UNE FLEXION PL.4NE

^ I. — Théorie générale.

^ ji / * ' finition du prisme et des forces extérieures qu'il sup^ ^K *v . \i fiotht'ses qui servent de base à la théorie, — Suivant \v |M>«kiuiiiiiiH^ que nous nous sommes tracé à ]a fin de i'Introx^^N vu»n. «pn*H avoir terminé l'élude du cas simple d'un prisme ^nm^Ii.^ \n\ rumprimé suivant sa longueur, nous allons pro- ,OsK^i à rrlUî d'un autre cas, simple aussi, quoique à un degré iuv'uulio, mais qui a des applications très-nombreuses et une iiM^'vMluiKM» très-grande dans la pratique. Voici commentée su^ OMi défini.

Hoii un corps prismatique homogène ou, suivant le langage vn<Unalr(î, une poutre, qui, entre l'une quelconque de ses sec- \[\,i\\H transversales AB {fig. 4) ^^ l'extrémité EF, ne supporte v|uo des forces Q, Q', Q'', . . . parallèles et perpendiculaires

Fip. .\.

Ole":

à Ha longueur; ces forces, quelle que soit AB, sont supposées toujours réductibles à une résultante contenue dans un même plan avec l'axe de figure du prisme ; on suppose, en outre, qu'il y a symétrie du prisme et des forces relativement à ce plan. Dans ces circonstances, l'expérience montre que les sec-

lions transversales, primitivement planes et normales à l'axe longitudinal, sont encore à peu près planes et normales après la déformation produite par les forces Q, et ont conservé leurs dimensions sans altération notable. Le plan de symétrie primitif reste évidemment encore plan de symétrie après la déformation et contient Taxe définitif normal à toutes les sections ; mais nous admettrons, de plus, que le déplacement d'un point quelconque de la pièce s'est effectué parallèlement au même plan. Ces faits sont exacts, non sans doute au même litre qu'une vérité mathématique et rigoureuse, mais avec une approximation suffisante, en se tenant dans les limites que comportent les circonstances ordinaires de la pratique; c'est ce qui a été constaté dans un assez grand nombre d'essais faits par Duleau, Charles Dupin, Wertheim, M. le général Morin, en opérant sur des prismes en bois ou en métal, de dimensions très-variées (*).

19. Recherche des tensions intérieures et de la figure définitive du prisme, — Les hypothèses du n** 18 étant admises comme suffisamment conformes à l'expérience, il n'est pas difficile de se rendre compte des actions moléculaires qui se développent dans une section AB quelconque.

I" Chaque élément superficiel w de AB ayant éprouvé un déplacement dans une direction parallèle au plan de symétrie tend à reprendre sa position première, sous l'action d'une force élastique dirigée en sens contraire; cette force peut donc se décomposer en deux autres, l'une 5, parallèle aux forces Q et située dans le plan de la section, l'autre t, parallèle à l'axe du prisme et par conséquent normale à ce même plan. L'équilibre de la portion de poutre ABEF exige d'abord que la somme des composantes s soit égale à la somme algébrique des forces Q appliquées dans l'intervalle entre AB et EF, ce qui se traduit par l'équation

(i) Is^-IQ.

La somme algébrique des forces Q, qui agissent depuis une

(*) Nous reviendrons plus loin sur quelques-uns de ces essais, quand nous aurons déduit de la théorie diverses formules pouvant bien se prêter à une vérification expérimentale.

.vmTtl DIUtlbHB.

