L->r-% H-vr*X*- «nVKS or COMPRIMES PAR DES FORCES AGISSANT

<IIVANT LEUR AXE.

k^ »\'\\ XI

^ '* ^^<^ ^« Ws prismes sont considérés à l'état de repos.

* "• -i^x ,-»« ou compression simple d'un prisme homo^ ^^^^ . V^>uud un prisme élastique homogène de faibles

• V / ^x transversales est sollicité par deux forces égales •^ 'Vs appliquées suivant son axe, à ses deux extré-

' ox 4oiions mutuelles développées entre les parties que V wv x^ i.u\o section transversale quelconque ont nécessaire- ,,vMu t.»Mo résultante égale en intensité à chacune des deux v,vv X oMôrieures, car sans cela l'équilibre serait impossible. , va»,^ tvsulante, toujours la même, est ce que l'on nomme la «.♦A,vA/* totale, ou simplement tension dans la section consiii iv'o; le quotient obtenu en la divisant par l'aire de la sec- '.oii est la tension rapportée à l'unité de surface.

V^Hiand on observe les allongements produits, on reconnaît ^{u'ils varient, pour des prismes d'une matière donnée, propv>rllonnellement à la longueur primitive et à la tension par uuilé de surface. Si celle-ci devient assez grande, il est vrai quo la proportionnalité cesse; toutefois, comme la tension qui donne lieu à ce changement est encore de beaucoup inférieure à la limite qui serait fixée par les constructeurs pour avoir des garanties suffisantes de stabilité, nous admettrons toujours la proportionnalité dont il s'agit, c'est-à-dire que nous supposerons la tension au-dessous de la limite nécessaire à la conservation indéfinie du prisme.

Si les deux forces extérieures changent de sens et produisent une compression (toute courbure dans Taxe étant d'ailleurs empêchée par des moyens quelconques), on pourra répéter

identiquemeni la même chose, à pari que la tension deviendra une pression et que le prisme sera raccourci au lieu d'être allongé. Ainsi donc, en appelant

L la longueur primitive;

/ l'allongement regardé comme positif dans le cas de l'extension et négatif dans le cas de la compression;

û la section transversale;

E un nombre constant pour une même nature de corps;

N la tension totale, positive ou négative en même temps que /,

on aura la relation, fournie par l'expérience,

d'où l'on tire la valeur de la tension correspondante à un allongement donné

Le nombre E est ce que nous appellerons coefficient d^éiasticité longitudinale pour la matière qui compose le prisme; c'est, comme on le voit, le rapport entre la tension par unité

de surface et l'allongement proportionnel correspondant t ( ^ ) •

2. Généralisation des notions précédentes pour un prisme hétérogène. — Lorsqu'un prisme n'est pas homogène, mais que ses qualités physiques varient seulement d'un point à l'autre d'une section transversale, toutes les sections étant d'ailleurs identiques entre elles, on peut imaginer qu'il est formé d'une infinité de prismes juxtaposés, dont chacun serait en quelque sorte une fibre du prisme total ('). Alors, si l'on appelle w la

(•) Quelques expérimentateurs ont attribué au coefficient d'élasticité longitudinale de la fonte ou à celui du fer des valeurs différentes, suivant qu'il s'agit de l'extension ou de la compression. Mais, outre que la différence n'est pas bien positivement établie, elle est assez petite pour qu'on puisse la négliger, en vue de simplifier la théorie.

(*) Nous emploierons souvent cette dénomination àc fibre pour désigner un prisme élémentaire dont la section droite u est un élément de la section

A CHAPITRE PBBIIIKR.

