I. 3* édil

6lO CHAPITRB BTXlkMB.

on en conclut que le premier membre doit excéder la plus grande valeur prise par le second, lorsque la position du point I varie entre lo et Ii, c'est-à-dire qu'on a

On peut répéter un calcul tout semblable, mais en permutant les rôles ci-dessus attribués aux arêtes d'intrados et d'extrados. Nommons, à cet effet,

M, le moment, relativement à Taxe projeté en E, des forces extérieures agissant sur la partie de voûte £»I«IE, toujours sans y comprendre Q et les réactions du joint El;

M',, ce que devient le moment M, ci-dessus défini quand I prend la position particulière Ii ;

z', x\ ce que deviennent les cotes de hauteur z et ^, quand on les diminue de k-hl, c'est-à-dire quand on les mesure relativement à l'horizontale de I«.

Cela posé, la force Q ne devant pas acquérir l'intensité suffisante pour faire tourner E«IolE autour de Taxe E, mais devant, au contraire, suffire pour empêcher la rotation de EoI.I.E, autour de I,, on aura d'abord

puis

On en conclut de même, par la multiplication membre à membre,

ou bien

cela signifie que la valeur fixe —■ doit rester inférieure au

minimum de -7' quandlepointE varie entre E« et E, et qu'on

STABILITÉ DES MAÇONNERIES; POUSSÉE DES TERRES. 6ll

peut écrire, par conséquent, 8 -/ <min. -, .

ri ^

En loule rigueur, il faut encore exprimer que la force Q, suffisante pour empêcher la partie de voûte EqIoIE de glisser en descendant le long du plan incliné El, n'aurait cependant pas la grandeur suffisante pour faire remonter une autre partie quelconque EoïoI'E' le long du plan incliné TE'. Si nous désignons par

X Tangle d'un joint quelconque avec l'horizontale,

P la résultante, supposée verticale, des forces directement

appliquées entre ce joint et Eolo, / le coefficient de frottement des voussoirs les uns sur les

autres,

la théorie du plan incliné nous apprend que la force Q doit être comprise entre les limites supérieure et inférieure

sina -f- fcos a ^^ sina — fcosa p - -i , p r .

cosa— /sina cosa-f/sina

r.a force Q doit donc rester à la fois au-dessous du minimum

d(3 la première expression et au-dessus du maximum de la

seconde lorsque a varie, et, pour que cela puisse avoir lieu,

la voûte est assujettie à remplir la condition traduite par

l'inégalité

, , . -^ sina -f- fcosa . ..sina — fc^sa

q mm. P ^7— — ^ max. P ,.-. — •

^^' cosa— /sina cosa-f-ysma

Les conditions (4), (8) et (9) sont à coup sûr nécessaires, puisque nous les avons tirées, comme conséquence, de la supposition que la voûte est en équilibre; mais sont-elles suffisantes pour assurer l'équilibre? C'est une question que nous ne traiterons pas à fond, mais nous essayerons cependant de justifier à peu près Taffirmative, en supposant la résistance des matériaux illimitée et en prenant pour point de départ certaines indications expérimentales relatives à la manière dont les voûtes se détruisent.

Dans les voûtes en plein cintre et aussi dans les voûtes surbaissées en arc de cercle ou en anse de panier, lorsque la

6l2 CHAPITRE DIXIÈHB.

flèche ne descend pas au-dessous de ^ de l'ouverlure, on

observe, au moment où la chute va se produire, que la voûle se partage en quatre morceaux, qui se comportent tout d'abord comme des monolithes réunis entre eux et aux culées par cinq articulations : une de ces articulations se trouve à la clef et à Textrados, en Eo; deux autres également à Texlrados, sur les joints des naissances, c'est-à-dire en E,, et au point symétrique; enfin les deux dernières à Tintrados, sur les deux joints symétriques inclinés de 3o° environ sur le plan horizontal. Ces deux derniers joints se nomment ordinairement joi/i/* de rupture. Quand la voûle est surbaissée à un degré tel que tous les joints ont sur l'horizontale une inclinaison dépassant 3o^ es joints de rupture sont toujours placés aux naissances et le joint E,I, du cas précédent se trouve remplacé par une assise de la culée. Ajoutons d'ailleurs que sur les quatre monolithes les deux plus élevés tendent à tomber en dedans de la voûte, pendant que les deux inférieurs tendent à se renverser en dehors.

