I. 3* édit

'iO CHAPITRE DEUXIÈME.

.H" Il y a, pour l'équilibre des forces extérieures appliquées au frorpH A BEF, une iroisième condition, non encore employée : c'etil que la somme des moments de ces forces soit nulle relativrrrnentà un axe quelconque. Choisissant Taxe de flexion O, nous écrirons donc

La somme des moments, relativement à 0, des forces Q appliquées entre la section AB et rextrémiié EF, c'est-à-dire 2..')n,0, est ce qu'on nomme moment fléchissant ou couple Jléchissant pour la section AB. C'est à ce moment ou couple qu'est due la relation y de AB par rapport à CD, et cette rotation entraîne la courbure ou flexion de la pièce. On dit aussi moment on couple Je Jlexion^ dénominaiion qui semble plutôt se rapporter au premier membre de l'équation (3), c'est-à-dire au moment total ^^\ij des forces élastiques t, par lequel est équilibré le moment fléchissant.

L'équation 3 nous permet d'abord de reconnaître que les forces s sont, en moyenne, petites comparativement aux forces /. Soit, en elîel, T, la résultante des forces t pour les éléments w situés d'un même côté de l'axe de flexion; de l'autre côté il y aura une résultante — T,, puisque les forces t ont une somme nulle. Si a, désigne la distance de ces deux résultantes partielles, et/>i le bras de levier moyen des forcesQ, l'équation (3^ pourra s'écrire

ce qui montre que T, est généralement grand par rapport à 2Q, car m, est comparable aux dimensions de la section transversale, etp, est de même ordre que les dimensions lon-

gitudinales.Aplus forte raison peut-on dire que -ry^ > moyenne

des forces /, quand on fait abstraction de leur sens, est grande

iO

relativement à ^ > movenne des forces s. Mais ce raisonne-

ment montre qu'il peut y avoir des exceptions à la règle. C'est

ce qui arrivera pour certaines sections où le moment fléchis*

sant serait très-petit, sans que l'efl'ort tranchant 2!Q remplit la

même condition : px tendrait alors vers zéro, et notre démon-

PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. 5l

stration ne s'appliquerait plus.Il ne faut donc pas oublier tout à fait les tensions 5, produites par l'efiort tranchant, car elles peuvent parfois devenir prédominantes; mais c'est le contraire qui a lieu d'une manière générale.

Introduisons maintenant dans l'équation (3) la valeur cidessus trouvée pour t, c'est-à-dire

/zrrE

remarquons que u est le bras de levier de t, et enfin désignons par X le moment fléchissant iDïLoQ» L'équation (3) deviendra

E^Iwtt^^X.

La quantité 2(k)iiS somme des produits des éléments &> de la section Q, par le carré de leur distance à Taxe de flexion, est ce qu'on nomme, dans la Mécanique rationnelle, le mo^ ment d'inertie de l'aire û relativement à cet axe; nous désignerons ce moment d'inertie par I, et nous écrirons

(4) Eil=x.

^ X De là, on tire v = iTï> et, en ponant cette valeur dans celle

de t.

'^=^""ei I '

ou bien

ce qui fait connaître la tension - par unité de surface en un

point quelconque d'une section transversale Â6. Cette tension, dans une même section, ne varie qu'avec la distance u du point considéré à l'axe de flexion 0, qu'on pourrait nommer Vaxe neutre dans la section dont il s'agit; on voit qu'elle est positive d'un côté de l'axe neutre et négative de l'autre côté, c'est-à-dire qu'il y a d'un côté tension proprement

5a CHAPITRE DEUXIÈME.

dite et pression de l'autre. D'ailleurs, le sens connu du moment X indique le sens du couple résultant des forces /, qui lui fait équilibre; ce dernier couple étant de sens contraire à la rotation i{;, qu'il tendâ détruire, on en conclut que la rotation ^ a lieu dans le sens même de X. Cela permet de voir immédiatement si le prisme élémentaire mnpq, dont /désigne la tension, s'est allongé ou raccourci, et par conséquent la nature de l'effort moléculaire correspondant.