;..-„ ■ ,viv*«iio, soit 2Q, se nomme effort Iraa- .... >'-v •'■''■•* » '"■'■^ glisser l'une sur l'autre les

,,^ ,t, v^v's si'psrées par le plan AB, en agissant

,, ,uv.l ot'iinu sous le nom de cisaille. Les ten-

„.,,-.;■;(.— ï s'i>pposenl à cet effet; leur iniensilé

, .,, -> "!.■■'.• ^to surface a évidemment pour valeur ~t

,.1... ,': :iiio lie la section totale. Nous ne chercherons

,.,.. . .ii<'->i'iit, la valeur individuelle de chacune des

... i M-j-ilirc la loi suivant laquelle Tefforl irancbaot

, , ,;.,ii(ii sur l'aire Q; c'est un point sur lequel nous

i.'iin plus loin. Du reste, nous allons prouver dans

;. ..,11(1 <nii.' ces forces sont, en moyenne, petites compa- ..ii.iii aux forces perpendiculaires /.

M lnii [irojeite sur l'axe du prisme toutes les forces exiéî . ^ .l^i^sant sur ABEF, on aura une autre condition d'équi-

ll^o.

i'ini' sentant par AB' [Jig. 4 et 5) la position finale prise

j par la section AB relativement à une sec-

, 1' lion infiniment voisine CD, considérée

I' ',,. comme fixe, l'équation (?) montre que la

' ' ligne d'intersection 0 des plans AB et A' B'

•» doit passer à l'intérieur de la section. Car,

/j s'il en ciait différemment, les prismes élé-

.( j meniaires tels que mnpq, dont la réunion

forme l'élémenl ABCD de la poutre, auraient tous éprouvé soit un allongement proprement dit, soit un raccourcissement; leurs tensions l seraient toutes de iiiiîme sens, et leur somme ne pourrait être nulle. La ligne 0 iliiil être en outre perpendiculaire au plan de sjmétrie, parce ijtie cette ligne, étant contenue à la fois dans les deux seclions AB, A'B', est normale à l'axe du prisme dans ses positions primitive et dérinilive, lesquelles appartiennent toutes deux au plan de symétrie. Afin d'arriver à définir complètement la position de cette ligne, appelons w l'aire de la section du prisme mnpq par les plans AB, CD; E le coefficient d'élasticité longitudinale de ce prisme;

PRISMES FLfiCHIS PAR DES FORGES TRANSVERSALES. 49

u la distance de &> à la ligne cherchée 0; ^ l'angle des plans A6, A'B' ;

L la longueur mp, égale à la distance primitive des sections ABy CD» avant la déformation.

La variation de longueur du prisme mnpq s'exprime par u^j et cette expression convient aux deux parties de la section AB, séparées par la ligne 0, pourvu qu'on regarde u comme positif d'un côté et négatif de l'autre; l'allongement proportionnel,

positif ou négatif, est en conséquence -y- y et la tension cor-

u vb respondante t a pour valeur Ew -p- (n** 1). Par suite, l'équa-

lîon (a) devient

OU, en remarquant que — est le même pour tous les éléments oj,

ei que dans l'hypothèse d'un corps homogène E ne varie pas non plus,

E Y ^(ùu -- o,

ou enfin 2&)tt :=- o, ce qui montre que la ligne 0 passe par le centre de gravité de la section AB. Cela suffit pour la déterminer, puisque sa direction est déjà connue : nous la nommerons désormais axe de flexion, la flexion étant regardée comme consistant dans le mouvement angulaire ^, qui trouble le parallélisme primitif des sections transversales. Conformément au titre placé en tête de ce Chapitre, la flexion est en outre considérée ici comme plane, parce que tous les mouvements li^* qu'elle produit sur l'ensemble de la poutre sont parallèles à un même plan.

Le lieu géométrique du centre de gravité d'une section transversale quelconque est ce qu'on appelle Jibre neutre; sur tout le parcours de cette ligne on a m = o, de sorte qu'il n'y a ni tension ni pression. Il en est de même évidemment pour toutes les fibres parallèles qu'on pourrait imaginer par les divers points de la ligne 0, ci-dessus déterminée. La fibre neutre n'est autre chose que Taxe longitudinal de la poutre, et par ce motif on la nomme diussï Jlbre moyenne.