Il y a quelque chose de semblable pour les voûtes en ogive; seulement les cinq articulations sont autrement disposées, en ce qu'elles passent de l'intrados à l'extrados et réciproquement. Les deux monolithes supérieurs se renversent en dehors et les deux inférieurs en dedans.

Quant à la rupture des voûtes par glissement, c'est un fait très rare, pour ainsi dire exceptionnel; il ne peut guère se produire que dans le cas de voûtes excessivement surbaissées. Telles sont les données de l'expérience, et on peut les accepter comme conformes iï la réalité, pourvu cependant que le décintreiniMit de la voûle soit fait avec une assez grande lenteur, car autremeni les points matériels acquerraient de la viiesse peiulani celte opération, les forces d'inertie pourraient prendre des intensités plus ou moins considérables, et d'autres dislocations pourraient on être la conséquence.

Considérons maintenant une voûte du premier genre (non en ogive) et supposons remplies les conditions (4) et (9]; en appliquant alors en Eo une poussée comprise entre les valeui^

de — - et de max. — ï la rupture par rotation ci>dessus indi-

Zi r

STABILITË D£S AIAÇONNEIUKS ; POUSSIVE DES TEURES. 6l3

quée ne pourra se produire par raclion de celle force, car elle n'aura pasTintensilé nécessaire pour faire tourner aulour de E, el sera ccpendanl suffisanie pour empêcher la rolalion aulour d'une généralrice quelconque d'inlrados. D'autre pari, la poussée doit avoir une valeur intermédiaire entre les deux membres de l'inégalité (9); mais, en raison de ce qui a éié dit sur la rareté de la rupture par glissement el aussi parce que nous ne voulons pas faire une élude approfondie et complète de l'ancienne méthode, nous admellrons que cette seconde condition se trouve vérifiée d'elle-même, dans les circonstances ordinaires, par celte seule raison qu'on a satisfait à la première. Dès lors nous pouvons conclure, par la simple vérification de l'inégalité (/{■, <inc l'équilibre de la voûte est possible el qu'il se produira etreciivemcnt, s'il se développe, par une cause quelrouque, une poussée de grandeur convenable, appliquée en E©. A la vérité, celle poussée n'existe pas encore quand la voûte est sur son cintre; mais, pendant le décintremeni, les deux monolithes qui se terminent en Eolo tendent à tomber intérieurement et à pénétrer l'un d ins l'autre. De là naît une action mutuelle ou poussée rapidement croissante, en vertu de la qualité physique désii^née par le nom iï impénétrabilité ; quand celle poussée atteint !a grandeur convenable pour l'équilibre, le système reste dans la position qu'il a prise, pourvu que la lenteur du décintremeni n'ait pas permis aux points matériels d'acquérir de la vitesse.

En revenant à la démonstration de l'inégalité (4), que les considérations ci-dessus tendent à présenter comme étant à peu près la seule condition d'équilibre d'une voûte non en ogive, on voit que l'inégalité peut se changer en égalité; mais il faut pour cela qu'il en soit de même des inégalités (i), (2) el (3), ce qui exige que A' soit nul. xVlors l'équilibre ne peut

exister qu'avec une seule poussée d'intensité --' ? appliquée

en E,, et serait détruit par un changement quelconque apporté soit à cette force, soit à son point d'application; à ce point de vue, on dit que l'équilibre est inbiable. Au contraire, si les deux membres de l'inégalité (4) diffèrent l'un de Tauire, il y aura d'abord une certaine laiiiude pour choisir la grandeur de

(>l4 CHAPITRE DIXIËHB.

la poussée, qui pourra rarier entre - ^- el max. — '5 ensuile

il n*esl plus nécessaire de supposer k=ro^ en sorte que le poiiit d'application et Tintensité de la poussée peuvent tous doux so mouvoir entre certaines limites sans que l'équilibre cesse d'exister; on dit alors que l'équilibre est stable. Il est naturel d'admettre qu'il l'est d'autant plus que le premier membre de Tinégalilé est plus au-dessus du second; le rapport du premier membre au second a été nommé, par les auteurs de celte théorie el autres théories analogues, coefficient de stabilité. Suivant le plus ou moins de hardiesse qu'on voulait donner à la consiruciion, on prenait ce coefûcient ,.5437

4^24 Nous n'examinerons pas le cas de voûtes en ogive. Il se

trailerail d'une manière sertiblable; seulement l'inégalité (8)

remplacerait l'inégalité (4).

