I. 3« édit
GM.> CUàPITRB DlXlftHB.
obUondrait on composant un nombre quelconque k des poids ri-dossus dt^signôs, depuis /7i jusqu'à /?i. Pour les intensités, on oporora par additions successives :
/> , p -^ p.* Pi -r^ Pi-^ A^3» /?! -+-/?? -4- /?3-+-p«» . . -
<rroni los crandeurs des résultantes. Les positions des vertical rs suivant lesquelles elles agissent (seule chose qui reste a ronnaîir»* pour les définir d'une manière suffisante dans la h »orio dos voûtes)* se déterminent ensuite au moyen des Mr.prioit^s du polygone funiculaire, dont nous avons déjà fiait iKflco Jiiix n'' 29 et 73. On portera sur une même verticale les j trn^iios/>,, /^jf p3, . . -, et l'on joindra les points de séparaion o, I. 2, 3, ... à un même point 0 arbitrairement choisi .ians It» plan; prenant ensuite un point quelconque p sur la vorticide de /?i, on mènera par ce point (3a et (3y respective* nont parallèles à Oo et Oi ; par le point y de rencontre de py ,ivoo pu on mènera yo parallèle à O2 jusqu'à la rencontre 0 M^c p%; par 6 on mènera oe parallèle à 03, et ainsi de suite .isqu'à ce qu*on ait trace la parallèle yl à 08 par un point 7 pris sur la dernière résultante partielle p^. On aura dessiné de ,vtie manière un polygone funiculaire a^yS. . .y}., qui sera eh < quilibre sous les poids /?,, p^, p^, . . ., p^f pourvu qu'on fixe x\\\ point sur chacun des côtés extrêmes aj3 et x^t car il esi («vident qu'on a satisfait aux conditions que la construction »1(» Varignon a pour but de vérifier. Cela étant, une portion quelconque a^yà^ix du polygone doit être en équilibre sous l'action des poids /?,, /?„ pa, p* et des tensions qui ont lieu suivant (3a et efx; donc ces deux dernières lignes doivent se couper sur la résultante des poids p,, d„ p,, p^ puisqu'il faut que celte résultante soit égale et directement opposée à celle des deux tensions. Ainsi donc, en prolongeant la ligne Çc jus- (|U*à son intersection avec a|3 prolongée, la verticale du point de rencontre sera celle d'une des résultantes demandées; les autres se trouveraient de la même manière. Ce procédé a été indiqué par le capitaine Michon. On pourrait facilement aussi adapter à la construction d'une des courbes des pressions, dans le cas actuel, le procédé graphique indiqué au n"73 pour un cas un peu différent: au lieu de composer une force Ro, exercée sur une pièce par l'un des
appuis, successivemenl avec des forces de direction quelconque F,, F,, F3, ... [Jig. 5o, p. 5'99), on aurait à composer la poussée Q à la clef avec les poids /?,, /?„ /?„ ... ci-dessus considérés; mais au fond ce serait toujours le même problème, qu'on résoudrait par le même moyen.
§ m. — Poussée des terres; stabilité des murs de soutènement
et de réservoir (').'
190. Hypothèse sur le frottement et la cohésion des terres, — Un massif de terre étant soutenu par un mur, la théorie de la poussée des terres a pour objet de déterminer la pression totale que supporte la face postérieure du mur et la loi de la répartition des forces élémentaires dont cette pression totale est la résultante. C'est la seconde des deux théories que nous avons annoncées au n° 184, et que nous donnons comme exemple des moyens par lesquels on trouve les forces a priori inconnues qui agissent sur une maçonnerie donnée.
La solution du problème dont il s'agit dépend des hypothèses qu'on peut faire relativement à la loi des actions mutuelles qui se développent entre les molécules de terre, lorsqu'elles glissent ou sont sur le point de glisser les unes sur les autres. Supposons d'abord des terres fraîchement remuées et à peu près réduites en poussière; on observe alors qu'elles prennent naturellement un certain talus ou une inclinaison relativement au plan horizontal, et que sous celle forme elles restent en équilibre. Les molécules situées à la surface libre du talus se trouvent sollicitées à glisser par la composante tangentielle de la pesanteur; si donc elles n'obéissent pas à cette action malgré leur mobilité, c'est parce qu'elles éprouvent une résistance égale et contraire ou un frottement de la part des molécules voisines. Mais l'existence du frottement ne suffit pas pour expliquer tous les faits; on ne saurait, par exemple, expliquer ainsi comment ceriaincs terres
(') Le commencement de ce paragraphe, jusqu'au n" lî)7 inclusivement, est extrait, sans changoment bien sensible, du Cours lithographie de Bélanger, professé à l'École des Ponts et Chaussées pendant la session iS/fS-iS^Q.
peuvent se maintenir suivant des talus à pic, car il faudrait supposer au coefficient de frottement une valeur infinie. On lève cette difflculté en considérant les terres comme possédant à un certain degré la cohésion qui appartient aux corps solides et notamment la résistance au glissement transversal simple.
