I. 3« édil. a
CUÀPITRB PREMIER.
On ux^ «4 viu sapin, on a trouvé généralemeni E variable de 1 \ »v» a » s \ lo"; mais ces chiffres soni loin dèlre absolus,
4 uoiiN no 11 s liions que pour donner une idée de Tordre vii^ .^jiuulour du nombre dont nous parlons.
H. fus lie la compression ; élasticité longitudinale du fer et (/< la lontc, -- Les expériences faites par M. Hodgkinson sur la iHunprrssion du fer et de la fonte ont donné divers résultais ,inak»;^urN à ceux qu'on a déjà vus tout à l'heure, au sujet de ri5\lrn>iiiMi |)r()|)remenl dite. Ainsi, tant que la charge d'une Imho ihî fer ne dépasse pas i5^« à i8^« par millimèlre carré, lui raccourcissemenis restent sensiblement proportionnels aux charfj'es qui les produisent; mais au delà les raccourcis- ^i'Uienls croissent suivant une loi de plus en plus rapide. I.rs rliarpîos Ifs plus faibles donnent lieu à un raccourcissement pi'rmunent, qui subsiste après la charge, mais qui n'est qu'une ptaite fraction du raccourcissement total, tant que la charge (îhl elle-même peu considérable.
Le coefficient d'élasticité longitudinale du fer, relatif à la compression, serait, d'après l'expérimentateur que nous citons, un peu inférieur à celui de l'extension, et la différence relative serait de i5 à 20 pour 100 environ. Pour la fonie, l'inégalité subsisterait dans le même sens, mais serait de quelques centièmes seulement. Le fait dont il s'agit n'est pas encore établi d'une manière bien irrécusable; il a d'ailleurs peu d'importance pratique. On peut donc toujours admettre l'égalité des deux coefficients d'élasticité longitudinale : ce qui ne signifie pas, comme on le dit quelquefois, que la charge capable de produire la rupture est la même dans les deux cas de l'extension et de la compression.
On connaît peu d'expériences entreprises dans le but de mesurer spécialement le coefficient d'élasticité longitudinale, relatif à la compression, pour d'autres matières que le fer et la fonte. D'autres exemples de l'inégalité dont nous venons de parler n'ont été signalés par aucun observateur.
9. Résistance de diverses matières à la rupture par extension. — Tout le monde sait qu'une tige suffisamment tendue finit toujours par se rompre; l'expérience fait connaître, pour
chaque espèce de matière» la limite inférieure de la tension par unité de surface à partir de laquelle cet effet se produit immédiatement 9 ou à peu près; c'est ce qu'on nomme la résistance à la rupture par extension. En ce qui concerne le fer, cette résistance est assez variable avec la nature des fers essayés et leur mode de fabrication. Certains fils de fer de très-bonne qualité peuvent ne se rompre que sous une charge de 90^* par millimètre carré, tandis que 25^» suffiraient pour des fers en barre médiocres et de gros échantillon. On peut admettre comme charges moyennes, par millimètre carré, produisant la rupture par extension des pièces de fer :
70** pour le fil de fer, les limites extrêmes étant 5o et 90
4o** pour le fer en barre 25 et 60
38^» pour la tôle 35 et 40
La tôle est, comme on le voit, sujette à des variations moins considérables.
Lorsqu'il s'agit de la fonle, il faut s'attendre à trouver des variations encore bien plus grandes que pour le fer. M. Hodgklnson a reconnu que la rupture s'opérait pour des charges comprises entre 9^^ et 14''* par millimètre carré; la section des barres essayées était de io'''°*i au moins et de 26*^"*! au plus. MM. Minard et Desormes, en i8i5, avaient indiqué un chiffre sensiblement égal à la moyenne de M. Uodgkinson. Mais ces chiffres paraissent devoir être considérablement diminués dans le cas de dimensions transversales assez grandes. Ainsi, dans la construction du pont tubulaire sur le détroit de Menai, le fond du cylindre d'une presse hydraulique s'est détaché sous une tension qui ne dépassait guère s'^spar millimètre carré. Une aussi grande réduction de résistance tenait sans doute d'abord à l'épaisseur des parois latérales du cylindre, qui allait jusqu'à o'",254. Al y a probablement ici uae inQuence analogue à celle que nous avons signalée précédemment en nous occupant du coefficient d'élasticité E (n** 6). Peut-être aussi n'avait-on pas assez pris soin d'éviter les inégalités d'épaisseur des parties adjacentes , ce qui donne souvent lieu à des défauts intérieurs dans la pièce, au moment où elle se solidifie dans le moule qui a servi à la couler.