On voit de suite que celle méthode, dont nous n'avons voulu

présenter qu'un exposé sommaire, donne lieu à une grave

objection : c'est qu'on n'y tient pas compte de la résistance

des pierres à la compression, laquelle varie cependant énop-

mément, même pourdes matériauxde densités peu différentes.

On faisait la vérification des conditions d'équilibre comme si

l'on avait eu des matériaux de résistance illimitée, sauf à faire

entrer vaguement en ligne de compte la possibilité de l'écra-

sement, par le choix, toujours assez arbitraire, d'un coefûcient

de stabilité.

187. Théorie de M, Méry\ — M. Méry, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, s'est placé à un point de vue plus rationnel dans un Mémoire publié en 1840 ('), dont nous allons faire connaître les parties les plus essentielles. Supposons une voûte en équilibre sous l'action de poids appliqués à ses diverses parties; il existe alors une poussée Q à la clef, horizontale dans l'hypothèse d'une disposition symétrique de la voûte et de ses poids. En composant cette poussée successivement avec les divers poids agissant d'un côté de la clef.

(') Annales îles Ponts et Chaussées^ i8'|0, i" semestre.

STABILITÉ DES MAÇONNBRIBS; POUSSÉE DES TERRES. 6l5

on obtient une certaine courbe des pressions (n^'TS) sur la construction de laquelle nous reviendrons bientôt. Si la résistance des matériaux était illimitée, chaque résultante partielle» égale à la pression totale sur un joint déterminé, devrait seulement remplir deux conditions : i** couper le joint correspondant sous un angle au moins égal au complément de Tangle du frottement entre les pierres; 2° passer à Tinlérieur du joint. Mais, dans l'hypothèse d'une résistance limitée, cela ne sufQtplus; il faut encore y ajouter cette troisième condition, que la pression rapportée à Tunité de surface , en un point quelconque du joint, aura un maximum tout au plus égal à une certaine limite R' indiquée par Texpérience et variable suivant la nature des matériaux employés.

Celle dernière condition peut se transformer en une autre de forme différente, mais équivalente au fond. Soit BD [fg^^i] la surface 'C- 91-

rectangulaire d'un joint quelconque désigné par El dans la coupe transversale que représente la Jîg. 98; nommons

N la composante normale de la résultante qui presse sur le

joint et qui est appliquée en un point H de la médiane El

du rectangle; Q l'aire de BD; a: la distance GH, prise en valeur absolue, entre le point H

et le centre G du rectangle; / la longueur El du joint; p la plus grande pression par unité de surface dans toute

rétendue de BD.

On sait que p s'exprime en fonction de rr et de v par

deux formules différentes (n** 63), suivant la position du centre de pression H sur la droite El, savoir

(10) /? = T^ ( iH — ^ j quand -. est compris entre o et j.t

(11) p = quand -7 varie de 7: à -;

6l6 GHAPITBB DIXlfcHB.

N liN

la première de ces formules donne p compris entre rr et — ^ >

la seconde entre — - et 00 . Réciproquement, Jes deux mêmes

formules font connaître y et, par suite, ie centre de pression H, en fonction de p et de N, pour un rectangle donné BD. Supposons qu'on veuille avoir, par exemple, ^=:R'; si R'

N sîN tombe entre 7^ et -tt-» on tirera de (10)

2N et, si R' dépasse --p? on aura, en vertu de (11),

/"" Sr" SK'ii

Prenons ensuite iie = G/ = la valeur de x ainsi calculée, par celle dos deux formules (10) et (11) qui est applicable dans le cas particulier où nous sommes; nous saurons que la résultante dont N est la composante normale produirait un maximum de pression égal à la limite R', si on la faisait agir en e ou en /; transportée en tout point intermédiaire, elle produirait une pression maximum plus petite, parce que ce

transport aurait diminué jy quantité dont p est une fonction

croissante.