D'après ces considérations, il semble qu'on peut admettre l'hypothèse énoncée par Coulomb, d'après laquelle la force opposée au glissement mutuel de deux portions d'un massif de terre sur un plan commun se compose de deux termes : i" le frottement proportionnel à la pression normale, comme dans le glissement de deux solides l'un sur l'autre; a^la cobésioD indépendante de la pression normale, mais ayant une valeur déterminée par unité de surface, ce qui veut dire qu'elle est proportionnelle à la surface de séparation.
Cette loi peut être vériûée et les coefTicients de frottement ou de cohésion déterminés, pour chaque espèce de terre, par l'expérience, au moyen (les formules fournies par la théorie dans les questions ci-après.
191. Premier problème. — Un massif, dont la surface supérieure est dans un plan horizontal ÂB {fi^, loi), est terminé latéralement par ne
plan ÂC. Il s'agit de déterminer Tangle le plus petit que le talus ÂC puisse faire avec
T -y — la verticale sans qu'il se produise aucune
/ y^ disjonction dans le massif.
/ y^ Soient
fy^ h la hauteur donnée CD;
^ a l'angle cherché de AC avec la verti-
cale CD; II le poids de l'unité de volume du massif; / le coeflQcient de frottement des terres composant le massif; 7 la cohésion, par unité de surface, entre les mômes terres.
Imaginons par l'horizontale C un plan CB, faisant avec la verticale l'angle BCD = ^ et séparant du massif un prisme dont le poids par unité
de longueur est représenté par P = -n/i'(tangS— tanga). Ce prisme
est en équilibre sous l'action de la pesanteur et des réactions qu'exerce sur lui la partie du massif inférieure au plan CB. Soit N la somme des composantes normales de ces réactions et soit F la somme de leurs composantes parallèles au plan dans le sensCB. On a, en vertu de Téquilibre,
N=Psinp et F = Pcosp.
Cette force F ne peut pas dépasser une certaine intensité, qui a lieu seulement lorsque le glissement est sur le point de nattre. Dans tout autre cas de repos ou d'équilibre, la force F est inférieure à cette intensité, laquelle est composée de deux parties, Tune/N constituant le frottement, l'autre 7. CB exprimant la cohésion. On a ainsi la condition
ou encore
F</N-^v.CB
Pcosfi^/PsinSH-v— ^^^,
P(i -/tang[^) ^7/2(1 H- tang'p).
Cette inégalité serait évidemment satisfaite si l'on prenait tangP = tanga (parce qu'alors P serait nul) ou tangj3 > 7;; la dernière valeur de tangf»
rendrait l'inclinaison de CB sur l'horizontale moindre que l'angle dufrollement des terres sur elles-mêmes, et alors le frottement deviendrait à lui seul suffisant pour empêcher le glissement, sans que la cohésion eût besoin d'être mise en jeu. L'inégalité dont il s'agit ne peut donc conduire à une condition quelconque pour a que si l'on y fait varier tangP entre
tanga et 7; par suite, on peut en diviser les deux membres par le fac-
teur positif i—flangp, et alors, en y substituant la valeur ci-dessus
de P, on trouve
, 9.7 I -+- tanc"(^
^ ^* U/i I — /tangf:i
L'inégalité doit être vérifiée, si l'équilibre existe, pour toute valeur attribuée à tangj3 entre les deux limites qu'on vient d'indiquer; donc la plus petite valeur admissible pour tanga sera le maximum par lequel passe le second membre lorsque tangj3 varie entre ces limites. Pour obtenir commodément ce maximum, posons
1 — / tang p — .r et — —a:
la fonction dont il faut chercher la plus grande valeur est
I — .r 1 /--h fi — .r)*
Cette expression ne comprend comme partie variable que les deux termes soustractifs (i -^fa)x et (i -+-/') -) comme leur produit est constant;
63o CHAPITIB DUlfcSB.
leur somme sera minimum (et^ par suite, rexpreasion totale sera mum ) pour la valeur de x qui les rend égaux, c'est-à-dire pour
par la substitution de cette valeur on trouve la limite inférieure de tangx, savoir
( tanga =j -4- -—, [i - v^(T-Hi ') ir^7«)J
Telle est la valeur cherchée de tanga; elle dépend, comme on le voit, de la hauteur h.