aO CHAPITRE PREMIER.
Parmi les bois de consiruciion ordinaires, le chêne el le sapin du Nord se rompent par extension sous des charges de 6''* à 9^* par millimètre carré; pour le sapin des Vosges, ce chilTre est réduit à 4*"' environ.
10, Résistance à la rupture par compression simple ou par (^cnisement, — Il arrive souvent, lorsqu'on cherche à produire la rupture d'un prisme par des forces de compression exercées normalement aux deux bases et suivant la direction de Taxe, que celui-ci perd d'abord sa forme rectiligne, de sorte que la rupture a lieu par flexion. Les choses se passent ainsi quand les dimensions de la section transversale sont assez petites comparativement à la longueur. Mais nous voulons laisser provisoirement ce cas de côlé, pour nous occuper exclusivement de celui dans lequel la rupture se fait par compression simple, c'est-à-dire par la diminution de longueur du prisme, sans courbure de l'axe.
Au premier abord, on a quelque peine à comprendre ce mode de rupture. La'rupiure, en effet, consiste dans la séparation des diverses parties d'un corps, et il semble que la compression ait pour unique effet de les rapprocher. Mais il faut remarquer que la compression est toujours accompagnée d'effets secondaires correspondant à des augmeniations 4ans les distances des molécules, et c'est à ces effets qu'est due la disjonction. Dans certains cas, on observe une séparation par glissement suivant des surfaces inclinées sur l'axe du prisme : c'est ce qui arrive pour les corps grenus. Pour les corps à constitution fibreuse, la direction des libres étant en outre supposée parallèle à la force de compression, il y a dilatation dans le sens de la largeur en môme temps que raccourcissement des fibres; celles-ci sont amenées finalement à se séparer les unes des autres.
Dans le cas actuellement considéré, d'un écrasement sans flexion, la charge capable de le produire est indépendante de la longueur et varie proportionnellement à la section transversale. Elle est de 25*-^' environ par millimètre carré quand il s'agit du fer; s'il s'agit de la fonte, d'après M. Hodgkinson, le chiffre est moyennement de (yZ^^ par millimètre carré, c'està dire cinq fois et demie ce que nous avons indiqué pour
l'extension (n"9) : ces nombres sont d'ailleurs irès-variables. Suivant Rondelet, le chêne et le sapin du Nord s'écraseraient sous une charge de 4*"* à4*'S5 par millimètre carré; mais celte résistance peut être augmehtée par la dessiccation, ainsi que M. Hodgkinson Ta constaté; et même l'augmentation peut aller jusqu'à doubler le chiffre relatif à certaines essences de bois.
Les pierres et les maçonneries ont donné des résultats extrêmement divers. Nous reproduirons plus loin, dans une des Tables numériques placées à la fin de ce Volume, quelques chiffres bons à connaître. La charge d'écrasement varie de 2o^« à environ 25oo''« par centimètre carré.
11. Condition de stabilité d'un corps prismatique soumis à une extension ou compression simple. — Etant donné un prisme tiré ou comprimé par deux forces égales et contraires qui agissent suivant son axe, nous avons indiqué, d'après Texpérience : i" quelle relation existe entre ces forces et l'allongement ou le raccourcissement produit; 2° quelles limites ces forces doivent atteindre pour entraîner la rupture immédiate. il nous reste à fixer les limites que les mêmes forces ne devront pas dépasser pour qu'on puisse compter sur la conservation indéfinie du prisme, et c'est là, au point de vue pratique, la question la plus intéressante.