Une autre transformation de Téquation (3) nous permettra de trouver l'équation différentielle de la fibre moyenne déformée. Remarquons que les deux sections AB, CD, primiti* vement parallèles, font, dans l'état définitif, un angle égal à ip. Ces deux sections étant restées, suivant nos hypothèses, normales à la fibre moyenne^ ^^ n'est autre chose que l'angle de

contingence, et y la courbure de la courbe que la déforma-

tion a substituée à Taxe rectiligne primitif. Nommant p le

rayon de courbure j> on aura donc, d'après l'équation (4),

et, si l'on imagine la courbe rapportée à deux axes rectangulaires [xy y] dans son plan,

Mm

le moment X étant censé connu dans chaque section ou donné en fonction de x, on a ainsi l'équation différentielle cherchée.

Lorsqu'on prend comme axe des x une droite peu différente de la fibre moyenne dans son état primitif, et que ^désigae en conséquence le dérangement d'un point quelconque de cette fibre, mesuré par rapport à la droite en question et pa-

rallèlement aux forces Q, •-- reste toujours très-petit, cari'in-

clinaison des divers éléments de la fibre moyenne sur Taxe des X était primitivement nulle ou à peu près nulle, et d'un autre côté les pièces employées dans toute construction suffisamment stable ne sont jamais que faiblement déformées.

I dy\'^ Dans ces conditions ( — \ est négligeable devant Tunité, et

l'équation (7) prend la forme plus simple

dx\ * le double signe s'introduisant ici parce qtt'il existait implici-

tement dans le dénominateur H- ( ;/- ) • Pour faîre cesser

l'ambiguïté, nous conviendrons de compter positivement le moment X quand il tendra à faire tourner dans le sens d'une rotation de Taxe des x vers l'axe des /. La rotation d'une section normale étant identique à celle de l'élément de fibre moyenne qui lui est perpendiculaire, si X est positif, il en résulte, comme on le voit sans peine, que la rotation vj^ cor-

dy d^y

respondante rend —~ croissant et -.— positif. Moyennant cette

convention sur le sens des moments positifs, la dernière équation doit donc s'écrire

d-y^ 18) El V^-X.

^ ^ dx'

20. Généralisation de la théorie précédente, dans l'hypothèse d'une élasticité variable aux divers points d'une même section. — Il n'est pas difficile de modifier la théorie du n° 19, en vue de la rendre applicable au cas où le coefficient d'élasticité longitudinale E varierait d'un point à un autre dans une même section, pourvu cependant que les hypothèses fondamentales du n"" 18 ne cessent pas d'être regardées comme exactes. En écrivant les équations d'équilibre

qui sont toujours nécessairement vérifiées, on ne devra plus

54 CHAPITIB BEUXifcMB.

(aire passer le coefGcient £ en dehors du signe de sommalion 1; elles deviennent alors

La première de ces relations nous apprend alors que Taxe neutre ou Taxe de flexion relatif à une section passe par son centre de gravité, ce point étant déterminé dans l'hypothèse où chaque élément superficiel aurait une densité numériquement égale (ou proportionnelle' à son coefficient d'élasticité longitudinale, ou, en d'autres termes, qu'il passe par son centre d'élasticité (n®2). La seconde nous fournit la va-

leur de j-» qui, transportée dans l'expression Ew -p- de /,

conduit à la formule

Remplaçant enfin ~- par -^ ou simplement p.^r -y— si Taxe des X s'écarte peu de la fibre moyenne primitive, on a

(lo, -j^^lEw'j) =- X.

On voit que le cas dont il s'agit n'apporterait pas beaucoup de difficultés nouvelles sous le rapport du calcul. Mais il a été peu étudié par l'expérience, et la vérité des hypothèses fondamentales pourrait laisser plus de prise au doute. Du reste, on ne pourrait guère appliquer celle théorie que pour plusieurs poutres homogènes, faites de matières différentes et liées ensemble de manière à consiituer une poutre unique; car il n'existe pas de corps continu pour lequel on sache la manière dont le coefficient E varie à son intérieur.

La quantité lEu-oy, ou El s'il s'agit d'une section homogène, est ce que nous appellerons moment d'injlexibilité.

