OA OK OA
nicrs rapports se trouveront par la considération des triangles OKK', OKA. Le premier donne
OK' sinOKK' sin(cp-/) Ôk' " sinOK'K ~ cos^o' -i- 7)'
u!i déduit du second
OK sinOAK sin(o-r9') (J^ ~ si n OKA ~ sinAKM
«M, uliendu que AKM — AKN -f- / =k ()o" — 7 -^ /,
OK sin I o -I- o'
OA ^'^^J - y
Enfin l'angle OAM est le supplément de KK'A, d'où résulte
sinOAM -- cos o' -h y).
En substituant ces diverses valeurs dans Texpression (16) de H, on trouve
f ,, cos'i o — y' 1- Il i Il3'- -, \
eus
? "^"'/J ^ /s^in(9 — /) sin(9-hQ') | L ' V ^os(cp'-h7)cos(/ — y)J
Si Ton nomme x la projection verticale de z, on pourra
STABILITÉ DBS MAÇONNERIES; POUSSÉE DBS TERRBS. 649
remplacer z par : alors R se irouverait exprimé en fonc-
cosy ■
lion de la dislaace du poinl A à rhorizonlalc du poinl supérieur K.
La formule (17) convient même au cas particulier d'un liquide. On devrait faire alors
i rrz o, 90, 9' ^ o
et l'on aurait R - -Ilz'cosy, ce qui est bien d'accord avec
les formules de l'Hydrostatique. En effet, la dimension perpendiculaire à la figure ayant éié toujours prise égale à i dans tous les calculs de forces, depuis le n° 191, la surface pressée AK a pour valeur z\ la pression moyenne par unité de surface
est due à la hauteur -jcosy et a pour valeur - II::cosy; le
produit de ces deux quantités donne bien - Ils'cosy.
Supposons encore, comme exemple particulier, celui d'un sable sec, pour lequel on aurait
la formule 1 1*- 1 devient alors
1 „ ros' 3o" - V ! cosy
cosy
Dans le cas plus particulier où y serait nul, cette dernière expression donne
•2 \ I -i- sin3o"/ b
Avec un li«juide dont II serait le poids spécifique, on aurait euR---n2'; on voit donc combien peut devenir grande l'influence du frottement du sable sur lui-même, puisqu'elle réduit ici la poussée à - de celle qui se serait produite si ce frottement n'avait pas existé.
65o GBA1*ITRB DlXlfcm.
199. Stabilité d'un mur de soutènement ou d'un mur de réservoir. — Celle queslion esl une des applicalîons les plus simples des géiiéraliiés qu*on a exposées au n"" 185. Supposons d'abord qu'il s'agisse d*un mur de soulènemenl. Soienl ABCD [fig. 1 13) le profil iransversal du mur» el BE celui du
lerrjîn. On déterminera, soil par la mé- '^^ff- **-^- ihode géométrique du n" 194, soil par le
l calcul du n** 198, la poussée résulianle
des lerres sur la face BD du mur; cell'.*
force aura son poinl d'applicalion aux -
de Bl) à partir de B (n* 196), ei sa direction fera avec celle de la normale à BD un angle égal à Tangle <p' du froliement des lerres sur le mur. On la composera avec le poids P de ce mur, ce qui donnera la résulianle S. Pour Téquilibre, il faut : 1° que S passe entre les points C et D; ?.° que la force fasse avec la normale au plan CD un angle moindre que Tangle du frotlemenl du mur sur sa base; 3** que la pression par unité de surface, en un poinl quelconque de CD, ne dépasse pas une certaine limite dépendant de la nature de la maçonnerie, ce qu'on pourra vérifier par les formules du n"* 63, la base étant supposée rectangulaire. Il y aurait lieu de répéter une vérification toute semblable, en prenant pour base, au lieu de CD, d'autres plans d'assise du mur, en nombre plus ou moins grand, suivant la hauteur.