Jusqu'à présent, on n'a point déterminé d'une manière bien précise les limites dont il s'agit maintenant. Les expériences sont en effet difficiles, à cause de l'infiuence mal connue de la durée des efforts, ce qui exigerait qu'on les prolongeât pendant des années sur un même corps; cette difficulté s'augmente encore par l'infinie variété de circonstances secondaires que présente la pratique. Quand il s'agit des métaux, on recommande en généra] de ne pas les soumettre à une tension
ou compression dépassant ^ de celles qui produiraient la rupture immédiate, et de ne pas aller au delà de — pour les autres
matières, en raison des imperfections plus fréquentes ou des causes de destruction plus actives auxquelles elles sont exposées. Nous verrons plus loin ce qu'il est possible de
33 CHAriTaE fhehier.
dire pour jiisUfier le premier de ces rapports; quant à préspnu nous dirons seulement que l'habiiude et le sentiment dpsfonsiructeurslesonironsacrés, et que d'assez nombreuses «T'îliraiions, sur des échelles très-varices, n'ont pas encore ((..) rfconnattre l'uliltlé de les modifier en général.
Il e\isie cepcndanl, pour des cas particuliers bien définis, rf-n^ini^s dérogations à la règle ci-dessus posée, qui ont été j.-f^CTiies par Tautorité administrative et qui se motivent :oi:.>Mtrs par le désir de sauvegarder le mieux possible la séfnriié publique, tout en évitant une dépense inutile de mat-.rc. A cet égard, chaque pajs a ses usages, ei il n'est pas fionnant qu'on trouve quelques divergences dans la manière de ré-ioudre une question qui comporte tant d'incertitude et (<.!■ difficulté.
, si l'on nomme
T ta charge lolale supportée par le prisme suivant son axe;
ii la section transversale de ce prisme;
R .1 R' deux constantes spéciQques indiquées par l'usage ou
jor les règlements pour chaque espèce de matière; la r<>n<lition de stabilité sera
K' dans le cas de la compression simple, sans flexion.
\ ,iici un tableau donnant quelques valeurs do R et R' pour les matériaux de construction les plus usuels; ces valeurs vinil exprimées en kilogrammes par mètre carré. Les trois rliiffres soulignes se rapporleni au fer et a la fonte employés ihins la conslruclion des ponts métalliques : ils ont été prescrits par la circulaire du Ministre des Travaux publics, en datedugjuillet 1877.
liKllroliiiB dis HiMMi^i R R'
Fils do for des ponls su?|n'iidiis. 9 x lo'- »
Imt en barres, lûle 6 >: lo'' 4 à 6 x m'
K.'hU iJ à 2 X 10° 5 à 10 X 10'
ChÊne et sapin du Nord 0,6 à 0,9 x lo'' 0,4 x 10'
PiLTre moyennement dure » ao ii 3o x 10'
S n. — Cas OÙ les prismes sont à Tétat de mouTement vibratoire.
12. Observations préliminaires, — Nous avons dit plus haut ; n** 3) que, si Ton suspend un poids à une lige élastique verticale fixée par son extrémité supérieure, et si l'on ne prend pas les précautions nécessaires pour que l'allongement se produise avec une très-grande lenteur, celui-ci passera, dans la suite du temps, par des valeurs supérieures à celle qui aurait eu lieu dans Télat d'équilibre. Nous allons maintenant revenir sur ce point et soumettre au calcul le mouvement de la lige el du poids, afin d'avoir une idée exacte tant de l'allongement maximum que de la tension correspondante.
