AB

tp-

uP

Le système de farces p, — p\ ~ p" étant en équilibre, on pourra, quand on aura fait subir la même opération à toutes les tiges, calculer les efforts exercés dans les diverses parties de la poutre comme si elle était chargée seulement en A et B, ainsi que sur tous les autres points où les tiges telles que AB viennent rencontrer les longerons. Ceux-ci se trouveront donc encore dans les mêmes conditions que précédemment; mais la pièce AB devra être regardée comme soumise : 1° à la tension résultante produite par l'ensemble de tous les poids analogues à p' et p" ; 2*» aux trois forces /?, — /?', — p" . Par suite, il faudra qu'elle puisse résister à la flexion, en même temps qu'aux efforts longitudinaux directs.

Les bow-strings ayant souvent, comme il a été dit plus haut, un longeron supérieur de section assez grande, le poids de ce longeron tend à comprimer les montants verticaux; on peut, par conséquent, craindre une flexion de ces pièces, qui sont assez longues vers le milieu de la poutre, et qui se trouveraient alors comme des pièces chargées debout. Mais il faut observer, toutefois, que le poids du tablier et les autres poids placés à la partie inférieure, lesquels soni d'ordinaire beaucoup plus considérables, ont pour effet de produire une tension dans les mêmes montants; par conséquent, c'est une tension que ceux-ci doivent finalement éprouver. Le contraire ne pourrait se produire qu'accidentellement, pendant la construction de la pièce, si le longeron supérieur ne reposait pas sur des cintres jusqu'à ce que la pose du tablier et de sa charge fut complètement terminée.

6o2 CHAPITRR DIXIÈME.

§ I. — Définitions; principes généraux.

183. Des systèmes à articulations alternatives, — Ce nom a été donné par noire prédécesseur, Bélanger, à un système de cor|)s solides reposani les uns sur les aulres par des faces pianos communes à deux corps conséculifs, sans qu'il existe d'ailleurs entre eu\ aucune adhérence, à part celle que produit le IVoitement. Dans Tun des modes de disjonction possibles, un corps tourne, relativement au précédent, autour d'une li^Mie lan^'cnte à la face commune el située dans son |)lan. L'axe est indéterminé el peut passer d'un côté à Taulre diî la l'ace commune, circonstance qui explique le nom d'articulation alternative.

Le cas le plus simple d'un système de ce genre nous est liuirni par la question, précédemment traitée au §111 du Cha- |)itre 111 (n'*" (îO el suivants), d'un corps solide reposant sur une hase d'appui. On a vu qu'il y a dans ce cas trois conditions d'é(|uilibre, en supposant l'aclion mutuelle normale à la surface de séparation : i° cette force doit passer à l'iniérieur du polygone convexe formé par les points d*4)ppuî; •.> ' elle doit tendre à serrer le corps contre son appui; 3" elle ne doit donner lieu, en aucun point de la base du corps, à une pression irop grande par unité de surface, c'est-à-dire (jue la pression maximum rapportée à l'unilé superficieUe ne doit pas dépasser la limite au delà de laquelle on admet qu'il y aurait danger pour la conservation indéfinie du corps. Les deux premières conditions sont indépendantes de la nature du solide; la troisième résulte de ce que les solides naturels

STABILITÉ DES AlAÇONNERIES; POllSSi'K DES TERRhS. fîo3

ne peuvent pas être soumis à des forces d'une grandeur illiinilée.

Si les forces appliquées au solide (sans compler les réactions de ]*appui) peuvent toujours se réduire à une résultante, mais que celle-ci ne soit plus normale à la base, les deux premières conditions subsistent, et on doit leur en ajouter une troisième, sans se placer encore sur le terrain de la Résistance des Matériaux, Cette troisième condition consiste en ce que la composante lan^entielle de la force totale doit être insuffisante pour faire glisser le corps sur sa base, ou, en d'autres termes, il faut que la résultante fasse avec la normale un angle plus petit que l'angle de frottement. Mais que devient dans ce ras la condition spécialement fournie par la Résistance des Matériaux? C'est là une» question qui a préoccupé beaucoup de savanis et d'ingénieurs, et sur laquelle on a beaucoup écrit, mais dont on n'a pas encore trouvé une solution satisfaisante. Aussi admettrons-nous une solution hypothétique qui se rattache très-naturellement à la théorie générale développée au n° Ci, pour un cas un peu différent : la résultante étnnt composée d'une force normale N et d'une force tangentielle P, la première composante N produira, en chaque point de la base, des pressions dont on calculera l'intensité par les moyens indiqués aux n"* 60 et suivants, comme si P n'existait pas; quant à cette force P, elle sera un effort tranchant, et, si Ton nomme û l'aire de la section en contact avec l'appui, il en résultera, sur chaque élé-