Le lieu des points e et le lieu des points i, quand la position du joint El varie, ont reçu de M. Méry le nom de courbes limiiatives. Chaque courbe des pressions comporte évidemment un système correspondant de deux courbes limitatives. L'emploi de ces courbes permet d'énoncer la troisième condition en disant que la courbe des pressions ne doit sortir nulle part de l'intervalle compris entre les deux courbes limitatives correspondantes. Cette condition comprend la seconde des deux qu'on a indiquées ci-dessus; il suffit donc de lui adjoindre la première, qui exprime l'impossibilité du glissement sur un joint quelconque et qui, suivant ce que nous

avons dit précédemment, se trouve presque toujours vérifiée d'elle-même dans la pratique.

On a vu aussi (n** 186) que, moyennant l'emploi de précautions convenables pendant le docintrement, la possibilité de réquilibre-d'une voûte permet de présumer, par une induelion très-plausible, sa réalisation effective. La constatation de cette possibilité, ou, si l'on veut, le critérium d'après lequel on décidera si les conditions nécessaires de l'équilibre sont satisfaites, ne consiste plus maintenant que dans la recherche d'une courbe des pressions ne sortant pas de l'intervalle entre les courbes limitatives et coupant tous les joints sous un angle supérieur au complément de l'angle du frottement. Si l'on réussit à tracer une pareille courbe, l'équilibre existerait en la supposant réalisée; l'équilibre est donc possible : donc il aura effectivement lieu. La voûte étant supposée stable, il faut donc qu'on puisse construire une courbe des pressions dans les conditions ci-dessus énoncées; ce n'est là qu'une affaire de tâtonnement, et au moyen des remarques suivantes M. Méry arrive, dans les cas les plus ordinaires, assez rapidement au but.

Pour définir une courbe des pressions, au lieu de se donner en grandeur et en position la poussée à la clef, on peut se donner deux points de la courbe; le moment de la poussée à la clef, relativement h chacun de ces deux points, devant êire le même que celui de poids connus, on aurait par là deux égalités d'où l'on déduirait sans peine les éléments qu'on se donnait primitivement. La chose devient encore plus simple quand l'un des deux points est justement le point d'application de la poussée à la clef. Soient en effet C ce point

{J^S'9^) ^^ ^ "^ autre centre de pression donné sur un joint quelconque El; soit P le poids résultant de la partie EoIoIË- L'intersection A de ce poids avec l'horizontale du point C donne un point de la résultante S agissant en B sur le joint El; cette résultante est donc dirigée suivant AB. Connaissant

la direction de la résultante et l'intensité P de l'une des composantes, il est facile d'avoir l'autre composante Q : on pren-

6l8 CHAPITRE DlXlftMB.

dra AK = P sur la verticale du point A, et par K on mèaera une horizontale KD jusqu'à la rencontre de AB. On aura ainsi Q = KD et 8=:^ AD: la connaissance de la poussée Q et de son point d'application C suffit maintenant pour construire une résultante quelconque autre que S.

En second lieu, M. Méry fait observer que l'expérience, en nous fournissant des indications assez nettes sur la manière dont les voûtes tendent à se détruire (n** 186), nous fait par là même connaître approximativement deux points de la courbe des pressions. En nous bornant au cas des voûtes non en ogive, l'un se trouve près de Texirados à la clef, l'autre près de l'intrados sur le joint de rupture, c'est-à-dire aux naissances pour les voûtes en arc de cercle assez fortement surbaissées, ou sur le joint faisant un angle de 3o'* avec l'horizontale, quand il y en a un. On essayera donc d'abord une courbe des pressions passant par deux points qui coïncident approximativement avec ceux-là : la distance E»C CAg". 9^) ne pouvant décroître jusqu'à zéro sans amener l'écrasement de la pierre, on placera C au tiers de EoI« à partir de l'extrados E», et de même sur le joint de rupture on prendra un point situé au tiers du joint à partir de l'intrados. La courbe des pressions passant par ces deux points remplit souvent les conditions voulues si la voûte est effectivement stable, ou bien on parvient à les remplir après un petit nombre d'essais, dans lesquels on modifie quelque peu les données du premier. Il est à remarquer que dans ces divers essais les pressions résultantes sur les joints successifs ne changent pas beaucoup, et, par conséquent, il en est de même des courbes limitatives, que dès lors on peut en général se bornera tracer une fois pour toutes.