Ce qui précède suppose que le mur s'appuie en CD sur une base parfaitement solide; nous laisserons de côté rhypoihèse contraire, qui ne rentre pas dans le programme de ce Cours. S'il y avait une certaine hauteur de terre du côté AC, il serait facile d'avoir égard à la butée (n** 197); mais celle force pourra être négligée dans les cas les plus ordinaires.
Le cas d'un mur de réservoir se traite d'après les mêmes principes; il n'y a de diiTérence que dans l'évaluation delà poussée du liquide, qui se substitue à celle des lerres. Celle évaluation se fera par les moyens indiqués en Hydrostatique; il n'est môme plus nécessaire de supposer plane la face BD, et l'on peut remplacer le profil droit par une courbe quel-
STABILITE DES MAÇONNERIES; POUSSftE DBS TERRES. 65 1
roiique, chose qui aurait rendu impossible la déierminalion de la poussée des terres. La pression totale du liquide une (ois connue, on en déduit la force résultante analogue à S, et Ion procède ensuite aux mêmes vérifications.
Les murs de soutènement ou de réservoir sont exposés à fléchir dans le sens de leur longueur quand les circonstances locales favorisent cet effet; c'est ce qu'on a déjà fait observer au n® 185. Il faudrait aussi, le cas échéant, s'assurer de la résistance à ce point de vue.
Au lieu de vérifier la stabilité d'un mur dont le profil est donné, on pourrait se proposer de déterminer le profil d'un mur qui aurait à soutenir une hauteur de terre ou d'eau ï\\ée d'avance par les conditions du projet. Le problème ainsi rnoncé devient d'une difficulté beaucoup plus grande, parce que d'abord les forces extérieures à introduire dans le calcul dépendent du profil inconnu, et aussi parce qu'on cherche ordinairement un profil tel que la pression maximum soit la même dans toutes les assises. Les développements qu'exige la solution sont même tellement étendus, que nous ne croyons pas devoir nous y arrêter; nous nous bornons à renvoyer le lecteur aux Mémoires spéciaux insérés dans les /annales des Ponts et Chaussées ;'\
200. Application du calcul à la vérijication ci-dessus indiquée, — En restant toujours sur le terrain d'une simple vérifinition de la stabilité, avec un profil donné, on peut facilement se procurer les cléments de celle opération par le calcul, soit pour un mur de soutènement, soit pour un mur soumis à une charge d'eau. Le calcul que nous allons exposer peut s'adapter aux deux cas, moyennant l'interprétation conveluible des notations algébriques et en admettant de plus cette lestriciion que, s'il s'agit d'un massif de terre à soutenir, son profil supérieur sera formé d'une seule droiie.
Soit donné le profil de mur indiqué dans la Jig. ii4; la partie gauche, qui est supposée former le parement visible, peut affecter la figure d'une courbe; la partie droite, du côté
('; ruir notamment le Mémoire de M. Delocrc, année i8'i), r semestre, et tcnx de M. Pcllctreau, années 1876 ol 1877, Q* semestre.
lOI CBIPITII DIXItVE.
lie i'eau ou des terres, sera nécessniremeni droiie s'il s'agit d'un mur de soutènement, afin de rendre possible la déiermîiialion de la poussée du inassir. Nous clioisissons, dans le plan du profii, deux axes coordonnés : l'un Ox, suivant une verliraie quelconque; l'autre Oxn, horizontal et passant au point le plus élevé du profil du mur, ce point étant pris dans la portion où le mur est en contact avec l'eau ou avec les terres.
Fi|[. ni.
Cela posé, nous considérons un plan d'assise AB quel- 'onque, à la distance x au-dessous de O7-; il est soumisà une Torce totale provenant du poids de la partie supérieure et de la poussée supportée par B7; nous imaginons cette force transportée parallèlement à elle-même en G, milieu de AB ei centre de gravité de la surrace d'assise; nous la décomposons en une force verticale V ei une force horizontale H, en introduisant simultanément un couple \, à cause du transport de la force primitive. Les conditions de stabilité seront faciles ù vérifier, comme nous le montreron!< bientôt, si l'on connaît pn fonction de x les trois quantilés V, II, \; nous allons, en c*lIl^^'lluence, les calculer.
