I. 3- édit
66 CBAPITII DELXlfcXE.
Pour le momont d'inortio rolalivement à Or, Fig. 8.
Pour l'aire de la surface,
ioj = M /'/.'.
On en déduira aisément les rayons de gyralion autour de Ox et Oj, et l'on pourra construire , l'ellipse centrale représentée sur la figure.
Dans le cas où la symétrie n'existerait pas, ^ " D la recherche de l'ellipse centrale d'inertie serait
un peu plus complexe, parce que le centre de V u i/ \\%^ «omit pas connu d'avance. Néanmoins les calculs, quoique plus v^'.N'» wx'^ prtNHimtoront aucune difficulté, et nous ne croyons pas utile >» ^'^s xloHuiM* un exemple. Le problème se résoudra toujours au moyen A^t u\xho(Hi(»nH (générales précédemment données.
i' i't'fr/t' plein ou couronne circulaire homogène. — Le moraenl >* v^xMlio d'un cercle de rayon R par rapport à un axe quelconque 0:i
■'i \))t passant par son centre, a pour valeur - ttR*. Le rayon de gyra-
U\\\\ n exprime par
ou par - R. L'ellipse centrale d'inertie sera
vis»iu' un cercle OA ayant un rayon moitié de celui du cercle proposé OB.
Fie- 9-
Fig. 10.
S'il s'agit d'une couronne circulaire, en appelant R le rayon OA du cercle extérieur {^g. lo), r le rayon OB du cercle intérieur, le moment
d'inertie relativement à un diamètre Ox s'exprimera par 7 7r(R' — r*), le
rayon de gyration correspondant par
-i = iv^UM-r-.
C'est lo rayon du cercle OC qui remplace l'ellipse centrale d'inertie.
4* Ellipse pleine ou couronne elliptique Jiomogène, — Soit Tellipse ÂBCD (fig. Il), dont nous désignerons le grand axe ÂB par / et le petit
axe CD par /<. Les moments d'inertie de la surface, relativement aux lignes AB et CD, ont respeclivcraent pour valeur -T- TT Ih^ et ;;-T 7r/i/\ L'aire de Tellipse 64 04
étant d'ailleurs égale à 7^?//*, les deux
rayons de gy ration correspondants seront
i /-tr A' et 4 /— /* , c'est-à-dire - /i et y ib Y 16 ' 4
7 /; d'où il suit que l'ellipse centrale
d'inertie [dont les axes principaux, d'après une remarque du n° 22 (c), sont dirigés suivant AB et CD] sera l'ellipse donnée dont les dimensions auraient été réduites de moitié.
Lorsque l'ellipse présentera un vide int45rieur de forme elliptique, il y aura toujours possibilité de trouver sa surface et son moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, en calculant la différence des surfaces et des moments d'inertie de deux ellipses pleines. Dans le cas particulier où le contour du vide serait concentrique et semblable au contour extérieur, et semblablement placé, on reconnaît aisément, au moyen de cette méthode, qu'en appelant m le rapport des dimensions de l'ellipse intérieure avec celles de la grande ellipse, l'ellipse centrale d'inertie est encore semblable aux deux premières, qu'elle est semblablement placée, et «qu'elle a pour axes
-l \/i-i- m- et 2 2
-l ^i-i- m- et - h^i-i- ///'.
Nous nous bornerons à ces exemples. Le lecteur pourra trouver d'autres expressions toutes calculées de moments d'inertie des surfaces homogènes, dans les Ouvrages sur la Résistance des Matériaux et les Aide-Mémoire de Mécanique pratique. Quant aux moments d'inertie de surfaces non homogènes, il sera bien rare qu'on puisse en faire usage dans les applications, car les données numériques manqueraient pour cela. Si toutefois le cas se présentait, on se reporterait aux considérations générales que nous avons présentées plus haut, à l'occasion de la recherche des moments d'inertie par le Calcul intégral.