XV vOv»ii Jv- I uno lie ces fibres, / sa tension totale pour une >a»ia.'oa ; \lo sa longueur primitive L, E son coefficient d'élasui.i*^ KMi^iludinnlc, on pourra toujours poser, par définition

VV^ |»out «ilmcllre, avec assez de vraisemblance, que E reste s vM\^i;int pour une même fibre quand / varie, ce qui revient j^ Mippov'or qu'une fibre se comporte comme une tige isolée 01 qu'elle n'est pas influencée par les fibres voisines. Le nombre E, variable seulement d'une fibre à une autre, sera eo que nous appellerons coefficient d'élasticité longitudinale du prisme donné, dans les points qui se trouvent sur la fibre ronsldérée.

La môme notion s^étend immédiatement à un prisme de nnlure quelconque, pourvu qu'on y suppose L infiniment ])ctlt, car il est clair qu'on rentrerait ainsi dans le cas que nous venons d'examiner. Ainsi nous appelons coefficient d'élasticité longitudinale y en un point quelconque d'un prisme, le rapport supposé constant entre la tension longitudinale* de l'élément de fibre qui contient ce point, par unité de surface, et l'allongement proportionnel qui répond à cette tension.

Lorsque deux sections infiniment voisines, ayant une distance primitive L, s'écartent l'une de l'aulre d'une quantité positive ou négative /, suivant la normale à leurs plans, on dit que le prisme a éprouvé dans leur intervalle un allongement simple, lequel sera en réalité un raccourcissement dans le cas où / deviendrait négatif. En vertu de cette déformation, toutes les fibres élémentaires comprises entre les deux sections considérées sont soumises à des tensions ou pressions /, dont la formule (i) donne la valeur. Il est aisé d'en trouver la résultante : comme il s'agit de forces parallèles, il suffira d'en prendre la somme, c'est-à-dire de faire la somme ou intégrale

des valeurs de -= — pour tous les éléments d'une section, et

finie £1 d'un autre prisme. Cela ne veut pas dire que ce dernier soil nécessai« rement un corps à constitution fibreuse : le mot fibre ne reçoit ici qu'un sens purement géométrique.

1 on trouvera, puisque y resie constant,

^t ~~ y 2Ew.

Quant au point d'application de cette résultante, il est clair que, puisque ses composantes sont en chaque point proportionnelles au produit Ew, il coïncide avec le centre de gravité de la section, déterminé en attribuant à chaque élément su* perfîciel une densité égale à son coefficient d'élasticité longitudinale.

La considération de ce centre de gravité se représentera dans d'autres questions à traiter ultérieurement; en raison du rôle que joue l'élasticité dans sa définilion, nous l'appellerons centre d'élasticité.

L'allongement simple étant supposé produit par des forces appliquées sur les deux sections extrêmes, dans la direction normale à leurs plans, l'équilibre exige que les deux résultantes de ces forces, prises séparément pour chacune des deu\ sections, soient égales et contraires, et que de plus elles coïncident en direction et intensité avec la résultante des tensions dans une section quelconque. Si donc on nomme N une des deux résultantes pour les sections extrêmes, cette force devra passer le centre d'élasticité de toutes les sections et satisfaire à l'égalité

(2) Nr^-IEw.

Des relations (i) et (2) on conclut encore, par l'élimination de -j-3

formule qui, dans l'hypothèse d'un allongement simple produit par des forces N données, fait connaître la tension par unité de surface, pour une fibre élémentaire quelconque, pendant que la formule (2) permettrait de calculer l'allongement proportionnel y correspondant.

../ CHAPITBE PREMIER.

la .;.îaîULU* iEw qui entre dans les formules (2) et (3) se iioi»»»î,* 'v^vr^ longitudinal du prisme: plus elle est grande, jiKMîs lo prisme s'allonge sous une tension totale donnée N, ce qui jusiitie suffisamment celte manière delà désigner-

3, ^ êriticittion expérimentale des formules précédentes dans *V ou'x de l'txtr'nsion proprement dite; précautions à prendre au»is u's trxpêriences» — On conçoit facilement comment peu- Noui se faire des expériences sur l'extension des matériaux. l u prUnio, suspendu par Tune de ses extrémités, soutient à Taulro un plateau de balance, dans lequel on met des poids. IViir rluique poids total mis dans la balance, on tient note de rallongement correspondant. On augmente successivement l<i oharge jusqu'à produire la rupture; mais, avant d'arriver à 00 point, on peut laisser chaque charge plus ou moins long- UMups dans la balance, pour constater l'influence du temps sur rétendue du phénomène ; on peut aussi observer les effets qui subsistent après l'enlèvement de la charge.