Mais, avant de commencer ce calcul, il est bon de faire une observation préliminaire. Puisqu'on suppose le profil supérieur des (erres en ligne droite, la formule [17) du n* 198 lionne lejr poussée sur une portion finie du mur, commeni;unt au point le plus élevé en contact avec la terre; en imagi-
liant qu'on y ait remplacé z par , cette formule sera de
cosy
la forme
2C0sy si l'on pose, avec les notations du n* 198,
,.8) ^=:Jl^V-7A
cosy cos(9 -\- y)
l.a différentielle
ilW
h xdx cosy
exprime la poussée élémentaire sur l'élément de mur a^vant la hauteur dx et situé à la profondeur x\ en nommant s la longueur de mur qui supporte la poussée R (c'est-à-dire la quantité désignée par z au n" 198), on peut l'écrire
</R kxdsy
et cette expression convient aussi au cas d'un liquide, comme» il est aisé de le reconnaître directement; il suffît de mettre au lieu du coefficient /r le poids spécifique du liquide, ce qu'indique au surplus la formule (lâ), quand on fait / r çp rir (p' -^ o. Il faudrait aussi, bien entendu, avoir égard à la différence de direction de ces forces rfR dans les deux cas : s'il s'agit d'un massif de terre, rfR fait avec la normale au mur l'angle du frottement 9', comme le représente \^/ig- 1 14; s'il s'agit d'un liquide, on fera 9' — o, et rfR agira suivant la normale.
Maintenant, imaginons un second plan d'assise A'R' à la dislance dx au-dessous de AB. La tranche ABA'B' sera soumise aux forces que voici : 1" sur la face AB, aux forces H, V et au couple X; 2" sur AB', aux réactions de la maçonnerie inférieure, représentées par les forces H 4- d\\, V -t- d\ et par le couple X -h d\; V sur BB', à la force c/R = hxds; ^'^ à
654 CHAPITRE DIXifeXB.
son poids propre. Pour écrire les équations d*équilibre d<' celle tranche, nous nommerons encore
Xy y les coordonnées du point B;
j:, y) celles du point A;
d Tangle de la normale BN au profil du mur en B avec Thori
zontale; II, le poids spécifique de la maçonnerie.
Alors nous aurons les équations de projection
19) d\\ -h ItxdscosiO -. (p) : o,
) - rfV - /ixdssin 0 -^ 9') : II,(7î —x]dx=o;
le dernier terme du premier membre de (20) représente le poids propre de ABA'B'. A ces deux équations il faut encore joindre une équation de moments; nous prendrons les moments par rapport à G'. Si Ton adopte pour sens positif celui de X, les deux couples produisent le moment — d\; H produit Udx; la distance de G à Ox étant - (j -h u), le bras de
levier de V est d(j' ,-ri) cl son moment - rf(j-i-i3^; la
force e/R élant remplacée par ses composantes horizontale et verticale Icxds cos{ô -r- ^'), kxdss\t\{9 -r- <f')^ le moment de la première est négligeable, comme infiniment petit du second ordre, et celui de la seconde a pour valeur
- hx'r. — y)ds ii\n[0 : <p' ; les autres forces ont des moments
nuls ou du second ordre, et Téquation dont il s'agit est, en conséquence,
V kx
(?.i) ~ d\ ïldx ; .-^''.7 -/î) n /)</<sin(Ô-f-9') — o.
On a d'ailleurs
ds ces 0 dx , dssînO ~ — dy ;
après avoir développé sin^0 i- <p') et cos(6 -;- 9'), on portera
ces valeurs dans les équations (19), (20), (21), el Ton trouvera
( iiL ] — du -h kx ( dx cos cp' h- dy sin 9' j o, ( 9.3 I - dV -I- kx(dx sin <p' ~ dy cos 9' ) - Il 1 ( /? — j) rf^ = o,
[•fi — j) [dx sin 9 — rf/cos9') — o.