Mais ici se présente une objection assez sérieuse : quand un essai a réussi, on peut tenir la voûte pour stable; mais la non-réussite ne démontre pas l'instabilité, car, aprè$ un nombre quelconque d'essais infructueux, rien ne permet d'affirmer que l'essai suivant ne serait pas, au contmirCi couronné de succès. Lors donc qu'on aurait une voûte en réalité non stable, on ne saurait où s'arrêter dans ces essais consécutifs, et l'on n'en pourrait tirer, tout au plus, qu'une présomption d'instabilité. Il y a donc là une lacune dans la

méthode de M. Méry, lacune qif a signalée M. Alfred Durand- Claye, ingénieur des Ponis el Chaussées, et qu'il a fait disparaître. Nous allons maintenant analyser brièvement le Mémoire de cet auteur (').

188. Théorie de M. Alfred Durand-Claye, — Considérons une partie de voûte EoIoIE [Jig. 96) commençant à la clef et

Fig. 96.

Ti P >• 5i E«

se terminant au joint arbitraire El, et soit P son poids résultant. Si l'on cherchait d'abord toutes les poussées compatibles avec l'équilibre de celte partie considérée comme monolithe, et dans la supposition de matériaux indéfiniment résistants, on se donnerait un point quelconque C sur le joint de clef, puis on mènerait par ce point l'horizontale CA coupant en A la verticale P. La pression résultante sur El devrait passer en A et par un point entre E et I; sa position pourrait donc varier entre AE el AI, pourvu cependant que ces deux lignes fissent avec la normale à El un angle non supérieur à l'angle du frottement, ce que nous supposerons réalisé; dans le cas contraire, il serait facile d'exclure les lignes ne remplissant pas cette

(*) Annales des Ponts et C haussées , 18C7, ^"^ semestre.

GHAPITRB DIXIËHB.

condition. £n prenant AP =r P et menant rhorizontale PQ, ses intersections 0 el Q avec AE et Al donnent les intensités PO et PQ des poussées correspondantes; si donc on porte sur le prolongement de AC les ordonnées iJy^PQ,

Co^Pu, la poussée appliquée en C pourra être représentée par l'ordonnée de tout point enire y et ô, sans que la pression résultante sur El cesse de remplir les conditions voulues pour réquilibre de la |)artîe EoIoIE. En faisant varier le point C entre E» et lo, y5 varierait entre y,^i et ya5,; l'aire mixtiligne yi-^.Ojy, serait donc le lieu des extrémités des ordonnées portées depuis Eolo comme axe, pour représenter toutes les poussées admissibles. Il faudrait ensuite répéter la construction d'un quadrilatère analogue, en remplaçant El par une série de joints suffisamment rapprochés les uns des autres et occupant toutes les positions possibles; la condition d'équilibre consisterait alors en ce que les surfaces de tous ces quadrilatères devraient avoir une portion commune- Mais la considération de la limite imposée au maximum

de pression par unité de surface, sur un joint (juelconque, va nous faire modifier tous ces quadrilatères et ■^ nous obliger à les remplacer par des surfaces beaucoup plus petites.

Pour le montrer, rappelons d'abord que la pression maximum sur un joint BD {Jig, 97 ) quand la composante normale N de la force résultante sur ce joint varie de position, et que le centre de pression se déplace sur la médiane El, est donnée par les formules (10) et (11) du n"" 186. Quand on se donne un centre de pression H défini par sa

distance GU =^ x au milieu G de El, on peut avec ces formules calculer la force normale N qui devrait agir en H pour produire un maximum de pression égal à la limite 11' qu'on ne doit pas dépasser. On peut aussi représenter cette force par une ordonnée ULI=7', dont les

FÎR. 97-

formules (lo) et (ii) fournissent les valeurs en fonction de x, savoir (n** 186)