Les précautions à observer dans l'exécution de ces expériences sont les suivantes : i® Quand les allongements sont mesurés simplement en constatant le déplacement vertical que prend l'extrémité inférieure du prisme, il faut que les points d'appui soient aussi résistants que possible; sans cela ils céderaient à l'action de la charge, et la mesure des allongements serait entachée d'erreur. Celte cause d'incertitude pourrait être évitée si l'on mesurait le déplacement relatif de deux points du prisme primitivement séparés par une distance connue. 2® Les poids doivent être poses très-doucemenl dans le plateau, et même il faut soutenir celui-ci pendanlque l'allongement se produit. Nous démontrerons en effet un peu plus loin que, faute de celte précaution, les allongements dus à chaque poids seraient variables en fonction du temps et passeraient par des valeurs supérieures à celles qu'ils auraient prises dans l'état d'équilibre; le poids maximum qu'on pourrait faire supporter au prisme sans produire sa rupture immédiate subirait aussi une diminution plus ou moins considérable. 3° Quand on opère sur un prisme qui n*a pas de petites dimensions transversales, et qui, en conséquence, n'est pas très-flexible, il faut que la résultante des charges passe bien par le centre

de gravité ou d'élasticité de chaque section, comme îi est dit ci-dessus (n®2). Sans cela, le prisme ne pourrait pas se déformer par allongement simple, et le phénomène soumis à Texpérience ne serait plus celui qu'on avait eu l'inieniion d'étudier. Nous allons maintenant passer en revue quelques-unes des expériences faites dans le but de connaître la relation entre chaque tension et l'allongement correspondant; nous indiquerons aussi les valeurs du coefficient d'élasticité longitudinale £, qu'on en a déduites pour les matières les plus usuelles.

4. Expériences sur l'extension du fer, — Le fer est la matière qui a été le plus essayée; elle se classe en effet parmi les plus utiles, à cause de sa grande résistance, et Tattention devait naturellement se porter sur ses propriétés. Parmi les ingénieurs ou physiciens qui s'en sont occupés, on peut citer en particulier Duleau et M. Eaton Hodgkinson. Les expériences de ce dernier sont plus multipliées et plus complètes. Nous reproduisons ci-après les résultats obtenus dans une série de ces expériences, en opérant sur une tige en fer forgé de la meilleure qualité. La tige, ayant environ i5"' de longueur totale, afin de rendre sensibles les allongements à mesurer, était formée de plusieurs parties réunies au moyen démanchons; sa section était, en millimètres carrés, environ i35"'"*ï,4- Pour chaque charge, on mesurait d'abord l'allongement total; puis on enlevait la charge afin de constater l'allongement permanent qui pouvait subsister; la différence de ces deux quantités est ce qu'on nomme allongement élastique. Le coefficient d'élasticité longitudinale est égal, comme l'on sait (n*l), au quotient obtenu en divisant la charge rapportée à l'unité de surface par rallongement rapporté à l'unité de longueur; ordinairement on l'exprime en prenant le mètre carré pour unité de surface et le kilogramme pour unité de force. Dans le tableau ci-après, les charges sont exprimées en multiples de i^», 875 par millimètre carré; les allongements, en millièmes delà longueur primitive. Ce tableau, sauf quelques simplifications et quelques détails complémentaires, est emprunté à la Résistance des Matériaux de M. le général A. Morin.

Expériences pour déterminer les allongements d'nne barre de fer,

sons divers poids.