I- rn<MU petit du troisième ordre; ?" les actions normales

{ vt-^.voos en vertu de la cohésion sur les faces q^q", ni n!\ dont

oh^.Minc donnerait un moment infiniment petit du second

^%s"i;o, mais dont l'ensemble ne produit que la différentielle

vî,^ 001 infiniment petit, soit encore un terme du troisième

,v\l»v; 3" les actions normales sur les faces nq^ mp^ qui don-

r,or;«ient un résultat semblable; fy" et enfin les forces tangen-

<;olles sur les quatre mêmes faces. Sur ces quatre dernières

tV^n^cs, il y en a deux, dans les plans mn et m/?, qui rencon-

irtMit l'axe et ont un moment nul; les deux autres, contenues

x);ins les plans pq et nq, ont des moments infiniment petits du

socond ordre, qui doivent par conséquent avoir des valeurs

t^gales et agir en sens contraire. Si nous appelons

«T l'effort tranchant par unité de surface sur n' n" q' q"y p la résistance au glissement longitudinal sur le planp^, éga-> lement rapportée à l'unité superficielle,

les deux forces seront exprimées par rsbdu et pbdx, leurs bras de levier sont dx et du, de sorte que nous aurons, pour l'équation des moments,

Tsbdu dx : p 6 dx du,

soit

nj = p.

Comme nous avons appris à déterminer p, on voit que gt est par cela même connu, car il y a égalité entre les deux intensités des actions tangentielles rapportées à Tunité de surface sur les plans nq eipq. C'est ce qu'on aurait pu déduire, au surplus, d'une propriété plus générale établie dans la théorie mathématique des pressions à l'intérieur des corps, et dont voici l'énoncé : les actions élastiques F, F' par unité de surface, sur deux él<»ments w, w' pris autour d'un même point du corps, sont telles, que la projection de F sur la normale à w' égale la projection de F' sur la normale à w. Dans le cas particulier où nous nous trouvons, ces projections ne sont autres que in et p.

Voici maintenant quelques exemples de la recherche de ces actions tangentielles. Soit donnée en premier lieu une poutre ayant pour section un rectangle de dimensions constantes b et A. On aura

u,-~-fi, l-—bh\ I budu-b (-- u\\i bi — b ;

la valeur de p ou de cj dans les environs de la droite H' H" devient, en conséquence.

pr=ny— ' ^"^ -. /- ,^j

quantité variable avec Wi entre zéro et un maximum — rv qui

se produit quand m, est nul et que le plan GH passe par l'axe

de la poutre. L'effort tranchant moyen par unité de surface

dans une section déterminée s'exprime par ^5 mais, parle

fait de l'inégalité de répartition, les éléments superficiels voisins de l'axe de flexion supportent une fois et demie cette moyenne.

Prenons maintenant une poutre en double T, avec une section de hauteur constante. Cette section ayant la forme représentée par la fig. 8, p. 66, supposons que les branches horizontales sont égales entre elles et ont une épaisseur assez petite comparativement à la hauteur totale A; supposons, de

plus, que leur surface l'emporte de beaucoup sur la surface du rectangle intermédiaire FGKL, qu'on nomme Vàme du double T. Alors toute Taire il de la section peut être approximativement considérée comme concentrée à la distance - de Taxe neutre, et l'on a

En ayant soin de prendre le plan GH [Jig. ii) dans la partie occupée par l'âme, on aura de même

car, d'une part, les variations de tension par unité de surface sont négligeables dans la hauteur des branches horizontales et

-j— se remplace par — r- -, d autre part, la tension totale dans

une portion quelconque de l'àme est petite relativement à celle des branches. Donc

^^ ^X P dx

et, en nommant c l'épaisseur constante de l'âme,

dQ P

' C dx Cil

D'après ce calcul, on voit que l'effort tranchant se répartirait à peu près uniformément sur l'âme, et les branches horizontales n'auraient à en supporter qu'une faible partie.

Nous avons admis, dans le premier exemple, l'hypothèse d'une section constante; afin de montrer l'influence que pour^ rait avoir l'hypothèse contraire, supposons que la dimension b du rectangle ne change pas, mais que la hauteur A varie d'une section à l'autre, de manière à constituer un solide d'égale résistance (n° 23), ce qui impose la condition que A* soit proportionnel à X. Avec ces données, si l'on veut déterminer l'action tangentielle p ou c7 dans le voisinage de l'axe neutre»

et que par suite on cherche la tension totale 0 sur la moitié de la section, cette force sera bien encore

e = ^/ 6«rf«=^**' ^^

81 ~ih'

maisy quand on calculera dO, il faudra tenir compte des variations de A, aussi bien que des variations de X. On aura

,^ 3rfX 3XrfA au —

or, la proportionnalité entre A' et X peut s'exprimer par

l'équation

2 logA — logX -4- consl.,

d'où résulte

donc

dh d\ "" h ~ X '

c'est-à-dire moitié de ce qu'on aurait trouvé dans le cas d'une section constante. La même réduction affecle p et gt, et il vient finalement

__ dB 3P

Ces exemples paraissent suffisants pour montrer la marche à suivre dans les divers cas particuliers qui pourraient se présenter.

26. Théorème sur la superposition des effets des forces. — Lorsqu'on porte son attention sur la manière dont les forces extérieures entrent dans les équations des n°' 19 et 20, on arrive à un théorème intéressant et très-utile, comme on le reconnattra par l'usage qui en sera fait plus loin.

Bans le but de préparer la démonstration de ce théorème, il est utile de commencer par se faire une idée d'un procédé général par lequel il serait possible de trouver les réactions