23. Solides d'égale résistance, — Soit une poutre homogène ayant son axe longitudinal à peu près rectiligne et sa section lentement variable; la tension par unité de surface en un point quelconque d'une section donnée est exprimée
: t.- f,--tjii'.)e s du n" 19 :
O'ino'i on sr fiis,"f »ii"t divers points d'une même section, cou,- i<^n-;i.-.n vu- r ><'ulemeiit avec la dislance désignée par « Cl Hi'viciii If f !tt> trande possible quand u prend sa plus grande
i;iii>ni h Si ,-r;ii" lonsion limiie —r- resle invariable pour
tonii'v )r# sf>i"iii.''ns. on dît que le solide esl d'égale résis-
Monir.^ns par nuolques exemples comment celte condition rorx'oun a .Icu-rminer la forme de la pièce. Soii une pièce à libre tn>\>cniio liorizontale, ayant pour section un rectangle Af largeur A et de hauteur c; supposons celle pièce encastrée B mw fxtrr-milé et supportant à l'autre un poids unique Q, dont jr destinera la distance a une section quelconque. Le
mom«ni d'inertie 1 sera ici égal à — bc' [n" 22 (/)], la valeur maximum de « sera -c, et l'expression ^ aura pour maximum dans chaque section -r-— ■ Ainsi l'on devra saiisraire à U condilion
-,-- =consl.
bc'
Cotte équation entre trois variables x, b, c ne suffit pas pour fuer tout il fait la forme de la pièce, car on pourrait se donner une des dimensions ft ou c en fonction de x, et en conclure l'autre é^iilement en fonction de x. Si, par exemple, le solide g toujours la même épaisseur mesurée perpendiculairement au plan jws^anl par Q et la fibre moyenne, b étant constant,
— le sera aussi. Cl par conséquent dans ce plan le profil de ia
pièce serait une parabole, c'esi-à-dire que les hauteurs c des sections sTiccessives croîtraient comme les ordonnées d'une parabole du second degré, doni le sommet sérail sur la force Q, Ce résultai esl d'ailleurs subordonné à ce que l'on néglige les actions s dues à l'effort tranchant [n" 19), ce qui permei
PRISMES FLfiCHIS PAR DBS FORGES TRANSVERSALES. 6g
de réduire à zéro la valeur de c près c^u point d'application de la force Q; en pratique, cette réduction ne pourrait pas avoir lieu, et il faudrait renforcer le solide aux environs du point dont il s'agit.
Si la charge, au lieu d'être unique, était uniformément ré* partie suivant la longueur, p étant sa valeur parmèlre courant,
le moment X serait - px^. Il faudrait poser
3px'^
-r — — const. ;
dans le cas de 6 constant, — serait donc une constante, c'est-
à-dire que la parabole serait remplacée par deux lignes droites.
En joignant à la charge uniforme p une force de sens
contraire Q appliquée à l'extrémité, X deviendrait égal à
Qx px^ : on aurait alors
^ , -^ — '- r- const.,
et, en conservant l'hypothèse d'une épaisseur b invariable, le
profil triangulaire qu'on vient de trouver se transformerait en
2Q une ellipse. Les sommets répondent à a: =: o et ^ = — 5 dans
l'intervalle, X reste toujours positif, de sorte que l'équation précédente reste toujours applicable. Si la longueur de la pièce
2O dépassait —^7 le moment X devenant négatif au delà de cette
valeur de x, le second membre de l'équation devrait changer de signe, de sorte que la suite du profil serait une hyperbole tangente à l'ellipse; le point de contact serait un sommet commun aux deux courbes. Il est bien entendu- que la considération des efforts tranchants ne permettrait pas d'accepter complètement ces résultats, comme on l'a déjà dit tout à l'heure.
