I. 3« édit
CHAriTRB PREMIER.
^^r ,-A-»..îi tM.iai, par exemple celui à partir duquel on compte
u !."■ .'^^ -"**• ^'^^ " '"'^^ ^^^ ^^^^^ condition que le mouvement *<i ,^,..,v*r^ '.N S.n»^K>5ons donc que pour ^ — o on ait
a o^x — ai] — a^'[x — al),
,^rt .^'^'^ Ht\,uU par 9' et ^' les dérivées de 9 et ^, chacune par ,.♦ svi ,1 >ii variable explicite x-'-at ou x — at. La valeur ^v^ xut»Niiiut'*c dans (i3) et (i4), devra reproduire les fonc- , ou'^ vIvMineos ¥[x) eif{x); donc
[zlx — x''^ -'- oix] - ^[x'-- F{x\ ao'îx - aô'ix f.x).
tV U première de ces deux équations on déduit 9 ( x ^ — ^ ( :c ; U sorondo, intégrée par rapport à jr, donnera o[x] — ^[x], v'o i|ul fera connaître (?(x) et ^{x\ Ainsi l'on a
0[X: -hi\,{x] = ¥{X) - — (2/^ - X'],
o[x]-^{x]^^ f(x]dx~-K, K étant une constante arbitraire; et, par suite, on écrira
(.5) ç(x) = lF(x)-^îI(./x-x=>^jr/[x)rfx-^,
(■G) ']>{x]=If{x) - ^ h/^- <- ^^/(x)rfx- ^.
Les fonctions F [x) elf{x) doivent être données pour l'étendue de la pièce AB, c'est-à-dire pour x compris entre o et /; on connaît donc les fonctions <p et 4» pour toute valeur de leur variable comprise entre les mêmes limites, sauf la constante K, dont la grandeur n'influe pas sur le résultat Onal, comme on le verra tout à l'heure.
Il faut mainienant introduire les équations particulières applicables aux extrémités A et B. Ce dernier point restant fixe, ondoitavoir m— o pour x — o, quel que soit/. L'équation (i3) donnera donc
(17) (^{at)--^[—at)z-:o.
£d vertu de cetie relation, la fonction cp étant connue quand sa variable est comprise entre o et l, on connaîtra la fonction ^ quand sa variable sera comprise entre o et — /; réciproquement, la connaissance de ^ entre les limites o et /de sa variable étendra la connaissance de 9 entre les limites o et — /; de sorte que les deux fonctions sont maintenant connues, quand la variable de chacune d'elles est comprise entre — / ei -;- /.
Le point A étant libre, -j~ doit s'annuler pour x r- /, car
la tension £&) ■-.-') équilibrant, dans chaque section, les poids
et l'inertie des masses qui se trouvent au-dessous, a nécessairement une valeur nulle en A. Or l'équation (i3) donne
-Jt^^{l-x] -:- q'{x -: - at) H- ^'{x - at)\
par conséquent, on a
9'(/-ha/)-f-4^'{/ — a/), -o,
équation qui, intégrée par rapport à /, devient
Il est aisé de déterminer la constante K'; car de la dernière relation on déduit, en faisant / ^^ o,
el, en faisant a? =: / dans la valeur de ç (ar) — >}/ [x) trouvée plus haut, on a
Ç{/)- !(/)--:. i f f{x]dx + K,
K-='-ff(x)dx-K;
v^k GHAPITRB PRKMIBE.
,S y/ Ut ^(/— a/ --- 1 fxdx-K.
Vh loijUiaion (17), applicable à une valeur quelconque de la >,iu.»l»lo (i/, donne, quand on y remplace ai p^r at — /,
\alovu qui, substiluée dansTéquation 18 , fournira la relation
cp(/ <it.^^ ~l — at ~-^- i fxdx — K, ou. on fuisanl — / - at i ^,
(M)) v'2/-^2;^-9 ? ^'-jfx dx-K.
Uiuir nous connaissons 9 '2/— Ç; au moyen de 9 ,?;; el, puisque y(Ç) (îsi connu pour Ç compris entre — / et /, nous en déduirons les valeurs de la fonclion 9 pour la variable comprise onire / el 3/; de celles-ci nous passerions à celles que donnent l(îs valeurs de la variable enlre 3/ el 5/, el ainsi de suite. On procéderailde même à Tégard de la fonclion -l; ou, si Ton veut. Il est possible deTéliminer de Téquaiion i3 , car, en vertu de réqualion (17., on peut écrire
et sous celte forme il est clair qu'on peui faire absiraciion de la constanie K el la supposer nulle, puisqu'elle doil disparaître dans la différence o\x -f- a/1— 9— x-r- at).
