CHAPITRE DEOXliOlB
i s «i»,N):x. losquelles ne sont point en général données a
...V,. ot K>rmont une certaine catégorie d'inconnues auxi-
Ki.uw à Uolorminer préalablement, quand on veut étudier
rvpulihro intérieur et les déformations de la poutre. Nous
uv>u>» bornorons à considérer deux espères d'appuis :
\^ tes appuis simples, disposés de manière à ne donner (lu'uiio réaction résultante normale à la ûbre moyenne et 1 oiui'uuo dans le plan de svméirie où se trouvent, par hypoihôso yxv* 18), les résultantes des forces extérieures qui agissent ilans riiii(Mvalle de deux sections quelconques; chacun de ces .appuis s'oppose au déplacement transversal d'un seul point de ta llbnî moyenne.
4" Lns encastrements^ qui s'opposent au déplacement transversal de deux points consécutifs de cette ligne et tendent à i<Mnlre invariables la direction ainsi que la position d'un de SCS éléments. L'encastrement doit donc être regardé comme é(|uivalent à deux appuis simples inliniment rapprochés : chacun d'eux fournit une réaction, ei, en transportant ces deux forces au point idéal ['] qui forme l'appui, on obtient d'abord une résultante totale, analogue à celle d'un appui simple, et en second lieu un couple contenu dans le plan de symétrie dont on vient de parler.
Ceci posé, soit une poutre établie sur des appuis en nombre /iquelconque, qui comprennent parmi eux k encastrements et qui rendent fixes les points A,, A„ A., ..., A„ de la fibre moyenne; celte poutre supporte des forces transversales données Q., 0,, Q., . . , Q/, dans les conditions définies au début de la théorie. Choisissons pour axe des abscisses la ligne A» A, et pour axe des ordonnées une parallèle aux forces Q,, menée par l'origine de la fibre moyenne; nommons en outre
Y,, Y:, Ya, ..., Y„ les réactions inconnues des appuis, lesquelles se compteront positivement en sens contraire des Q,;
/x,, |JL„ ^j, . . ., a^ les couples également inconnus à joindre aux réactions Y, pour ceux des appuis qui constituent des encastrements;
(*) n est diflicile de concovoir Tencastrement réalisé daus la pratique sans lui attribuer une lon[;ucur finie.
lulu^if^y ^/ les abscisses des points d'application des forces Qi- ;
ài, bt, 63, . . , 6„ les abscisses des points A,;
c„ C3, Ciy . ' .y Cf. celles de ces dernières abscisses qui répondent aux encastrements;
e le ressort longitudinal 2£&) d'une section quelconque (n°2);
r son rayon de gyration [n° 22 (a)] relativement à l'axe de flexion (n°' 19 et 20), de sorte que er' sera son moment d'inflexibilité 2£u'co;
Xf jr les coordonnées d'un point quelconque de la fibre moyenne déformée;
X le moment fléchissant pour la section faite en ce point.
L'abscisse a: étant d'abord supposée très-petite, on aura
— Y, (6, — X) — Ya(6î —x,~... —Yu[bn— x)
H- jUL, -h /UL, -h . . . 4- /X^.
Cette expression se modifiera ensuite successivement quand on fera croître x; à mesure qu'on dépassera le point d'application d'une force Q, ou Y/, ou celui d'un couple fii, cette force ou ce couple ne devra plus figurer dans X. Pour la force Qi, par exemple, on a d'abord le terme Q.(S. — x), tant que x n'a pas atteint ^1 ; pour ^~ $, ce terme s'annule; puis, quand jt a dépassé Ç,, la force Q, ne compte plus parmi celles qui agissent depuis la section considérée jusqu'à l'extrémité, de sorte que la suppression du moment Qi(^i — x) est définitive à partir âe x = Çi. On pourra toujours poser
[là] { v-<i Y I — Cj I a « . • — \^n J^ n
\ -h D, /a, -T- D, jULj -h . . . -h Da fX*,
à la condition de prendre, pour un indice quelconque i,
B,= ^, — X de :c == o à x =: ^/,
B/ — o, au delà de x =^ Ci,
Ci = bi— x^ de x=:o à x^^ 6/,
Ci = o, au delà de a: = 6,,
D| =. I , de x = o à x = Ci,
D,= o, au delà de x = ct.
(lO)
tk> CBÀPITIB DEUXIÈME.
CoiiHÎdérons maintenant l'équation différentielle de la Gbre iiiu^cnne déformée (n** 19 et 20),
et intégrons-la deux fois, après y avoir remplacé X par l'expression (i4) et divisé ses deux membres par er^: il viendra,
dr en désignant par 6. et y\ les valeurs de -— et y a l'origine,
J ^r- J er- ^ J e
dx J er- J er- J er
jr:.y
r D,(ix r D.dx r
"" C, (/x ^^ r' , r' Cm da:
— :/, I ax f , ... — a* f ax 1
er-
dx
Les équations ^i5) et ^i6) contiennent, outre les forces ou couples de réaction Y,, a,, en nombre n -r A, deux constantes 5,, y\ introduites par l'intégration, ce qui élève à /i -r- A" -h 2 le nombre total des inconnues auxiliaires à déterminer quand on veut être en mesure de calculer effectivement, pour une section quelconque, les valeurs du moment
dr fléchissant X, de l'effort tranchant P, de Tinclinaison -^> de
rordonnée y, et enfln des tensions intérieures. Pour faire cette détermination, nous aurons premièrement les équations fournies par la Statique et nécessaires à l'équilibre entre les forces extérieures du système. Puisqu'il s'agit de forces parallèles et dans un même plan, il faudra égaler à zéro la somme
PRISIIES FLÉCHIS PAR DES FORGES TRANSVERSALES. 8l
algébrique des forces et celle de leurs moments relativement à un point; ce qui donne les deux équations
Q. l -^ Q.l 4- . . . -f- Qili - Y. 6. - Y,b, - ... - Y„6„
-+- |Ji, -i- ^2 H- . . . -r juti 1^ o.
Ensuite il faudra tenir compte de la fixité des points d*appui et de rinvariabilité de direction de la fibre moyenne aux points d'encastrement; les appuis simples, aussi bien que les encastrements, étant censés remplir parfaitement leur but, on écrira :
/i équations déduites de l'équation (i6), qui exprimeront la nullité de x pour x :- 6,, b,, . . . , b„;
k équations déduites pareillement de l'équation (i5), expri-
mant la nullité de -j- pour ^ :r=: c,, c„ . . , , c^.
On aura ainsi un nombre d'équations égal à celui des inconnues auxiliaires à déterminer. Il en serait de même évidemment si, par suite d'une disposition particulière des appuis,
dy on devait égaler les j ou -7- correspondants, non plus à zéro,
mais à telle ou telle valeur qui serait [i\éQ d'avance. Après avoir déduit de ces équations, qui sont toutes du premier degré, les valeurs des inconnues auxiliaires, on pourra les
(ly
substituer dans les expressions (14), («5), (16) de X, — el^-;
on pourra également avoir Teffort tranchant P; enfin, connaissant X et P, on en déduirait les tensions intérieures (n« 19 et 20).
Lorsque la poutre est à section invariable et que, par suite,
er» ne varie pas, celte constante peut sortir du signe / dans
les équations (i5) et (16), et alors il est bien facile d'effectuer les intégrations indiquées. On a, par exemple,
B| ^ t, — j7 pour X < lis
B| =:r o à partir de x — H,;