Au lieu d'encastrer la pièce, on peut la faire reposer sur deux appuis distants d'une longueur 2a. Si l'on fait agir au milieu une force 2Q, chaque appui exercera une réaction Q,
70 (-■iprriB DiDXibMB.
m \c Tf-^n-'cri \ * U disiance x d'un appui s'exprimera par Q:r, comme lians !c fn-niior exemple, pourvu que x resie inférioiirc à a. ( hii.)iu* moitié de la pièce se comportera comme si ollc fiait ondsin'e dans la section du milieu et chargée d'une (orcc 0 à son extrémité; en supposant la section rectangulaire, on rentre ainsi dans un cas déjà traité. On arriverait à un r<-<»lui analogue dans l'hjpoihèse d'une charge unifonne /> par moire courant, car, chaque appui donnant une réaction l'^r^le à pa, le moment fléchissant dans une section
prise à la distance a^ de cet appui aurait pour valeur/>aj^— -pa:'i ce qui est un cas particulier de l'expression Qx px', que
l'on a rencontrée ci-dessus. L'épaisseur b étant supposée constante, le profil de la pièce serait une ellipse ayant un sommei à chacune des deux extrémités de la (ibre moyenne.
Les exemples pourraient se multiplier à l'infîni ; nous nous en tiendrons à ceux qui précèdent.
ik. Relation entre le moment de flexion et l'effort tranchant. — Nommons, pour une poutre quelconque soumise à des Torces transversales parallèles et dans un même plan,
Q l'une quelconque des charges qui agissent perpendiculairement à la fibre moyenne, en y comprenant les réactions des appuis fixes;
g l'abscisse de la force Q, relativement à une origine choisie d'une manière arbitraire sur la fibre moyenne;
X l'abscisse, relativement à la même origine, d'une section (3) quelconque, a laquelle répondent le moment de flexion X et l'eirort tranchant P;
/ l'abscisse de la section faite à l'extrémité de la poutre.
En désignant par la caractéristique 2 une sommation étendue à toutes les forcesQ qui se trouvent entre la section (S) el la fin de la poutre, on aura, par la définition même des quantités X et P [n" 19],
P===tIQ,
PRISMES FLfiCHIS PAR DBS FORCES TRARSTBRSALES. 71
d'où résulte la relation
rfX
L'effort tranchant est donc égal, en valeur absolue, à la dérivée du moment de flexion par rapport à l'abscisse. Ces deux
quantités P et ^ ont d'ailleurs même signe ou des signes contraires, suivant le sens positif qu'on adopte dans le calcul de X et de P; les signes seront contraires lorsqu'une force Q comptée positivement dans la somme algébrique 2Q donnera lieu à un moment compté positivement dans l'autre somme algébrique 1Q(Ï^ — x).
Il est bien essentiel de faire observer que la même relation entre X et P ne subsisterait plus dans le cas où le moment fléchissant proviendrait en partie d'un couple à répartition continue. Si l'on suppose, outre les forces Q, une infinité de couples élémentaires ixdl, on introduira ainsi dans la valeur
J fidl,
de X le terme I jutdÇ, dont la dérivée par rapport à x serait
— fx;donc-T— aurait éprouvé un changement, et, comme
d'autre part l'addition de couples ne modifie en rien les efforts tranchants P, il est bien évident que l'égalité entre les valeurs absolues de ces deux quantités ne pourrait plus avoir lieu. On devrait poser alors
25. Du glissement longitudinal des fibres et de la répartition de l'effort tranchant sur une section transversale, — Les tensions longitudinales produites par le moment fléchissant (n" 19) ont pour conséquence de faire naître une tendance des fibres à glisser les unes sur les autres dans le sens de leur longueur ; à ce glissement est opposée une force élastique, dont la détermination entraîne celle de la répartition de l'effort tranchant sur les divers éléments d'une section donnée. Telles sont les propositions que nous allons maintenant démontrer.