Un des caracières des fondions 9 el ^ qu'il esl important de mentionner, c'est la périodiciié. Pour la reconnaîire, on remplacera Ç par 2/ -I- Ç dans l'équation (ig;, et l'on aura
cp(4/-.ç)- (?(2/-+-ç; = i J /^^;rfx -t- K;
en éliminant 9(2/-^?) au moyen de (19), on trouve
Ainsi, la fonction 9 ne change pas quand sa variable augmente
de 4^ c'est-à-dire quand / augmente de — ; c'est donc une fonction périodique, et il en est évidemment de même de ^, à cause de l'équation (17). Donc, après un temps —, la pièce
se retrouvera dans une position et avec des vitesses identiques; le prisme exécutera donc une série indéfinie d'oscillations dont — sera la durée. Les considérations précédentes
fournissent d'ailleurs le moyen d'en avoir la loi, puisqu'on sait trouver la valeur de 9 et de ^ pour une valeur quelconque de la variable.
Cherchons enfin quelle serait l'amplitude du mouvement vibratoire que prend l'extrémité A, en supposant, pour simplifier, que les fonctions F (x) et/(^) sont nulles toutes deux, c'est-à-dire que le prisme est abandonné sans vitesse et dans son état primitif à l'action de la pesanteur. Nous ferons de plus K = o, ce qui est permis, comme on Ta vu. Le déplacement du point A est à chaque instant donné par l'équation (20), dans laquelle on fera x^^ l; pour ce point on a donc, en désignant par U l'expression de u qui lui convient,
U=?l'-ecp(/H-«/;-9(.-/-f-a/);
les valeurs /h- at et — /n- at diffèrent de 2/, et, par suite, en vertu de l'équation (19), Kei/(:r) élani nulles, <p(/-f- a/) et 9(— /-4- at) sont égales et de signes contraires; donc
II/' Ul^
^^'^ U = ^ 4- 2cp(/ -^- a/) rz^ — -< 29 ^- / -;- al).
Les valeurs limites de U correspondront à -,- — o ou à
9'(/-Ha/)= o, 9'^— l-\-at] -- o.
Or, d'après l'équation (i5j, enlre les limites o et / de la variable Ç, on aurait ici
Celle dérivée 9'(Ç) devieni nulle pour Ç=:^/; donc, pour rendre nulle 9' {l-\- al], il faul poser /-f-a/ = /ou /^o; pour annu-
1er 9'(— /-f- ai), il faul poser — /-- a^ — / ou ^ — — D'ailleurs, à ces deux valeurs de t répondent respeciivemenl des valeurs de / -f- a/ et — l -h at égales à /, el par conséquent comprises dans les limites assignées à la variable Ç, pour justifier l'expression employée de 9(Ç).
2/ En faisant tz=^oei /-- —9 on a, pour les valeurs correspondantes de U,
d'ailleurs, on a, par la première des équations (22],
On déduit de là d'abord Tégalité Uo — o, et en second lieu ramplilude cherchée
Dans rétat d'équilibre, le dérangement total du point A s'obtiendrait au moyen de l'équation (2) du n° 13 en y faisant
a: — /, P - o, ce qui donnerait — rr > c'est-à-dire un déplace-
2 ht
ment deux fois moindre que U,. On voit en conséquence par cet exemple, comme par celui du n** 14, que l'inertie de la matière contribue à augmenter les déformations produites par les forces extérieures, ainsi que les tensions moléculaires correspondantes. Ici ces quantités sont portées du simple au double à certains instants du mouvement qui reviennent au
bout d'intervalles de temps — ou 4' i/ T. ' •
« ^ V Lg
(*) Ce temps, pour une barre de fer de i" de longueur, serait environ do
o'',ooo8, ce qui correspondrait à un son parfaitement saisissable à l'oreille, si
Ull'amplitude des vibrations -—- n'était pas excessivement faible, et s'il était pos-
sible d'ailleurs de réaliser exactement toutes les conditions de la théorie.