Pour une courbure '- égale à i, celte quantité serait égale au

moment du couple résultant des forces élastiques; d'un autre côté, elle figure en dénominateur dans l'expression de la

courbure y> qui répond à ua moment fléchissant donné, et,

par conséquent, elle mesure en quelque sorte la difficulté de fléchir le prisme, ou, ce qui est la même chose, son inflexibilité.

Le moment d'inflexibilité n'est autre chose qu'un moment d'inertie relativement à Taxe de flexion, en imaginant que chaque élément superficiel possède une masse égale au produit de son aire w par son coefficient d'élasticité longitudinale E.

21, Extension de la même théorie au cas de pièces ayant leur axe longitudinal à peu près droit et leur section transversale lentement variable. — Modifions les hypothèses du n° 18 relativement à la forme du corps, et admettons : i° que son axe longitudinal, au lieu d'être rigoureusement rectiligne, soit une courbe peu éloignée d'une droite et toujours contenue dans le plan de symétrie; 2" que la section transversale ne soit pas tout à fait constante, mais varie avec une certaine lenteur. Admettons encore que les forces extérieures agissent, dans le plan d^ symétrie, à peu près normalement à l'axe, et que la déformation produite soit soumise aux mêmes lois. Les actions moléculaires développées dans une section doivent encore faire équilibre à des forces extérieures sensiblement parallèles et donnant une résultante peu différente de leur somme : on aura donc les mêmes équations d'équilibre (i), (2) et (3), et l'on en tirera les mêmes conséquences relativement aux valeurs des forces moléculaires, soit normales au pian de la section, soit contenues dans ce plan ('); on arrivera aussi à la même position pour les fibres neutres et à la même valeur de la rotation ^ ou flexion.

Quant à la recherche de la déformation subie par la fibre moyenne, il faut remarquer que la rotation ^ représente la quantité dont s'est accru l'angle de deux sections infiniment voisines; si l'on continue à nommer p le rayon de courbure

(*) La vérité de cette assertion exi(re qu'on puisse considérer comme constante la lonfjueur primitive des divers prismes élémentaires mnpq entre les sections infiniment voisines AB, CD {fig. 5). C'est ce qui a lieu rigoureusement ponr les pièces rigoureusement droites : on peut donc admettre ici la même chose à titre d'approximation.

04j chapitre DBCXIÈBE.

d/:nriiUf après ia déformation, et si p« désigne le rayon de nourbure au même point dans l'état primitif, on aura donc

En choisissant un axe des x peu éloigné de coïncider avec la fibre moyenne, et nommant ^, et y\ les ordonnées primitive et définitive d'un point de celle-ci, on aura sensiblement

G, dx' G dxpar suite

L dx-

et enfin, si Ton nomme y le déplacement^-, — r. éprouvé par le point sous l'action des forces,

ù d y L ~ dx-'

Comme les conditions d'équilibre donnent la valeur de -y-

JLi

égale au quotient de la division du moment fléchissant par le

moment d'inflexibilité, en égalant ce quotient à -; — ? on re-

dx-

tombera sur les équations (8; ou (lo), suivant le cas.

On voit donc, en résumé, que la théorie des n*'^ 19 et 20 s'applique approximativement aux corps dont la figure rentre dans la définition plus générale actuellement admise.

22. Digression sur le centre de gravité d'une surface plane y homogène ou non, et sur ses moments d'inertie relativement à des axes contenus dans son plan. — Nous avons eu à considérer plus haut ;n° 19) le centre de gravité de la section transversale d'un prisme, dans l'hypothèse d'une section homogène ; un peu plus loin (n°20 , nous avons supposé que ce centre de gravité serait déterminé en attribuant à chaque élément superficiel w une densité égale au coefficient d'élasticité E du prisme matériel ayant ûj pour section droite. Nous avons eu besoin aussi de faire entrer dans nos calculs le moment

Fig. 6.

d'inertie I ou 2Ea'a) de la même surface relativement à un certain axe contenu dans son plan, ces moments étant calculés dans les mêmes hypothèses sur la densité des éléments w.