IV iî a: ^i

3 ' "y, ûc\ X I I

y - -j R'i2 il y- I pour -j compris entre -r. et -•

Comme on le voit par ces équations, l'ordonnée centrale GN

serait égale à R'û; Tordonnée LV, répondant à -^^^j serait

moitié moindre; l'arc de courbe NV serait une portion d'hyperbole, et cet arc se continuerait par la droite VI. De l'autre côté de G il faudrait construire une figure symétrique de NVI, puisque la distance x doit se prendre en valeur absolue. Enfin on peut ajouter que NV se raccorde tangenliellement en V aNoc la droite VI et que la tangente en N passe par le point L; de même l'arc symétrique NT est tangent à TE et à NK. Le contour ETNVl étant ainsi construit, on constate que toute force appliquée en un point de El produira sur le joint une pression maximum atteignant au plus la limite U', pourvu que l'extrémité de sa composante normale, portée en ordonnée sur El, ne sorte pas du contour dont 11 s'agit. Cette condition est nécessaire et suffisante.

Maintenant, à chaque poussée Q agissant sur EoU [fi^* sP] et ayant son extrémité dans l'aire y.OiOr/a l'épond, sur le joint El, une force résultante qu'on peut facilement construire en composant Q avec P, et dont on portera la composante normale N en ordonnée à partir du centre de pression correspondant. On obtiendra ainsi une aire mixtiligne /.o'jo'j/.,, dans laquelle tombera nécessairement l'extrémité de N si l'équilibre existe avec l'hypothèse d'une résistance illimitée. Mais, eu égard à la limite 11' imposée au maximum de pression par unité de surface, il faut aussi que l'extrémité de celte con»posante normale N tombe dans une autre aire EN'l, construite comme on vient de l'expliquer. Donc l'extrémité ne pourra se trouver que sur l'aire ombrée p' r' s' q' , commune aux deux aires précédentes.

De cette manière on n'a encore tenu compte de la limite

6l^ CHAPITRE DIXIÈME.

des pressions que pour Tun des deux joints auxquels se termine la portion de voûie considérée. Le joint E«I, est assujetti, aussi bien que £1, à n'avoir nulle part une pression supérieure h R', et, par conséquent, l'extrémité de l'ordonnée représentative (le la poussée doit se trouver dans un contour EoNIo construit de la même manière que EN'I. D'autre part, nous ne pouvons conserver de l'aire yiôi^ay» que la partie prsq (dont nous allons bientôt indiquer la construction}, à laquelle répondent, pour le joint El, des composantes normales N ayant leur extrémité dans p' r's'q'. Donc l'extrémité de la poussée doit être dans l'aire ombrée iuwv, commune à prsq et à E^NIo. On pourrait encore, mais sans beaucoup d'utilité, chercher la portion de p' r' s' q' (\\x\ répond à tuwv.

La recherche qui vient d'être faite pour un joint El doit être répétée en faisant varier, par degrés suffisamment rapprochés, la position de ce joint, et conduira dans chaque cas n trouver une aire telle que iuwvy dans l'intérieur de laquelle devra tomber l'extrémité de la poussée. L'équilibre de la voûte ne sera donc possible, avec des pressions ne dépassant pas U', que si toutes ces aires analogues à tuwv ont une partie commune : si cette partie se réduit à un point, l'équilibre dans les conditions voulues ne se réaliserait qu'avec une courbe des pressions déterminée et unique, et serait dès lors instable, suivant Texpression reçue; si elle a des dimensions finies, son étendue représentera, d'une manière sensible, en quelque sorte l'amplitude de la stabilité.

Il ne nous reste plus qu'à expliquer comment on revient de l'aire /;'r' 5' g' à l'aire /?r5ç, ou en d'autres termes comment, étant donnée la composante normale aS' = N [fig^ 98) d'une résultante agissant en a sur le joint El, on peut trouver la poussée S correspondante et son point d'application «#. Pour cela remarquons que, si par le point S' on mène S'T' parallèle à El, l'extrémité de la force qui a N pour composante normale se trouve sur cette ligne. Mais, en prenant la vertiralc aP' égale au poids P de EoIqIE, l'extrémité de la même force doit être aussi sur l'horizontale du point P', car cette force est la résultante de P et de S. Par suite, l'extrémité sera T', point de rencontre deS'T'etde P'T'; la force sera «T, ligne dont le prolongement doit passer par le point de con-

cours M de S et de P. Cela fait connaîire un point de l'horizontale SM et par conséquent ««; d'ailleurs la poussée S est

Fig. 98.