En général, quand la déformation d'un solide naturel sous l'action de forces extérieures est variable avec le temps, la recherche du mouvement oscillatoire de chaque point autour de sa position d'équilibre est une question qui présente de grandes difficultés d'analyse. Il faut d'abord intégrer des équations aux différences partielles dont l'ordre n'est pas inférieur au second et où les inconnues dépendent au moins de deux variables; et, après avoir franchi ce premier pas, il reste à déterminer les fonctions arbitraires introduites par l'intégration, ce qui, le plus souvent, n'est pas d'une difficulté moindre (•). Nous croyons cependant devoir traiter dans ce Cours un certain nombre d'exemples de ce genre de problèmes, à cause de rintérêt bien réel des résultats fournis par leur solution. Quoique relativement très-simples, ils donneront une idée des méthodes à suivre. D'ailleurs, il ne peut être question, quant à présent, que de ceux où se produit l'espèce de déformation considérée dans ce Chapitre ; on en trouvera d'autres dans d'autres parties du Cours.
13. Équation du mouvement vibratoire d'un prisme vertical homogène, supportant un poids à son extrémité. — Soit
(*) Les difhcultes d'analyse se rencontrent particulièrement dans les questions traitées aux n"* 13, 16 et 17, tandis que les problèmes des n"* 14 et 15 sont relativement faciles. Le lecteur pourra, sans grand inconvénient, se con' tenter de voir ces derniers à une première lecture.
A| CHAPITIE PlIXTU.
VU [ /i)i. '«) lo priHiTift donné, dcct 1^ p«:.n: B est lie, et qui «\Mmriil m A uu poid.s P. Voyons d'ahcrd à q^ei.es ccnii- (I •II'. !( |ioiirr.iit sf; Irorjver en éq'i...L?^. Pr .1^1)0)14 par
.r la rfihUnre d'une se^'tlTn tran^versiie ^^el- '(•(tîiniif: CD a'i poir.i fî\e B, fins V-^ui promît:/ du -i^y-jterne- r;'e'ii-â-<îlre q-.mi te -.tes 5-^'? pjr-
[il
lifîH, so'irlraitrrs a Ti^tlon de la pesan'.-e'jr. n'e- I pro u V e n l a 'j eu r. e le ni io n ;
' '' u le d^'rar.remeni de cette section, paralirlenieni à B\, a une épo'j'je qu-^lccn-j-ie. par suite de l'âclion d'^-s f .rces; cette quîniiié « sera fonction de j: seulement s'il v a éiuilitre, et s'il t a mouvernenl, elle sera tout à la fois fonct :d de x et d'j temps /;
K K' rroerficienl d'élasticité longitudinale et H le poids par unité de volume de la matière qui compose le prisme AB: 0, r;iirede la section tnînsversale de ^h- prisme; / h lon$/ueur AB; / le W'mps. compié a partir d'un instant quelconque.
\Jf;\(-Uïf'U\ prismatique compris entre les sections intlnimeni voisines CI), V\\, dont la longueur primitive était dx, occupera, quand rallongement aura été produit, une longueur différente, car on aura
|Kiur l'ah-c!.-5-;'î ^i*; CD au temps t x — u,
\/>\iT I ;jb.v;.--e 'J^; F H au rneme instant. . . x — u dx\
la dislance des deux sections au temps / est donc ax,
dx
ou bien dx -- -— dx; donc rallongement relatif est -, el.
--- dx; donc ralloniçement relatif est -
dx "^ dx
par suite, la tension longitudinale dans la section CD s'exprime par Eo) n'' 1;. Cette expression convient aussi bien
au cas du mouvement qu'à celui de l'équilibre; mais, quand il y a mouvement, u étant fonction de x el de /, il ne faut pas
oublier que . représente la dérivée partielle de u par rap-
port à X, Cela posé, si l'équilibre existe, il faudra que la tension Eo) -j- soit égale à la somme du poids P et du poids de la partie CDÂ; donc
et» attendu que u est alors fonction de la seule variable Xy sans constante, puisque le point B est fixe, ce qui entraîne
M =r O pour X rr= o.