ment de 12, une tension transversale ayant pour intensité tt

par unité superlicielle. Cette manière de concevoir les choses n'a évidemment rien de choquant; malheureusement, les expériences connues ne permettent guère d'apprécier les chances de conservation indéfinie ou de rupture d'un élément prismatique solide, soumis simultanément à une pression proprement dite suivant sa longueur et à une action tangentielle sur sa base. C'est une lacune dans les données expérimentales de la Résistance des Matériaux, et sans doute ce n'est pas la seule du même genre; en conséquence, après avoir vérifié la condition relative au frottement, le plus souvent on ne s'occupe pas davantage des effets de la compo-

6o4 CHAPITRE DIXlfcMB.

santé P. Tout au moins seraii-il bon, pour justiQer celte sim-

plificaiion, que le rapport ^ fût assez petit.

Si l'on considère un nombre quelconque de corps solides superposés, dont chacun a une face commune avec le corps précédent et une autre face commune avec le corps suivant, ce sera au fond toujours la même chose, car dans l'étal d'équilibre chaque plan d'assise pourra être considéré comme formant une base fixe d'appui pour chacun des deux corps qu'il sépare. Il n'y a donc aucune difficulté à vérifier les conditions d'équilibre d'un système de ce genre quand on connaît toutes les forces extérieures appliquées au système, ce qui entraîne immédiatement la connaissance des forces N et P pour chaque joint, ces forces devant faire équilibre à des forces connues. Mais la difficulté la plus grande consiste habituellement à trouver les forces extérieures qui ne sont pas données a priori^ comme les réactions des appuis fixes par exemple. La difficolté est même d'autant plus grande, que presque toujours ces réactions peuvent prendre une infinité de valeurs compatibles avec le fait de l'équilibre. Parmi les divers systèmes de valeurs possibles, celui qui se réalise dépend de circonstances qui se sont produites pendant la construction môme, circonstances ordinairement trèspeu connues et très-peu définies : ce sera, par exemple, Timperfection de la taille des pierres, les tassements d'un cintre, le plus ou moins de serrage qu'on aura donné à la clef d'une voûte quand on l'introduit entre les deux voussoirs qui la louchent, etc. Voici un exemple particulier bien simple de ce genre d'indétermination.

18i. Equilibre d'un corps reposant sur deux plans fixes, — Supposons un seul corps en équilibre sur deux plans fixes AB, CD [fig- 92); supposons même, pour simplifier, que par des raisons de symétrie les réactions inconnues de ces plans se réduisent à des forces contenues dans le plan delà figure, où se trouve aus^i la force directement appliquée S. Soient U la réaclion totale de AB, U' la réaction totale de A'B'. Le point d'application C de U doil tomber entre A et B, et U doit faire avec la normale à AB un angle plus petit que l'angle 9 du fret-

Fiff. 92.

STABILITÉ DES MAÇONNERIES; POUSSÉE DES TERRES. 6o5

lemenl(n° 183); donc, si nous menons deux droites, Tune BE faisant avec la normale en B l'angle 9 compté en dessus de la normale, l'autre AD faisant avec la normale en A l'angle 9 compté en dessous, l'intersection de U avec S ne pourra tomber que dans l'intervalle DE; pareillement, la même construction répétée pour A' B' indiquera un intervalle D' E' dans lequel doit tomber rinterseciion de U' avec S. Or l'équilibre entre les trois forces exige qu'elles se coupent en un même point 0 : donc il est nécessaire que les lignes DE, D'E' aient une portion commune. Cette condition étant supposée remplie, on

pourra donner au point 0 une position quelconque dans rétendue D'E de la portion commune. Après avoir choisi ce point 0, on disposera encore de la direction de U, qui pourra varier dans l'intérieur d'un angle 29 ayant son sommet en 0 et pour bissectrice la perpendiculaire abaissée de 0 sur AB; enfin on dispose aussi de la direction de U' à Tintérieur d'un angle 29'. Il y a donc une triple indétermination, entre certaines limites, bien entendu.