égale à P'ï'. Le problème est donc résolu ; la solution devient encore un peu plus simple quand on connaît d'avance l'horizontale «oM correspondant à aS'.

189. Détails d'application de la méthode Méry\ — Soit donnée une voûte ayant pour demi-profil EûIoI«E„ [Ji^, 99); on la divise en voussoirs fictifs, tels que EITE', généralement en nombre moindre que les voussoirs réels. Cette voûte porte une surcharge dont la ligne AoB représente le profil supérieur; dans l'impossibilité de savoir exactement comment elle se répartit, on a l'habitude de supposer que chaque voussoir est chargé de la partie située verticalement au-dessus de son extrados : ainsi le voussoir EU' E', par exemple, supporte la partie dont AEE'A' est le profil. Nommons maintenant II el n' les poids de la maçonnerie et de la surcharge sous l'unité de volume; en considérant une tranche de la voûte dont l'épaisseur serait l'unité dans le sens perpendiculaire à la figure, les poids du voussoir EII'E' et de sa surcharge auront pour valeurs respectives

n X surf. EUE', n' X surf. AEE A'.

Afin d'éviter l'emploi de deux multiplicateurs différents II et n', on peut réduire toutes les ordonnées analogues à AE

dans le rapport -^? ce qui transforme le profil de la surcharge

t\y^ CHàPlTRB DIXlfcMB.

t\\^;!.^ V V,en une Iii:îiea,rt,;alors le poids II' Xsurf.AEE'A'

>\- j v',î v\ta*-^o jMrûoUe porlée par le voussoir dont il s'agit v.^ V \.'.a.v LMr le jHMds égal II X surf. aEE'a'.Le calcul des

Fie- 99-

poids des divers voussoirs et de leurs surcharges se trouve ainsi ramené à la mesure de surfaces proportionnelles à ces poids; on emploiera pour celle mesure les moyens connus, el nous n'avons rien de parliculier à en dire.

Après avoir dcierminé le poids d'un voussoir, il faul connaître son poini d'apj)licalion, et pour cela on est conduil à délerminer le cenire de gravilé d'un quadrilatère, car il esl permis de confondre approximativement les arcs EE', 11' avec des lignes droites. Voici une construction qui permet de l'oblenir très simplement. On divise le quadrilatère donné ABCD {Jig\ ioo)en deux triangles ABC, DAC; on joint B et D au

milieu de AC et l'on prend EF = :r EB, EG=-rED. Les pointsF

et G étant les centres de gravité des deux triangles ABC, DAC, le centre de gravité de leur ensemble est sur FG en un

STABILITÉ DES U AÇONNBRIES ; P008SÉB DBS TBRRES. 625

"jpT A HP

point L tel que le rapport --s^- soit Tinverse de Tr^ry* Or les . FL ABC

deux triangles ont même base AC et sont entre eux commo

les hauteurs, ou» ce qui revient au même, comme les segments DH et BH de la seconde diagonale. D*un autre côté,

ËF ËG

FG est parallèle à BD, parce que les rapports . — ? — T=r- sont

égaux; donc

GK I)H ADC FL FK ~" BH ~ ABC " gL

L'égalité des rapports ^-r et -^ montre que les points K

^ ^ JK GL ^ f

ot L divisent la droite FG de la même manière, et que par conséquent on a GL==FK, ce qui fait connaître immédiatement la position du centre de gravité cherché L.

La même construction est applicable au quadrilatère a££' a', à moins qu'on n*aime mieux déterminer son centre de gravite en le considérant comme un trapèze. On peut ensuite composer en un seul poids résultant, par les moyens connus, les poids de EITE' et de aEE'«'.

Désignons par p^, p„ p^y . . .,pn la série de poids résultants ainsi obtenus en suivant les voussoirs successifs depuis la clef jusqu'aux naissances; chacun d'eux comprend le poids d'une partie de la voûte avec la surcharge qui lui correspond. Pour les opérations ultérieures que comporte la méthode Méry (ou celle de M. Durand-Claye), il faut pouvoir connaître, en intensité et en position, les diverses résultantes qu'on