17. Mouvement vibratoire d'un corps pesant suspendu à ^extrémité d'un prisme vertical et homogène quand la masse de ce prisme n^est pas négligeable. — Nous avons déjà mis le problème en équation au n* 13, et môme nous avons donné sous deux formes différentes l'intégrale de l'équation aux différences partielles qui représente le phénomène dont il s'agit. Dans les n*^ 14 et suivants, nous avons complété la solution par la détermination des fonctions ou constantes arbitraires, en admettant certaines hypothèses restrictives, comme la nullité de la masse du prisme ou du poids P. Maintenant nous allons traiter la question en restant dans les termes généraux du n"" 13.
Reprenons l'intégrale de l'équation ( 3 ] sous la seconde forme que nous loi avons donnée,
{7) " = —T. (^'j: — x-)-^ - - -.- 2 sin/Tix (C sin//i/7r -f- D coswa/) ;
il s'agit de déterminer les constantes /ti, C, D, en nombre infini, de manière que cette équation convienne à l'état initial du système et qu'elle exprime aussi le mouvement du point extrême A [fig. 2, p. 24). Supposons que pour / = o on ait
en identifiant ces valeurs avec celles tirées de la dernière équation, oi;
aura
n Pj
(a4) F(J^)= —B (2/.>c — xM -h^- -i- ïDsin/zix,
{%5) fi-^) - alLmCsinmx.
D'un autre côté, on sait que la tension en un point quelconque du prisme est exprimée par E&> — ? ou, en vertu de l'équation (7), par
n&) (/ — a:) -+- P r- EwI/wcos/wx(Csin/wa/-+- Dcosmat); donc au point A la valeur de cette tension sera
P -f - E w 2 m cos ml ( C sin mat -^ D cos mat ) .
L'accélération du point A sera de môme ce que devient — - pour x = /; or on a, d'après l'équation (7),
—rr - — û* 2 w' sin 771 X ( C sin mat -r- D cos mat ) ; dt' ^
donc l'accélération commune du point A et du corps P a pour valeur
— a'277i'sin77i/(Csin77îflff h- D cos mat).
4u CHàPITEB prbmibr.
(lurnme colto accélération est due aa poids P diminué de la tension au (iuint extrême du prisme, on posera
I/7i'sinm/(Csin/raal -i- Dcosmat)
— P — P — E(»>2mcos/7i/(C8in/ii/i/ — DcosiTfo/), ou, en réduisant et remplaçant a' par -— »
— 2/w ( //ï sinm/ p- cosw/ j (C sin/wo/ -h D oosmat) ~~ o.
Cette équation doit être vérifiée identiquement, quel que soit r ; il faut donc poser
m sin ml — cosml = o,
ou, en désignant par b^ le rapport, nécessairement positif^ du poids n»/ de la tige au poids P,
(aG) /7//tang/w/— b'\
L'équation (26) donnera pour ml, et par suite pour w, une infinité de valeurs réelles, deux à deux égales et de signes contraires. En effet, lorsque ml variera depuis — 00 jusqu'à — oc , le premier membre s'annulera chaque fois que ml deviendra un multiple de la demi-circonférence. Ainsi on aura ml tangw/ = o pour ml — * tt et pour w/ = ( / -h i) tt, I étant un nombre entier quelconque. De plus, entre ces deux limites de /w/, qui comprennent l'étendue d'une demi-circonférence, tangm/ainsi que mltàugml passent par tous les états de grandeur entre — 00 et -t- 00 . Donc, entre ces mêmes limites, ml tangm/ devenant une fois égal à ^', il se trouve une racine de l'équation {26). On peut, de plus, reconnaître que cette équation n'a pas de racines imaginaires. En effet, les racines
de cette espèce se mettent toujours sous la forme a — p y — '1 a et p étant des quantités réelles; il faudrait donc qu'on eût
(a — ^ \/~i ) sin (a-+- p\^ — \ j = b'COS [^-~ p\ -—i)y
soit, en développant le sinus et cosinus,
(a — 1^ V^— 1 )(sinacosf v^ — i -t- cosasinS y/— i j — b' (cosacos^ v^— I — sinasin^y/— i).
Or on sait que
cosf V — I - -(r^ — r-P), sinf v'— I = - y/- i (e^ — e-^]\
donc réquatioD précédente devient
(an- p\/^)[s\nx(c^-:- e-^) -f- cosa (6»^ — er-P) y/— i j
= ù^[cosa{e^-h- e-^) — sina (e^— e-^) V^— i j»
asina(eP-i- e-^)— pcosa (e^—e-^) — ù^cosoL(e^-h e-^)
-+- b^ sin a ( r? — ^-P ) ] - o.