Lorsque le système est abandonné à l'action de la pesanteur, sans que les vitesses de tous les points soient nulles, ou bien sans que u ait alors la valeur donnée en chaque point par l'équation (2), l'équilibre ne peut pas subsister, et il se produit un mouvement dont nous allons établir directement l'équation, en supposant qu'il ait lieu suivant la verticale. A cet effet, nous remarquerons d'abord que la masse élémen-
taire CDFII, exprimée par — ojrf^r, a une accélération — ^—j-^ — ~
Quant aux forces qui sollicitent cette masse, il y a : i" son poids Jl(>idx; 2® la tension ascendante exercée dans CD par la partie CDB du prisme, laquelle tension s'exprime, comme on
vient de le voir, parEw -j-; 3<» la tension descendante exercée
dans FH par la portion FHA, laquelle force sera Ew -7- augmentée de sa différentielle partielle relativement à x, soit
Eco ( - — h -T-y dx] • On aura donc
Il , d'u , T. du , / du d' H ,
— (ùdx -j— =z Ucùdx — Ew -; — 1- Ea) -, — i- - — dx g al* dx \dx dx^
soit, après avoir réduit et divisé par — wûfjc,
,^^ d'u Egd'u
^^^ 'dF^'S-^-li'dx^'
26 CUAPITRB PREMIER.
équation aux différences partielles du second ordre, qui représente le mouvement dont il s'agit.
Pour en obtenir l'intégrale générale, on remarquera d'abord que la valeur de u, donnée par la relation (2), satisfait à l'équation (3), dont elle est conséquemment une solution particulière. Cela permet de faire disparaître le terme constant g du second membre de l'équation (3). Il suffit, en effet, de poser
(4) «r=r ~- [2IX—X- -^ ï^ -f-2,
d'où l'on tire
' Ëo)
dx- E
d'Z ^ dx'
dV di^ '
Efi-
et par suite, en substituant dans l'équaiion (3) et posant ~ — <i-,
^ ^ dp dx
On retombe ainsi sur l'équation connue de la corde vibrante. L'intégrale de l'équation (5) a été donnée sous forme finie par d'Alembert. En désignant par 9 et v}; deux fonctions arbitraires, on a
2 zzr Q (^ -4- a/ ; -h "^[x — at ;,
valeur dont la vérification est facile. Donc on aurait aussi
n Pr
'^^ " "^ 2E ^'^^^ -^\-^ g-- -i- ?(^ -^ at] -^^[x-at).
On peut encore donner aux quantités z t\u une autre forme plus commode pour arriver à la solution complète, dans certains cas particuliers, du problème qui nous occupe. L'inconnue z élant une fonction de x et de /, on conçoit d'abord qu'elle soit développée suivant les puissances de la variables, c'est-à-dire exprimée par
zz=kx''-\- B^P-f-CxT-f- . . .,
a, (3, y, , . . étant des exposants indéterminés, et A, B, C, . . , des fonctions du temps t. Comme e' est une quantité connue
quand x est donné, on peut encore dire que z est fonction de / et de e*, et poser de même
z = AV"'-i- A'V"-f- . . . -f- A', e--""-4- A", 6-"'-+- . . . ;
enfin, comme les exponentielles peuvent se transformer en
sinus et cosinus par la formule eV-'~ cos^r -h \^— i sin:r, on pourra écrire
z =AiSinm,:r-i-A,sin/w,a:-^...-hB, cosm,^-i-B,cosm2a:-f-... = 2 ( A sin mx -+- B cos m:r) ,
la caractéristique^^ désignant une somme de termes de même forme.
Les développements en série d'une fonction inconnue, sous l'une des trois formes précédentes, ou sous une forme mixte comprenant à la fois des puissances, des exponentielles et des sinus, seront sans doute quelquefois en défaut; mais, dans beaucoup de problèmes, on parviendra de celle manière à remplir toutes les conditions. On remplacera donc, dans l'équation (3), ^/par la valeur
u= —^ iilx — X' -f- T, — 1 2(Asin/wj: -t- Bcosm^), el l'on trouvera
—TT sin m :r -4- -j— cos mx \ r= ~ 2/w —Asm mx — B cos m x] \ di^ dt' J II
= -~a^lm- Asin mx-hBcosmx).