Ces trois dernières équations permettent d'obtenir H, V et X par des quadratures. L'intégration donne immédiatement
I / * dy
(25; Il - -/»a;'cos9' T- /i sin9' / ^-r-dx^
l Vr -A\r'sinG>'- /< cosq' / x'
dx
r II, 1 i/) — jjrfx -h const.,
] If /»^
(•>.7) \ -f- -sin 9' / jTi'y; — y']dx
- cos 9' I j:(73 — j — </j; i- consl.
Les profils du mur étant donnés, on connaît ri et j en fonction de Xy et, par suite, on peut calculer, exactement ou par
approximation, 1 x-i-dxei j ' /j - /)r/j:; en les substi-
tuant dans ( >5) et (26), on a ainsi H et V en fonction de x, et Ton peut alors en mettre les valeurs dans (27), pour avoir X au moyen de trois nouvelles quadratures, portant sur des fonctions connues de x.
Nous n'avons pas mis de constante dans l'équation (25),
656 CHAPITIB DIXlfclB.
car on a H - ■ o pour x - o, la force exercée sur l'assise se rëdulsant alors au poids V, de la partie de mur située au-dessus de i)j"f,\ par la mén.e raison, la constante de l*équauon 26 serrait égale à V, et celle de l'équation (27) au moment de ce poids relati\emc'nt à G., centre de gravité de la même assise. Apri'îs av( ir obtenu les valeurs de H, V, X pour un plan d'assise quelconque, voici ce qui resterait à faire. Soit C le centre de pression dans le plan d'assise AB, c'est-à-dire le point où re plan est coupé par la force résultante agissant sur lui, celte force étant pri^e dans sa position véritable» avant
son transport en G. Nommons u la distance CG, prise positivement dans le même sens que y et y). Le moment X est égal, piir sa définition même, au moment, relativement à G, de la résultante appliquée en C, ou de ses deux composantes Il et V avec le même point d'application; donc on a, le moment de II étant nul,
d'oii l'on tire
Or une des conditions d'équilibre ou de stabilité relatives à l'assise AB consiste en ce que C tombe dans l'intervalle entre A et H; pour cela, il faut et il suffit que u pris en valeur absolue soit moindre (jue - AB ou -(r; -1), ri, parconséquenf. celle condition se iraduit par l'inégalité
La condition relative au glissement sur le plan AB exige
que soit plus petit eu valeur absolue que le coefficieni du
frottenuM\t dos nuu onnerios sur elles-mêmes; a étant ce coefricionl, Tinéiralilé
STABILITÉ DBS HAÇONl^BIBS; POUSSÉE DES TERRES. 657
est nécessaire et suffisante pour exprimer que le glissement ne peut se produire. Nous ne mettons pas le double signe
avant :^i car pratiquement il n'arrivera jamais que H et V n'aient pas en réalité les sens qu'on leur a supposés a priori^ de sorle que tt restera toujours positif. Il y a enfin la condition relative au maximum p de pression par unité de surface sur les divers éléments du plan AB; pour obtenir ce maximum, on doit encore employer les formules (lo) et (ii) rappelées au n° 187, à propos de la théorie des voûtes. Ici Ton doit faire
N==V, i2 — /^yj— j, a:^=u pris en valeur absolue; les formules deviennent alors
3(7) — y^) iu
'fi—r
On ne devra pas oublier, dans l'application des formules (3o) : 1° que u doit se prendre en valeur absolue; 2® que la première des deux formules doit servir quand on
a <"^7T9 et la seconde quand le même rapport tombe
ri— y b
entre - et -• Le maximum p, calculé par celle des deux for-
mules qu'on doit employer, est assujetti à rester au-dessous d'une limite L fixée d'avance, d'après la nature des matériaux, ce qui s'exprime par l'inégalité
Les conditions (28), (29) et (3i) fournissent l'ensemble des vérifications à faire pour un plan d'assise quelconque AB; on voit que cela est facile après le calcul préalable de H, V, X.
Cas particulier. — Supposons un mur de soutènement avec un profil en forme de trapèze; il y a un fruit intérieur et un