Il est utile d'ajouter ici quelques détails sur ces questions accessoires. En outre, comme nous aurons besoin par la suite de considérer les moments d'inertie à un point de vue plus général que celui des n" 19 et 20, nous allons supprimer toute restriction sur la position de Taxe dans le plan. Nous aurons, enfin, à rechercher le moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire au plan de la surface.

(a) Définition du centre de gravité d'une surface plane, de son moment d'inertie et de son rayon de gyration relativement à un axe, — Supposons une surface'plane ABCI) [fig. 6), et imaginons qu'elle soit décomposée en éléments superficiels &). Appelons :

Xy y les coordonnées d'un point renfermé dans Taire infiniment petite co, par rapport à deux axes rectangulaires Qxy 0/;

u la distance de ce même point à une droite quelconque, Oz par exemple, que nous supposons prise, comme 0;r et Oj, dans le plan ABCD;

E un nombre déterminé en fonction de x et de y, lequel peut être constant ou variable; ce nombre est le coefficient d'élasticité longitudinale au point [x^y).

Conformément aux définitions données dans la Mécanique rationnelle, nous appellerons centre de gravité de la surface le point G dont les coordonnées x^ Ji satisferaient aux relations

^,2Eco--2E^a),

J, 2E&)::=2EjW,

le signe 2 étant l'indice d'une sommation étendue à tous les éléments o).

Le point G est indépendant du choix des axes. Pour justifier le nom qu'on lui a donné, il faut concevoir que la surface soit

matérialisée, qu'elle ait pris une épaisseur extrêmement petite, et que le nombre E soit en quelque sor^e la masse de l'élément w rapportée à l'unité superficielle, ou plus simplement, si l'on veut, sa densité. Le centre de gravité de la surface ne sera donc autre chose que celui d'un corps dont la masse totale aurait pour valeur 2Ew.

Une extension analogue a lieu pour les moments d'inertie. Le moment d'inertie de la surface ABCD relativement à l'axe Oz sera, par définition, celui du corps matériel que nous substî* tuons à la surface : il aura pour expression analytique

Enfin, le rayon de gyration r relatif au même axe devra satisfaire à l'équation

Si Taxe 0:: coïncide avec l'axe 0 des/ig. 4 et 5, le moment d'inertie relativement à Oz deviendra ce que nous avons nommé moment d'injlexibiliié ( n° 20 ) ; le moment d'inertie I, dont il est question au n° 19, doit se calculer en supposant E constant et égal à i.

Les propriétés des moments d'inertie qui vont être rappelées sont une conséquence immédiate, ou, si Ton veut, un cas particulier de celles qui appartiennent en général aux moments d'inertie des corps matériels; c'est pourquoi elles seront énoncées sans démonstration.

[b] Loi de la variation des moments d'inertie d'une surface plane, relativement à des axes parallèles ou concourants situés dans son plan, — Le moment d'inertie d'une surface plane, relativement à un axe quelconque, est égal au moment d'inertie de la même surface relativement à l'axe parallèle passant au centre de gravité, augmenté du produit de la masse totale de la surface par le carré de la distance des deux axes.

Soient, par exemple, la surface ABCD (Jig, 6);

G le centre de gravité;

0^ et G^i deux droites parallèles dont l'une contient le

point G et qui sont séparées par la distance k; y, Xi les dislances respectives d'un élément superficiel à ces

deux axes;

r, r, les rayons de gyralion de ABCD relalivemeni à Ox et En conservani \es autres notation^ du n® 22 (a), on aura

ou bien, par suite de la définition du rayon de gyration,

r=2Ew z.= rj 2Eu) -f- k'IEoi, c'est-à-dire

équation dont renoncé en langage ordinaire remplace quelquefois celui que nous avons donné ci-dessus.

Supposons maintenant qu'on cherche les moments d'inertie de la même surface ABCD relativement à divers axes situés dans son plan et passant par un même point 0, tels que 0^, puis que sur chacun d'eux on porte une longueur ÔS qui soit en raison îhverse du rayon de gyration correspondant; le lieu des points S ainsi obtenus sera une ellipse ayant le point 0 pour centre, propriété remarquable qui donne une idée de la manière dont varient les moments d'inertie de la surface autour des axes qui concourent en 0. Nous allons donner quelques développements sur celle loi de variation, pour la faire connaître plus complètement.