Pour que le premier et le second membre soient identiques quand :r et ^ sont quelconques, il faut qu'on ait
-J- = — m'rt^A, ~-r- = — m= a'B, dt' di'
d'où l'on tire, en désignant par C, D, H, I des constantes arbi*
traires,
A ~ C sinmfl^ -+- D cosma^
B = Hsinmaf 4- I cosma^.
tS CHAPITftE PUaiEB.
Donc on a
ii:= —p: 2 /X — X' ^ ^-
— l'sinmx C s'in niai -^D cos mal
— cosmx H s'in mal — I cos mat ].
C^lie formule conviendraii même au cas où rexirémilé supérieure du prisme ne seraii pas Gxe, car nous ne nous sommes point servi de celte condiiion. Si Ton en lieni compte, c'està-dire si Ton fait ii = o pour x := o, on aura
0 = 1 Hsin/na/ — Icosmai .
On satisfait à celte condition, l restant indéterminé, en prenant H =1 o et I = 0. Donc enfin, dans les termes oii la question est posée, nous aurons, pour l'intégrale de Téquation (3),
7 u= - - o/x — x- — rr— — -sinmx Csinma/ — Dcos/na/'. ' 2E t«
Celte valeur de m n'est plus exprimée au moyen de fonctions arbitraires comme celle que donne l'équaiion 6 ; mais,
Il Px
en laissant de côté la quaniiié — ,, >/.r — x — r^-r on voit
2 h h 'jj
que le surplus de la valeur de u contient un nombre indéterminé de termes de la forme
sinmx Cs'mmat -h D cosmat\
dans lesquels on peut aiiribuer aux consumes m, C, D telle valeur qu'on voudra.
Soit qu'on adopte la formule 6 ou qu'on préfère la formule (7', on voit qu'après avoir intégré l'équation (3 on est encore loin de la solution complète du problème, puisque dans un cas il resle à déterminer deux fonctions 9 et ^, el dans l'autre un nombre infini de conslanies, telles que m, C, D.
Avant de dire comment on effectuerait celle déiermination dans le cas général, nous allons examiner des cas particuliers qui donnent lieu à d'assez grandes simplifications.
ik. Oscillations d'un corps pesant suspendu à V extrémité d'une lige élastique verticale, de très-faible masse. — Ce cas
PRISMES SlUPLEHBIfT TENDUS OU GOMPRIHfiS. 2g
est le plus simple de tous et peut se traiter direciemeni sans difficulté. Remarquons en premier lieu que, les forces réellement agissantes et les forces d'ineriie devant se faire équilibre sur une portion quelconque du système, la tension dans
une section CD [Jig, 2] sera la somme algébrique : i® du
p poids P et de la force d'inertie de la masse -; 2° du poids et
de la force d'inertie de la partie de lige CDA. Dans l'hypothèse où nous nous plaçons actuellement, ces dernières forces, seules variables quand on change la section CD, sont négligeables, et, par suite, la tension est constante dans toute rétendue de la tige, à un instant donné. 11 en résulte que l'allongement proportionnel est le même pour tous les éléments dx de la longueur et, par conséquent, aussi pour la longueur entière /; en nommant U l'allongement total ou le déplacement de l'extrémité A, cet allongement proportionnel a pour
valeur j> et la tension s exprime par — — > comme si la tige
était en équilibre sous l'action d'un poids capable de l'allonger d'une même quantité U.
Cela posé, on a l'équa.-on du mouvement du poids P,
p/ ou, si l'on appelle X raliongemeni rr-> auquel répondrait une
tension égale au poids P,
OU bien encore
équation dont l'intégrale générale est
(9) U — A ^ : A cos/ \J^^ -f- B sin / \/-|,
A et B désignant deux constantes arbitraires.
3o CHAPITRE PREMIER.
