sgg

de conserver à chacun d'eux les sections qu'il devrait avoir s'il fonctionnait tout seul sous la charge entière.

Les montants verticaux et les diagonales pleines ou ponctuées de la^g^. 89 peuvent se dédoubler chacun en plusieurs autres, comme on l'a déjà vu à l'occasion des poutres en treillis et des poutres de How (n*" 176 et 180), de manière à former une espèce de réseau à Aailles plus ou moins serrées.

Les poutres dont nous venons d'exposer succinctement le calcul sont le type de deux systèmes, l'un connu sous le nom de boiv-string (^), l'autre désigné par le nom de son auteur, M. Pauli, directeur général des travaux publics de Bavière. Dans le bow-string, on a plusieurs fois remplacé la courbe inférieure AoMrto [Jfg' 89) par une simple droite, et en même temps la courbe supérieure a reçu la forme d'une parabole ayant le point M' pour sommet. La parabole étant, comme on le sait (n® 169), la figure d'équilibre d'un système articulé simple chargé uniformément suivant l'horizontale, on conclut sans peine de ces données : i°que la tension dans la ligne horizontale inférieure a une valeur constante, laquelle s'obtient en décomposant la réaction P de l'appui suivant la direction de celte ligne et relie du premier élément AoB, de la parabole; 2° que la tension de chaque tige verticale est égale au poids qui est censé attaché à son extrémité inférieure; 3° que la compression dans l'arc supérieur diminue de Ao en M' comme la tension dans une chaîne de pont suspendu, ayant même flèche, même ouverture et même charge; 4° cjue toutes les diagonales, aussi bien pleines que ponctuées, restent inactives sous une charge complète uniformément répartie, et que par conséquent leur section doit être calculée uniquement en vue des poids concentrés ou des surcharges incomplètes.

Le système Pauli est une espèce particulière de bow-string dans laquelle on a disposé des deux courbes alTectées par les longerons, de manière que la tension de l'un fut égale à la compression de l'autre, chacun de ces deux efforts devant en ouire rester constant sur toute la longueur de la poutre.

(*) jNoin anglais qui sirjniiif.'! littéralement arc-corde ou arc avec sa corde. Les poutres en bow-sliing ont été iniapinées et plusieurs fois appliquées en An{jletcrrc par M. Brunel, fils du célèbre ingénieur qui a construit le tunnel de Londres, bOus lu Tamise.

600 GHAPlTaB NEUTlfcMB.

On ne peul remplir ces conditions que pour une cerlaine distribution de la charge» la distribution uniforme par exemple. Il est à remarquer qu'on donne souvent des dimensions îissez fortes au longeron supérieur d'un bow-string, afin qu'il ne se déforme pas par flexion sou^ les forces qui le compriment : le moment d'inflexibilité de sa section transversale ayant alors une valeur assez notable, il y a quelque chose de peu satisfaisant dans Thypothcse qui assimile ce corps à un système articulé, parfaitement flexible on chacun des points B„

Bj, Bj, Toutefois, nous avons cru bon de faire connaître

les procédés habiiuellement employés pour vérifier la résistance de ce genre de poutres, procédés imparfaits sans doute, mais jusqu'à un certain point sancUonnés par la pratique. Il esl d'ailleurs plausible d'admettre que la rigidité des longerons augmentera simplement la stabilité de la poulre, et que les dimensions transversales jugées suffisantes en vertu de ces procédés auront pour seul inconvénient de pécher un peu par excès.

182. Obseivation sur les diverses positions qu'on peut attri^ buer aux points d'attache des charges. — Dans tout ce qui précède, à partir du n** 176, nous avons le plus ordinairement supposé que les charges étaient attachées aux articulations inférieures des poutres : si cela n'avait pas lieu, les résultats que nous avons obtenus seraient un peu altérés- Des procédés de calcul tout à fait analogues à ceux qu'on a tus cidessus réussiraient aussi bien avec l'hypothèse d'une charge placée à la partie supérieure; mais nous croyons devoir nous abstenir d'en exposer l'application, afin de ne pas tomber dans des répétiiions fatigantes pour le lecteur. D'ailleurs, la théorie du n** 178 ayant été faite sans supposer aucun mode particulier d'atiache, ses résultats sont applicables dans les deux cas, et cela semble prouver que la modification dont il s'agit ne doit avoir qu'une influence secondafre sur les pressions et tensions des diverses parties du système.

Il peut arriver aussi que les poids agissent sur le réseau de tiges placé entre les deux longerons, en une série de points distincts de ceux où elles s'articulent avec ces longerons. Ce cas se ramène aux deux que l'on vient de mentionner. Soit,

en effet, AB [fig. 91) une lige chargée au point C d'un poids/?; on décomposera ce poids en deux ...

autres p' et p" agissant aux extré- 4-p-

nriiiàs B et C de la lige, lesquels auront pour valeurs respectives

BC P =p-r-^f AB