[c] Ellipse d'inertie; ellipse centrale d*inertie; axes principaux, — L'ellipse dont nous venons de parler est ce que nous appellerons Vellipse d'inertie de la surface pour le point 0; si le point 0 se confond avec le centre de gravité G de la surface, nous emploierons la désignation 6*ellipse centrale d'inertie. Les axes principaux de l'ellipse correspondant à un point sont dits axes principaux d'inertie de la surface en ce point.

La détermination des axes principaux pour le point 0 peut être effectuée ainsi qu'il suit. Ayant tracé par ce point et dans le plan ABCD (Jtg. 6) trois axes Ox, Oj, Oz, dont les deux premiers se coupent à angle droit, tandis que le troisième fait l'angle a avec Ox, nous appellerons :

M l'un quelconque des éléments superficiels, répondant aux coordonnées x et j, et ayant une densité E;

ClkMTBB DEDXibME.

^Ex^u, C = lExya, trois sommes dont ^ TTi^s sont les moments d'inertie de la surface t.:\ iTcs des X et des j^; ! atonie de cette même surface par rapport

Vu> i.;:r\-,r.* ilors

«< SI ir\'.:s [>rt^nons ÔS = -^i D étant une constante dont nous

d\«v*t'^ Iji raleur ultérieurement, le lieu des points S, c'est- ^irv l'ellipse d'inertie, aura pour équation Aar=-i- B.r'— iîCsr= D=.

(\>ur eu avoir les axes principaux, il sufiîra, conformément à cf nue l'on enseigne dans la Géomélrie analylique, de prendre ilo* axss Ox', Oy obtenus en faisant tourner le système ^0 ar, dans le sens de x vers y, d'un angle s déterminé par la condition

t3ng2E -

$i l'on rapporte l'équation de l'ellipse aux axes des coordonnées 0^' et 0/, le double rectangle disparaît et l'équation se réduit a

A' et B' étant déterminés par les relations

Ddiis certains cas, les axes principaux en un point sont connus a priori et sans aucun calcul. Ainsi l'on démontre que louie ligne de symétrie est un axe principal en tout point de son cours, si l'on admet, bien entendu, que la symétrie existe non-seulement quant à la figure, mais aussi dans la distribution des masses; toute perpendiculaire à une ligne de symétrie est uxc principal en son point de rencontre avec cette ligne; enlin, toute ligne qui est axe principal et qui passe par le

PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORCES TRANSVERSALES* 6l

centre de gravilé est axe principal dans tous les points de son cours.

Lorsque les axes principaux coïncident avec les axes coordonnés, le double rectangle zCxy disparaît de l'équation de Tellipse d'inertie, comme nous l'avons déjà remarqué. On

doit donc avoir

2Ej:j&)r=- o,

relation qui peut servir à caractériser les axes principaux; car, si elle est satisfaite, on voit que, réciproquement, le terme en xy manquera dans l'équation de Tellipse, ce qui ne peut avoir lieu, les axes coordonnés étant rectangulaires, que lorsqu'ils sont en même temps diamètres principaux.

(d) Équation de l'ellipse d'inertie ramenée à sa forme la plus simple; propriétés des diamètres conjugués, — Les lettres A'et B', définies au n° 22 (c), ont pour les nouveaux axesOa:', 0^^ [Jig. 6) le même sens que A et B pour Oor, Oy; elles représentent donc respectivement les moments d'inertie de la surface par rapport aux axes des x' et des y y soit lEy^cù et IEj/'û). Appelons a ei b les rayons de gyration correspondants, lesquels sont déterminés par les relations

b'lE(ù^lEx"(ùzz^B',

et posons en outre, pour fixer la valeur de la constante D,

D'-^a'b'lEcù; alors réquation (ii] se réduit à

Le moment d'inertie [i, par rapport à Oz, est exprimé par -—5 puisque QS — —z=z par définition; on aura donc aussi

os' ^l^

a^b^ |x = i^=:r ZEû), c'est-à-dire que le rayon de gyration corres-

pondant sera -=* Ou bien encore, en désignant par p le demi-

6^ CHAPITRE DEOUÈMS.