La dernière équation, résolue par rapport à A, donnera la plus grande hauteur // sur laquelle le massif puisse se soutenir avec l'inclinaison a.
Pour une certaine valeur h' de /<, tangx est nulle; on a alors, en appelant a' la valeur correspondante de «,
d'où résultent
et, par suite.
Cette formule prend une forme plus élégante en y introduisant Tangle complémentaire de celui du frottement. Nommons, en effet, \ cet ang!e complémentaire; on aura/= cotX; d'où résultent
-f ^ '' sin^ Y
eus' À sin^).
COSÀ -f- I 2ros'7>
smA asin^Xcos^X tangjA
et, par suite,
Il tangjA
Pour des valeurs de h plus petites que h'^ tanga devient négative. En effet, en posant dans l'équation (i)
a Il/i
STABlLllls DES MAÇONNERIES; POUSSÉE DES TERMES.
et difiTérentiaDt par rapport à cette quantité, on aurait
/' f/ tan g a
dm
im
Fig. 102.
comme le second membre de cette équation est forcément négatif, il en résulte que Langa est une fonction décroissante de /w, c'est-à-dire une fonction croissante de h. Donc tanga, nulle pour h = h! ^ doit être négative pour h <Cà'. Mais la théorie précédente ne s'applique pas au cas où tanga est négative. Si le massif était profilé comme dans la ^g. 102, un prisme ACB tendrait à se détacher sans frottement et ne serait retenu que par une cohésion soumise à une loi différente de celle qui est exprimée dans l'analyse ci-dessus.
Les formules (i) et (2) peuvent servir à déterminer les constantes / et 7 qui conviennent à un certain terrain, au moyen de deux expériences dans lesquelles, en faisant croître //, on observerait les valeurs correspondantes de tanga. Un plus grand nombre d'expériences permettrait de vérifier les hypothèses qui servent de base à la théorie.
A mesure que h augmente, tanga approche de la limite 77 qui conviendrait à une hauteur quelconque si la cohésion disparaissait, comme dans le cas des terres fraîchement remuées. Ce résultat est conforme à la théorie connue du frottement ; on pouvait d'ailleurs le prévoir, parce que pour h = <x> le poids P et le frottement correspondant sont des infinis du second ordre, tandis que la cohésion, simplement proportionnelle à //, n'est qu'un infini du premier ordre, comparativement négligeable.
Fig. io3.
192. Deuxième problème. — Un massif d'une nature déterminée poui>ant se tenir à pic de A en B [/îg. io3) sur une hauteur li , on demande quelle est la courbe BM du profil inférieur que ce terrain doit avoir pour être a la limite de stabilité en tout point compris entre B et M.
Soit MC un plan incliné quelconque faisant avec la verticale l'angle CMD = p; soit la
hauteur MD — y\ soit enfin P le poids du prisme mixtiligne ABMC.
L'équilibre de ce prisme exige, comme dans le cas précédent, qu'on ait
(3) P(i-/tangp) 57/(1 +tang-'3).
Pour exprimer simplement le poids P, menons par M une droite tellement inclinée, que Taire du triangle MEC soit égale à celle de ABMC ou
^3 GHÀPITIE BIXlftMB*
ijue Taire DME soit égale à DMBA. Nommant a l'angle EMD, nous aurons
Tir* P - -f- ' tangp — tanga)
et, en substituant dans (3),
tanga > tang6 — - ■ ^. ^ ,-
II j 1— yiangfi
La tan^^ente de Tangle a doit encore ici égaler le maximum du second
Ur
membre; d'où Ton conclut, en faisant, pour abréger, -^ = a,
, i ) tanga = j^ ^^jr^[ I - \/(i-hf^: (i -^ffT) j.