Ces deux constantes seront déterminées par les conditions initiales. Si Ton suppose, par exemple, qu'à l'instant pris pour
origine du temps U et -^ sont nuls, on aura et, par conséquent,
(lo) \j=^i(i-costi/j-y
Si plus généralement on doit avoir U = Uo et -7- = v^ quand / est nul, on posera
et, en substituant les valeurs de  et B dans Téquation (9), (il) U-A = (Uo-^)cos/i/|-^i'oi/-sin/4/|.
D'après la forme de l'équation (9), on voit que, si l'on
donne au temps un accroissement 27: t/ — , l'arc t i/y aura
augmenté d'une circonférence; ses sinus et cosinus auront repris la même valeur, et U redeviendra ce qu'il était. Le mouvement est donc périodique, et la durée de la période
est 2 71 i/—' Quand on donne au temps un accroissement
moitié du précédent, l'arc t i/y augmente seulement d'une
demi-circonférence, et, par suite, U — A repasse par la même valeur absolue, mais avec un signe contraire. Par conséquent, on voit que le point A oscillera également de part et d'autre du point correspondant à la valeur particulière U = X. Pour avoir les limites extrêmes du mouvement du point A,
il faut chercher les valeurs de t qui rendent nulle la vitesse -r- >
at
ce qui donne l'équation
Asin/i/|^-}-Bcos/i/^ = 0;
PRISMES SIMPLEMENT TENDUS OU COMPRIMÉS. 3l
d'où l'on tire
tang/
En substituant cette valeur dans Téquation (9), on trouve la valeur correspondante de U -- A, qui est
donc l'amplitude de Toscillalion esi
2v^Â'-hB% et le maximum de U s'exprime par
Ainsi, dans Thypoibèse qui a conduit à l'équation (10), on aurait pour maximum
et le plus grand allongement de la tige serait double de l'allongement statique. Dans les bypotbèses plus générales qui ont donné l'équation (11), on trouve
(12) X-f-v^A^-i-B^=XH-i/(Uo-X)^
Tvi
Ainsi Jorsque, voulant faire des expériences sur l'extension des tiges élastiques^ comme il est dit au ïi°^y on pose un poids très-doucement dans le plateau, sans lui donner aucune vitesse, mais aussi sans l'empêcher d'en acquérir en soutenant le plateau en dessous jusqu'à ce que l'équilibre soit établi entre ce poids et la tension de la tige, on produit un mouvenaent oscillatoire dans lequel la tension maximum et rallongement correspondant sont doubles de ce qu'ils auraient dû être à l'état statique. La proportion s'augmente encore si l'on imprime au poids une vitesse descendante (^0. La mesure des charges de rupture serait donc fortement entachée d'erreur, et l'on pourrait en dire autant pour les allongements, à moins de les évaluer en prenant la moyenne entre le maximum et le minimum réalisés pendant le mouvement.
15. Cas pariiculier du problème précédent. — Supposons un poids Q suspendu et resunl en équilibre à rexlrémilé d'une lige prismatique AB de faible masse [fig» 3). Le système est mis en mouvemenl par un poids Q', qui vient choquer le poids Q, en descendant verticaiemenl le ^^Z' 3. long de la lige. La réaction esl supposée non élas- — \— tique, et la vitesse de Q', à l'instant où commence le choc, est due à la hauteur A. On demande le mouvement des deux corps Q et Q' réunis après le choc.
Il est clair qu'on se trouve ici, quand le choc
est terminé, dans les conditions du n® 14. Le
: ■ ■ iQ- mouvemenl cherché sera donc représenté par Té-
. — 1^ quaiion (9 , ou, si l'on veut, par l'équation (i i), en
attribuant aux constantes des valeurs convenables.
En conservant les notations du n° 14, À sera l'allongement
statique correspondant au poids P =:; Q — Q', soit — — v, — \
Ue sera l'allongement statique produit par le poids Q, soit ^— : enfin ^» sera la vitesse commune des corps Q et Q' à la fin du choc, ou bien v2o// —"—.Donc, si l'on cherche rallongement maximum par la formule [12), on trouvera