11 est vrai que l'explicalion ci-dessus a été donnée sans avoir égard à la résistance limitée des matériaux. Parmi les systèmes de réactions U et U', en nombre triplement infini, dont on vient d'indiquer la recherche, il faudrait exclure ceux auxquels répondraient de trop grandes pressions sur l'un ou l'autre des deux joints AB, A'B'; mais, sauf les cas particuliers, on conçoit bien que l'indétermination subsisterait, car l'existence d'une limite supérieure pour le maximum de pression par unité de surface sur AB et A'B' n'introduirait que deux conditions nouvelles, et encore ces conditions ne s'exprimeraient-elles que par des inégalités.

Nous n'essayerons pas de donner une méthode générale pour résoudre la difficulté qui se présente ici et les autres difficultés de même ordre qu'on pourrait rencontrer dans d'autres problèmes relatifs aux systèmes dont nous nous occu-

6o6 CHAPITRE DIXlfeHB.

pons. Nous allons bientôt aborder deux théories, celle des voûtes et celle des murs de soutènement, qui donneront une idée des expédients employés en pareil cas. Mais il faut auparavant expliquer comment une voûte ou un mur, ou tel ou tel autre massif de maçonnerie, peut se classer parmi les systèmes à articulations alternatives, et sur quels principes on se fonde pour décider si une maçonnerie est ou n'est pas stable.

185. De la stabilité des maçonneries. — On peut considérer divers genres de maçonnerie. Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une maçonnerie en pierres de taille, régulièrement appareillée par assises ou par voussoirs. Dans ce cas on s'impose habituellement pour condition que l'équilibre existe indépendamment de la cohésion du mortier; celui-ci n'est considéré que comme un moyen de bien asseoir les pierres les unes sur les autres malgré les imperfections de la taille, et, si en réalité il les rend quelque peu solidaires, il en résultera simplement un surcroît de sécurité. En se plaçant à ce point de vue, il est clair que le massif de maçonnerie, n'est pas autre chose qu'un ensemble de corps solides superposés, sans autre adhérence mutuelle que celle du frottement; si Ton suppose en outre des joints plans, ce qui est le cas de beaucoup le plus ordinaire, le système rentrera évidemment de la manière la plus complète dans la déGnition qu'on a donnée plus haut des systèmes à articulations alternatives» et sa stabilité dépendra des mêmes conditions (n® 183).

S'il s*agit d'une maçonnerie sans appareil régulier, mais dans laquelle le mortier bouche exactement tous les vides et réunit entre elles des pierres d'assez petites dimensions, le cas est durèrent. On peut alors, suivant les circonstances, procéder de deux manières : i° ou bien le mortier sera de très-bonne qualité et l'exécution très-soignée, et alors on pourra considérer la maçonnerie comme un monolithe dont on vérifiera la stabilité tout comme on le ferait pour une pièce en bois ou en métal, en s'assuranl que les forces extérieures saliïsfont aux conditions générales de l'équilibre et que nulle part les pressions ou tensions intérieures ne dépassent les limites permises, suivant la nature des matériaux;

2*» OU bien, si la cohésion des mortiers semble plus douleuse, on imaginera des plans d'assise fictifs el Ton procédera comme pour la pierre de taille, mais en supposant, bien entendu, d'autres coefficients de résistance, que l'expérience aura fait connaître, el qui seront plus petits, pour une même nature de pierre employée dans les deux cas.