Maintenant, pour trouver l'équation de la courbe BM, soient AD = x et
DE — z, on a tanga = - et
(5) ^^=fydx;
posons encore a = by en désignant par b la constante — ^ j réquation ( 4 ) deviendra
(6) ^- fV^v,v/(,:rr)(i:r>7)^
Des équations (5) et (6), par l'élimination dez, on conclut l'équation différentielle de la courbe BM :
Cette équation s'intègre facilement en remarquant que le lenne
; — - dy peut, si Ton fait i ->rfbx=u^^ être remplacé par
OLU^du , du du
ou ldu-{ ;
U^- ï U — \ U -hl
quantité dont l'intégrale est
'2 u -h log hyp •
Par suite, l'intégration est immédiate, et Ton peut écrire Téquation
cherchée
•^ =- ^ -^- jr^ iog hyp j - -^^-jr~ yJ^-^i h
La plus petite valeur qu'on puisse assigner à j est h\ qui répond à tanga = G, et dont l'expression est
Pour jr = h\ on trouve d'abord
on en conclut, au moyen de l'équation (7),
ou, en réduisant au même dénominateur les termes du second membre et simplifiant,
~4~ 27yWi-^7v''
La tangente de l'angle fait en B avec l'horizon, par la courbe BE, est donc
résultat remarquable en ce qu'il ne dépend plus de li\ ni, par conséquent, du coefficient de la cohésion.
193. Détermination de la poussée totale d'un massif de terre dans un cas particulier, — Un massif de terre s'appuyant sur la face postérieure AB d'un mur (Jig, io4) et ayant sur une longueur indéfinie le profil quelconque mais constant BCDEFG, on imagine le plan AX et l'on demande quelle serait, par unité de longueur, la résultante des forces qu'exercerait sur le massif la paroi AB du mur, à l'instant où le prisme serait sur le point de glisser en descendant le long du plan AX qui resterait fixe, et le long du plan AB qui reculerait sans descendre.
La réaction de la partie du massif inférieure au plan AX, sur le prisme, résulte d'une multitude de forces élémentaires qui peuvent se réduire à trois équivalentes, savoir : une pression
634 CBAPITBB DDUfcMB.
normale N; une force tangenlielle analogue au simple froltemcni, proportionnelle à N el représentée par/N; enfin une forro égalomenl parallèle au plan, appelée cohésion, proportionnollo à la surface AX et que nous représenterons, en conséquence, par cÇ, en fai>ânt A\ =r ^ et désignant par c la roliésicm rapportée à Tuniif* «i*^ surface.
La réaction totale du mur sur le prisme peut également se réduire a trois forces : une pression normale Q, un frottement f'Q et une 'V^hesiou ou adhérence C'A. Nous désignons par^ le coefficient Je frottement du mur contre les terres, par c' Tadhéren V rapportée à Tunité de surface le long du mur dont la dimen>ioQ VK e!>t représentée par A.
Enfin le prt:>me est sollicité par la pesanteur. Représentons son poui> par P.
Le> forces iiue nous venons d'indiquer satisfont aux condilions d ojmlibre, dont l'une est que leur résultante de translation soii nulle. Transportons ces forces en un point quelconque, par exemple en un point de la droite AX, el écrivons que les sommes de leurs projections parallèlement el perpendfculair\Muentà V\ sont nulles; nous aurons, en faisant Tangle ^ rhoriton XAL x et BAX — j3,
f\ rsinjK r Qsin;3 -f-/'Qcos(3-+- c'Acos(3-i-c$ = o, N Poosa — Qcos? -f-/'Qsin|3-+-c'Asinp=:o,
doiV eu eluuimuu N,
P^siujt fcosg) — c7i(cosP — /sinP) ~ c£ ^ Mnp-+-/cosp V/'(cos|^— /sinfi)
STABILITÉ DBS MAÇONNBRIEB ; POUSSÊK DBS TERRES. 635
Celle formule se simplifie en remplaçam/par - , ei/'
par — f-^ c esi-a-dire en représenlani par <p el 9 les angles
de frotlemeni des lerres sur elles-mêmes el conire le mur. On obiienl successivement
^ P sin {a — o) — c'h cos((3 -h 9) — c^C(>S9
"~ sin(|Î5 -I- 9j -T-/' cos(p -i- 9J
,j^v Q Psinfa — 9)— r'Aros((3 -l- 9I — c^ COS9 eos9' siii (p -+- 9 -h 9' j
La force , résullanie de Q el de f'Q éianl ainsi con-
nue, en la composanl avec c'h, on aurail riniensilé de la
résullanie totale demandée.
194. Détermination du plan de rupture et de la poussée totale en négligeant la cohésion. — Le plan AX indiqué dans renoncé précédent esl considéré comme variable; il s'agil de délerminer la position de ce plan à laquelle correspond le
maximum de la force , ? eu égard aux frotiemenis, el en
supposant qu'on néglige la cohésion des terres et leur adhérence au mur. On demande, en outre, la valeur correspondante de — ,> qui, dans ce cas, devient la réaction totale
du mur.