Soient AB et CD (^g*. 12) deux sections infiniment voisines,
is \c< on doux points 0, 0, de la fibre moyenne qui répondent j) 4V5 abscisses x, x -h rfx, comptées suivant celle ligne; la so* non VB est représentée dans sa vraie grandeur en AO'BO^;
Fig. ia.
ni
M ligne C'C est son axe neutre ou axe de flexion. Nommons
X* P le moment fléchissant el l'efTort tranchant dans la seclion AB;
H la dislance entre Taxe neutre O'O" et une parallèle q'q" quelconque;
h la longueur ^Y'5
l le moment d'inertie de la section relativement à Û'C;
^ la somme des tensions longitudinales des fibres traversant la partie H' H" A de la section, comprise entre une parallèle quelconque H' H" à Taxe neutre el la tangente parallèle la plus éloignée;
Uy^ Ui les valeurs de u pour H'H" et cette parallèle extrême;
i, la valeur de 6 pour u === m,, c'est-à-dire la longueur U'U";
i, la valeur de h pour u =^ Mj.
La tension par unité de surface sur la bande infiniment mince nfn"qq" est ^^ (n** 19); en nniltiplianl par la surface bduy on a la tension elle-même, et il en résulle
- 1 bu du.
Supposons maintenant la section constante : d variera cependant d'une section à l'autre, à cause du changement de X; dans la partie CG de la section CD, qui répond aux mêmes
valeurs de «t el m„ cette force aura pris riniensiié 9 -f- dO, el l'on aura
d9:~. ' - I budu,
OU bien (n** 24)
Pdx C"'' dO -- — ,— / hu du,
La force dO tend à faire glisser le solide ACGH suivant le plan GH, ou, si Ton veut, elle tend à faire glisser les fibres situées au-dessus de GH sur celles de dessous, suivant une direction parallèle à la longueur de la pièce; elle ne peut être tenue en équilibre que par la résistance tangentielle du plan GH, laquelle aura pour grandeur rapportée à l'unité de surface
de p r"\ ,
Si la section n'était pas constante, la recherche de dQ serait beaucoup moins simple, car X ne varierait pas seul dans l'expression de 6; il faudrait faire varier en même temps b, Uiy Wi et L On aurait généralement
,. vdx r'"' . \dx r'"' db ,
ad = — r— / bu du - — — I u ^- du
~ (^2 M, du, — bx Uy duy ) r^— / bu du.
d'où résulterait une tout autre valeur de l'action tangentielle par unité de surface sur le plan GH.
Cette considération du glissement longitudinal et la méthode élémentaire que nous avons suivie pour en tenir compte ont été indiquées pour la première fois dans un Mémoire du colonel russe Jourawski ('). Elle montre d'abord la nécessité d'avoir égard à un nouveau genre d'actions moléculaires. Elle explique aussi pourquoi deux poutres superposées de ma-
(*) Annales des Ponts et Chaussées^ i856, a® semestre.
Il» »"
CRàPITBB decxièhe.
«** : >c l,•i.^•^^^ pr un plan, mais non invariablemeni liées • lu' I '«;*.••*''> î^^ resisieni pas comme une poutre unique , •' ^f r ^^r'^s.ons à leur ensemble : c'esi parce que le n. if ^ v» i^.i «^ fourniraii pas une assez grande résistance au •no', .ô.ifiuuiinal. Aussi a-t-on soin, quand on veut fori.tc T» «'^vV unique par la réunion de deux poutres, de ^^ ,^ .^- lonrmoni avec des étriers et de disposer la surface ,1, V »:u*- ,N'»n ^n redans qui engrènent les uns dans les autres. î ..î f u r\''!:.c considération va nous permettre de déterminer .. ^.-^,n/KNîr *1o l'effort tranchant, rapporté à Tunité de surface, ^i„ ,-Ki' wr oloment d'une section transversale.
\ .\N OmOI. il suffit d'employer une des équations d'équilibre
,»... '^ :'o> loriH^s extérieures appliquées au prisme élémentaire
V -f'^ N P^^^*** longueur et ^' g" /l'/i" pour section droite, savoir
,x,. non des moments par rapport à l'axe projeté en m. Les
i,»vvx >oni : 1° le poids du prisme, qui donne un moment in-