Cette dernière équation ne peut être satisfaite que si la partie réelle et la partie imaginaire sont nulles séparément; on en tire donc
a sina [c^- e-^) — pcosa(e^-~ e-^) — Z>-'cosa (c^-^ c-^. - o, aC0Sa(cP— e-^)-:~ p sina (e^ -i- a-^] -h b^ sina (e^— e-^) - o.
Multipliant la première de ces équations par cosa (e^ — e-^)^ la seconde par sina (e^-h «r-^), et prenant la diirérence des produits, on trouve
P[sin'a («?P-4- e-^y-hcos'x [c^ — c-^y]-h 6* ( e?'^ — <r-'? ) -: o,
relation impossible à satisfaire, à moins qu'on ne suppose p -- o; car les deux termes
p[sin*a{f?^-f- e-^)--+- cos"a(6'^ — 6»-?)^] et b^e^^ — e-^^)
ont toujours même signe que p pour toute valeur réelle de cette variable, et, par conséquent, ils ne peuvent se détruire. Donc, enfin, p est nul, et réquation (a6) n'admet que des racines réelles.
Les racines de l'équation (a6) étant déterminées, on mettra les valeurs correspondantes de m dans l'expression (7) de u. Il ne restera plus alors qu'à déterminer les coefficients constants C et D, en nombre infini, de manière à satisfaire aux équations (24) et (25), c'est-à-dire de manière que les séries exprimées par ID sinmx et par ImCslnmx soient égales respectivement aux fonctions données
F(x)--i^(./x-., = ;:-P-3 et lfi.r),
entre les limites x = o et x = /. On peut suivre à cet effet la méthode suivante, indiquée par Poisson (').
(•) Journal de l'École Polytechnique, XVIII* cahier, t. XI. Mémoire sur la manière d'exprimer les fonctions par des séries de quantités périodiques, et sur l'usage de cette transformation dans la résolution de difierents problèmes.
et ainsi de suite pour les autres. Le môme procédé servirait pour les coefficients C et donnerait l'expression générale
c= —r-r-- is r'--^'cos«çrfç.
ma (^ml -r- sm 2 ml ) J^ cil,
Ainsi donc finalement, si Ton indique par le signe \ une sommation
étendue à toutes les racines positives de l'équation (26), la valeur de u sera
I u = -^ (2lx — Z') -h ■^-
[ 2E ^ ' Ew
Ion) -^4 y — , / -77 / -^'~ cosmt,dt\
\^7 } \ jb^\ ma [2 ml -tsin 2ml) J^^ ci^ J
, V r sin/w J7 cosmat C^ ,-^\ x ^>. "1
^^[2/w/ -f-sm2/w/J^ '^ ' ^ ^y
les applications numériques n'exigeraient plus que des quadratures.
L'analyse que nous venons de donner présente, au point de vue de la rigueur mathématique, un assez grave défaut : c'est qu'on y admet a priori et sans aucune démonstration la possibilité d'exprimer une fonction, entre les limites o et / de la variable, par un développement de la
forme
Dsinwx H-D'sin/w'x h-. . .,
les coefficients w, m\ ... étant les racines positives de l'équation (26); or cette possibilité n'est pas du tout évidente, et il y a là, par conséquent, matière à une objection très-fondée. Pour y répondre de manière à lever tous les doutes, il faudrait entrer dans de longs développements, qui nous écarteraient beaucoup de l'objet de notre Cours. Nous nous bornerons à dire qu'on peut y parvenir en appliquant une méthode indiquée par M. Liouville('), et que, malgré le défaut de la démonstration, le
(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. K"", p. 14 et suiv. Soit f5(j:) la fonction à développer, dont les valeurs sont données entre x = o et X = /; comme on peut la définir arbitrairement en dehors de ces limites, on s'imposera les conditions
b' .. . duil-r-x) b^ ^ ,^ dxz{x l)
On en conclura (par un calcul que nous supprimons) les valeurs des intégrales que M. Liouville nomme p et q, savoir
p= e-'*'rs[x)dx, q^ I <**'^cr>)<£r,
j e-'>^u[x)dx, q^ I
résultat exprimé par réquation (27) n'en est pas moins d'une entière exactitude.
lesquelles seront
en posant
Cela fait, on se trouve dans les conditions voulues pour la réussite de la méthode, et il ne reste qu'à appliquer les formules (a) et (^) de M. Liouville (p. 33 du tome cité).
x\iV^ ^Ulh^irKs» HAn DES FORCES TEANSVEES.UXS PRODUISAXT