Le plan AX, déterminé par la condition que la réaction du mur nécessaire pour l'équilibre soit un maximum, s'appelle ordinairement/>/rt/i de rupture; comme Ta remarqué Coulomb, si la réaction du mur venait à être inférieure à riniensilé nécessaire et que la rupture du massif dût s'effectuer suivant un plan, ce serait en effet suivant celui-là qu'elle aurail lieu.
Il n'est pas certain que, dans la réalité, la force > ainsi
obtenue soil la valeur exacte de la réaction mutuelle du mur el ÛGë lerres, même en admettant comme une donnée la nullité du coefficient c'. Rien ne prouve en effet, quand l'équilibre existe, que le prisme BAX soil sur le point de glisser
r)3() CHàPlTBB DUlkHB*
on descendant; il pourrait être en équilibre stable ou encore il pourrait ôire sur le point de glisser en sens contraire, ce qui exigerait de la part du mur une réaction plus grande. La force ntavinium que nous voulons déterminer sera seulement une liniiie inférieure de la poussée des terres contre le mar, dans Tolat d'équilibre. Cependant il ne faut pas croire que cola doi>e probablement entraîner des conséquences dangereuses; si le mur est construit pour résister seulement à cette liniiio inférieure et qu*il y ait originairement une poussée plus forio, on peut admettre avec assez de vraisemblance »îu'un polit mouvement du mur se produira, par suite duquel naîtra dans le massif de terre la tendance à glisser en descenilant, et alors le système s'arrêtera dans l'état particulier d'équilibre que suppose notre calcul. Il n'y aura donc probablenuMîi pas de risque à courir lorsque le mur ne sera capable
nue d'une réaction égale seulement au maximum de ;•
Nous allons, en conséquence, procéder au calcul de cette force, et nous raisonnerons désormais comme si nous avions la rorlilude complète de sa réalisation.
D'après l'hypothèse, il faut, dans la formule (8), faire c = o, c' o; désignons par R la réaction totale du mur; la formule (8) se réduit à
iql -— R — P-- ^ - -— , •
fus 9' sm (,3 H- 9 -h <p )
On obtiendrait facilement et directement cette équation de
la manière suivante. Représentons dans la fig. io5 la force R faisant Tangle 9' avec la perpendiculaire à AB. Soit de même S la réaction du plan AX, résultante de N et de/N, et faisant Tangle 9 avec la perpendiculaire à AX. Les trois forces P, S, R, transportées en un même point, ont leur résultante nulle. Donc
on a
R sinfP, SI
V~^ sin(K, S)' Or l'angle (P, S) est, d'après la figure, supplémentde a — <Pf
et l'angle (R, S), augmenté de 9-4-9', devient supplément de j3; ainsi
(R,S) =ri8o«- p — 9-9' et sin(R,S):^sin{(3H-9-f-9'),
d'où l'on conclut la formule (9).
Il faut maintenant y mettre une expression du poids P du prisme dont la base est ABCDEX.
A cet effet, on déterminera sur le prolongement de EF [Jig. 106) un point K tel, que l'aire du triangle AKX soit égale
Fig. 106.
à celle du polygone ABCDEXA. Ce point K est indépendant de la position du point X, pourvu que ce dernier tombe entre E et F, puisqu'il suffit que le triangle AKE soit équivalent au polygone ABCDEA. On mènera de plus la ligne AT, perpendiculaire abaissée de A sur KX. En désignant par II le poids du mètre cube de terre, on a pour le poids du prisme AKX ayant i'" de longueur
Prz: in.AT.KX,
et la formule (9) devient
R^in.Âl'.KX -/;"(«- <?'-,,.
r*. sm(p -4- 9 -f- 9 )
Cela posé, voici comment Ponceict (•) détermine le point X qui donne à la pression R sa plus grande valeur. Le rapport
de sin(a — 9) à sin ( (3 4- 9 -f- 9' ) se remplace par celui de
(*) Mémoire sur la stabilité des revêtements et de leurs fondations ^ inséré au n' 13 du Mémorial de ÏOfficier du génie, 1840.
G38 CHAPITKB DIXIÈME.
deux droites de la figure; pour cela on mène AO faisani avec AB l'angle 9 4- 9', et, par conséquent, avec AX l'angle j3 j cp ^- ^'; on mène AM faisant avec Thorizontale AL l'angle 9, et consoquemment avec AX l'angle a — 9 ; puis on mène XX' parallèle à AM, de sorte que, dans le triangle AXX', l'angle A ^ 3 9 — 9' et l'angle X =: a — 9. On en conclut
sinfa — 9I AX'
si'n ( [3 4-9 -^? J ~ '^" '
01, jvK conséquent,
Rr^ -n.ATKX^