diamètre 08, />' le dcmi-diamèire conjugué OS', è l'angle SOS', on aura, en vertu de la relation connue ab =: pp' sindy

/ fjL ab , . ^

V 2Ew p '^

me sora donc autre chose que la perpendiculaire S'T abaissée du i^oini S' sur OS; ou bien, en d'autres termes, la surface pourrait t^tro condensée, sans altérer son moment d'inertie rc^\AU\omonl à un axe OS ou Ozy sur l'extrémité S' du diawèuv conjugué de Oz dans l'ellipse d'inertie. Cette ellipse poui d^alllours être prise pour un point 0 quelconque de TavoOs, et, comme le rayon de gyration S'T ne peut pas chaniior, il en résulte immédiatement que le lieu des points S' oonvspondants sera une ligne droite parallèle à Oz et située à \^ distance r, conséquence assez curieuse que nous mentionnons on passant, bien qu'elle ne doive pas nous être utile.

Trouons maintenant pour axes coordonnés les deux directions conjuguées OS, OS', et nommons s et s' les coordonnées qui leur sont respectivement parallèles. Les autres notations conservant le même sens que précédemment, nous allons montrer qu'on a les deux relations

Pour établir la première, il suffit de remarquer que, m et 5^ désignant deux distances d'un même élément wà l'axe Oz, l'une mesurée normalement et l'autre obliquement, sous l'angle d,

on a

u - 5'sinô,

par suite

lEa^o) =^ r=2E&) = sin^ôIEs'-co,

et, comme on vient de voir que r est égal à />'sin5, il en résulte Immédiatement

ce qui, par la suppression du facteur commun sin^S, donne notre première relation.

Quant à la seconde, on y arrive en se servant des formules

de transformalion qui permettent de passer des coordonnées obliques s, y aux coordonnées rectangulaires x\ y. En appelant 6 et 0' les angles a:' OS, ^'OS', ces formules sont (comme on le retrouve facilement par le moyen ordinaire des projections)

s sinô r- j;'sin0'-i- j'cosO',

s'sinô i-x'sin0 — j'cos^.

Il en résulte

is'sinM — j:'=sin0sin0' — j"cos0cosO'-+-xysin(0 — 0');

or, en vertu de ce que Qx^ et Qf sont axes principaux pour le point 0, on a (n*» 3) IEj^'j^w — o; donc

sin'ôIEw'co r. 1 sin0 sinO'2Ex"û) — cosO cos0'2E/'w

- sin0sin6'.ft'2;Ew — cos0cos(3'.a'2Ea)

— b^cosO cosO'IEw (tang()tangO' — 1^

On sait, par la Géométrie analytique, que les angles 9 et 0' sont

liés par la relation tang0tang0'= j- : donc enfin la somme 2E5/&) est bien égale à zéro.

(e) Recherches des moments d* inertie par le Calcul inté^ gral; moment d'inertie d'une surface plane relativement à un axe perpendiculaire à son plan. — Un axe quelconque étant tracé dans une surface plane, prenons-le pour axe des x et traçons une perpendiculaire qui sera Taxe des/. Si Ton décompose la surface en portions infiniment petites par des parallèles aux deux axes, et qu'on appelle, comme ci-dessus, £ la masse rapportée à Tunité de surface en un point quelconque, le moment d'inertie de la surface relativement à l'axe

des X sera exprimé analyliquement par / JEydxJx, Tin-

tégrale devant être étendue à tous les points de la surface. Le rayon de gyration r correspondant devra satisfaire à la relation

' j JEdxdx^ f iEfdxdy.

Pour que le problème soit défini, E doit être connu en fonc-

^ cDAPiTii omit».

l',^n àf .r fi rfo y, ei il faul connallre aussi la forme du pérîr-:.'iri'; Jos liTs la recherche doni il s'a^ii se réduit à une ,-,;'.i-ulli'iraii'iivse, qu'on peut toujours surmonier, au besoin, -Nir 1.- pr^'i-.'O.'sd'oiiproximalion connus.