Lorsqu'un massif de maçonnerie doit être envisagé comme un monolithe, il peut y avoir parfois plusieurs manières de Tassimiler à une pièce droite ou courbe, et l'on serait ainsi conduit à considérer plusieurs fibres moyennes. Prenons, par exemple, un mur de réservoir, auquel nous attribuerons, pour plus de simplicité, la forme d'un parallélépipède rectangle, ayant deux faces horizontales et quatre faces verticales. Ce mur, envisagé d'abord comme un prisme dont les sections normales seraient les profils mêmes du-mur (c'est-à-dire des plans verticaux perpendiculaires à la face mouillée), sera un solide chargé transversalement et exposé à la flexion. Au contraire, si les plans horizontaux étaient pris pour sections normales, chaque section supporterait une force inclinée, résultante des actions exercées par l'eau el la pesanteur sur la portion du mur située au-dessus du plan dont il s'agit. On pourrait imaginer une foule d'exemples semblables. Quel est alors l'axe qui devra être pris pour fibre moyenne quand on voudra s'assurer de la stabilité? C'est ce qu'il serait peut-être difficile d'indiquer clairement d'une manière générale, et le sentiment de l'ingénieur devra souvent lui servir de guide. Ainsi, dans Texemple ci-dessus, si le mur est établi sur des fondations très-solides, on peut admettre qu'elles annulent complètement par leur résistance la flexion transversale qui tend à se produre, et il suffirait alors de vérifier la stabilité au second point de vue. Si le terrain de fondation offrait peu de résistance aux actions horizontales, le premier point de vue ne devrait pas être négligé et la prudence commanderait alors de faire deux vérifications au lieu d'une.

La stabilité des massifs de maçonnerie est toujours naturellement subordonnée à celle des fondations, mais l'appréciation de celte dernière est bien plus dans le domaine de la pratique el de l'expérience acquise que dans celui de la théorie. Nous nous bornerons à rappeler que, lorsqu'un ouvrage

esi soumis à des forces dont la résultante ne passe pas au centre de la base d'appui, la pression n'est point uniformément répariie; quoiqu'il soit à peu près impossible d'indiquer la répartition véritable qui se ferait sur un terrain plus ou moins compressible, ce fait ne doit pas être perdu de vue quand on i\\c l'étendue de la base.

Après ces indications sommaires, nous allons entrer dans l'exposition détaillée des deux théories que nous avons annoncées.

§ II. — Théorie des voûtes droites en bercean.

186. ancienne théorie. — Soit donnée une voûte cylindrique, symétrique et symétriquement chargée relativement au plan vertical Eolo (.A&*9^] ^"i passe par la clef; on sup-

pose que la symétrie existe aussi relativement au plan de la figure et que, par suite, toutes les forces extérieures peuvent se réduire à des forces contenues dans ce plan. La partie située à gauche du plan Eolo reçoit de celle de droite une action Q et exerce une réaction égale et de sens contraire; la symétrie exige que ces actions mutuelles soient horizontales. On nomme la force Q poussée de la voûte, parce qu'elle se transmet aux appuis et tend à les renverser en dehors.

La portion de voûte comprise entre E«Io et un point quelconque El doit être en équilibre, et on peut lui appliquer l'équation des moments relativement au point I; en nom-

manl M^ la somme des moments des forces (ordinairement des poids) direclemeni appliquées sur celle porlion el représeniani diverses lignes par les nolalions indiquées sur la figure, nous aurons de celle manière

Q(j — Vf) = Mi-\- le momeni des réaclions de El,

ei, aiiendu que ces réaclions, nécessairemenl répulsives, tendent à faire tourner dans le même sens que M/,

inégalité dont la signification est que la poussée Q a une intensité suffisante pour empêcher la rotation de EoIuIE aulour de Taxe projeté en I. Si Ton exprimait par un calcul analogue que Q n'atteint pas la grandeur nécessaire pour déterminer la rotation de la demi-voûte EoIoI.E, autour de Taxe projeté en E,, pris sur le joint le plus bas E,I,, on arriverait à Tin égalité

dans laquelle M'^, représente le momeni total, relativement à E,, des forces extérieures appliquées à la demi-voûte, non compris la poussée Q et les réactions du joint E,I,. Enfin, z. étant supposé supérieur à h et à y\ on peut écrire

-wi

car une fraction plus petite que i décroît quand on retranche une même quantité à ses deux termes. Par la multiplication membre à membre des trois inégalités précédentes, on obtient

OU bien

Le premier membre de celte dernière inégalité est indépendant du joint El, tandis que le second en dépend; Tinégalité devant toujours se trouver satisfaite quel que soit ce joint,