O.uiiil it s'i'pit d'un axe perpendiculaire au plan de la sui^ ...v. on II' l'ri'iiant pour axe de z et laissant les x et les x vLiimo oî-di-ssus, le moment d'inertie s'exprimera par l'inté-

f fK}-dx(Ix^ f fEx'dxdy,

V iiiil rium'-nc iri's-simp1ement ce cas au précédent. Oo voîl ■Il l'iVi't 'l'i'i' •''i"^' '^^ (à'tre la somme des deux moments liiiii'riit' il<! la surlace relativement à deux axes rectangulaires ]Mt'li'"iii{ui's situes dans son plan et se coupant au point où ('lio i'>^l riMiconlrce par l'axe donné. Si ces deux axes rectan- Kiiliiin's sont axes principaux d'inertie pour leur point decoDt't'iirs, on aura, suivant les notations du n°22 (d),

C Cv.y'dxdy.-a'lEo^, f fEx'dxdx= b'-lEt^.

,,t, pur l'addition membre à membre de ces égalités,

hx-''dxd}r=:zia'^b']lEa;

ff-

vitt conclut facilement de là que le carré du rayon de gyratîon l'i'pijiidant à l'axe perpendiculaire au plan de la surface esi l'i^.il ^j la somme des carrés des deux demi-diamètres princiy:\u\ lie l'ellipse d'inertie ayant son centre au pied duditaxe ,l,.Ms I.M.I;""-

yiiinid riméfiralion rigoureuse des expressions ci-dessus iliiiiiR'i's sera impossible ou trop difficile, on fera usage des iiiciliiiilcs d'iipproxinialion. Par exemple, on pourra partager |;i sui r;i(-i; en clriueiits lînis, mais assez petits, que l'on consiili'ii'ij coniineutitunt lie points matériels; puis on calculera le muiiiciil d'iiKM'tie de chacune de ces masses, et l'on en fera la sniniiic. Si lu surface est homogène, et que l'axe donne soU

daDs son plan, on la divisera en tranches parallèles à cet axe, et riniégrale double sera alors remplacée par l'intégrale simple des moments d'inertie de ces tranches; la méthode de Simpson deviendra donc applicable.

Il serait aisé de poser d'autres formules symboliques en employant les coordonnées obliques ou les coordonnées polaires; on ne s'y arrêtera pas ici.

(f). Expressions toutes calculées de moments d^ inertie de surfaces homogènes. — Nous allons maintenant donner les valeurs toutes calculées des moments d'inertie et des rayons de gyration de quelques surfaces planes par rapport à des axes déterminés. Nous supposerons la densité constante et égale à l'unité, valeur particulière qui, une fois Thomogénéité admise, n*altère pas la position du centre de gravité, ni les rayons de gyration, ni l'ellipse d'inertie relative à un point.

i" Bectangle plein et homogène. — Soient / la largeur AB (Jig. 7), ^ la hauteur BD, 0 le centre du rectangle, 0:r, 0/ deux parallèles aux côtés. Le moment d'inertie

relativement à Oj-, ou Swj', est égal à — //i',

et le rayon de gyration correspondant a pour

carré

^Ih'

Ih

î soit — h^ •

Le moment d'inertie, par rapport à 0/, s'exprime de même par — A/% et le carré du rayon

de gyration par — /'.

D'après une remarque du n" 22 (r), Ox et Oy sont les axes principaux pour le centre de gravité. En conséquence, Tellipse centrale d'inertie sera représentée par l'équation

iix*

elle sera semblable à l'ellipse inscrite dans le rectangle, et aura pour demi-axes les longueurs - / i/o' ~ ^' \/^' soit 0,577 - et 0,577 -•

a** Rectangle évidé homogène, — Nous supposerons d'abord que la surface soit symétrique par rapport à deux axes rectangulaires 0^, Or {fig. 8), dont le point de rencontre sera le centre de gravité. Soient ÂB = /, BD = A, ÊF -f GH = /', HM = h\ On aura :

Pour le moment d'inertie relativement à Ox,