Vibrations transversales d'une poutre homogène uni

formément chargée et reposant sur deux appuis simples ( ' ) . —

Soit AB [fig* 2i) la fibre moyenne de la poutre donnée qui

est homogène et à section constante; nous la supposerons

chargée uniformément suivant sa

longueur et nous considérerons ^

la charge comme participant au

mouvement vibratoire transversal

de la pièce. Prenons la ligne AB

prolongée pour axe des x^ et pour

axe des x ^^ perpendiculaire ky

menée dans un plan que nous supposerons contenir toutes

les positions de la fibre moyenne. Appelons :

x la distance d'une section quelconque KMN à Texlrémilé A;

/ la distance AB des points d'appui ;

y le dérangement vertical du point M à un instant quelconque;

e le ressort longitudinal (n° 2) de la section transversale;

r son rayon de gyration relativement à l'axe autour duquel s'opère la flexion (n" 19 et 20), de manière que er^ sera le moment d'inflexibiliié;

p le poids de la charge par mètre courant, y compris le poids propre de la pièce;

p'ie poids de la pièce seule, également par mètre courant;

Y la réaction de l'appui B;

/ le temps compté à partir d'une origine quelconque.

Si l'équilibre existait, on aurait (n° 20)

^H^^Xr. \p[^l-xY-Y[l-x,

dx' 1^^ ' ^

ou, à cause de Y — -pi,

er"" --' — -p[x-^ Ix] ; dx' 2 '^

(*) Les n" 35 et 36 peuvent être laissés de côté dans une première lecture.

122 GHAPITU DEUXIÈME.

donc aussi

, dr I /x^ Ix' l \

ax 2.*^ \6 2 12/

car ~- doil s'annuler pour a: — -/; donc enfin

/ I , i [ x^ Ix^ l^x\ I , , , , I,

^ ' ^ -2/ \\'x b \ij 24

L'équilibre n'existerait que si le dérangement j^ avait partout la valeur donnée par cette formule ei si la vitesse antérieurement acquise était nulle; dans tout autre cas, il y aura un mouvement dont il s'agit de trouver l'équation.

A cet effet on pourra se servir de la môme équation (10) du n° 20, qui exprime l'équilibre entre les forces extérieures et les actions moléculaires dues aux dérangements^, pourvu que, conformément au principe de d'Alembert, on compte les forces d'inertie parmi les forces extérieures. Or, pour une portion de pièce de longueur rfx,, répondant à l'abscisse Xu

D Cix ci^ V

entre M et B, la masse sera - — - et l'accélération —r-^jr, étant

la valeur de y pour a: — jt, ; par conséquent, la force d'inertie

s'exprimera par — - dx^ —/t'» et sa direction sera de bas en

d'- y haut si -~j~~ a le signe -f- Il faut observer en outre que Télé-

d' dx ment de masse ^» appartenant à la poutre proprement

dite, a un mouvement de rotation autour de son centre de gravité, mouvement qui donne lieu à des forces d*inertie dont l'ensemble forme un couple résultant. On sait par des théories connues que l'intensité de ce couple est le produit de l'accélération angulaire par le moment d'inertie de la masse — — ^

g relativement à l'axe de rotation. Le premier facteur s'évalue

dvx

en remarquant que f " exprime l'angle variable de la sec-

iix \

tion normale avec l'axe des r; l'accélération angulaire,

d^ Y comptée dans le sens de A^- vers \x, sora donc — . • '-■

PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORCES TRANSYBRSALES. 123

D'ailleurs, à cause de rhomogénéilé de rélémeni^- ^j son

rayon de gyralion esl le même que celui de la section transversale; donc le couple d'inertie dû à la rotation de cet élé-

D f' dx d^ y

ment a pour valeur — -, — — ^ et il doit être regard*'»

^ g dxxdO

comme agissant contrairement au sens de l'accélération angulaire, ou bien dans le sens d'une rotation de kx vers ky. Le moment X, en tenant compte des forces d'inertie dans la partie MB, aura donc pour expression

er^- — dx^

J^ g dx.dP ^

Pour faire disparaître le signe / sous lequel entre une fonc-

lioD inconnue /i, on dilTérentiera deux fois par rapport kx, et Ton trouvera successivement

^ dx' - J^ \ g di']^ g dxdV

fa) er^^ = D- ^ "^'^--^Py '^''^• ^ ' dx* ^ g- dr g dx'dl'

On pourrait éviter d'avoir à difTérentier des intégrales définies en prenant pour point de départ, au lieu de Téqualion (lo) du n*» 20, l'équation (i3) du n° 24, ou plutôt sa dérivée par rapport à x. Si l'on compte posilivement les forces ascendantes dans l'évaluation de l'effort tranchant P, il faut mettre le signe -f- dans le second membre de celte équation,

qui donne alors

rfP e/^X d^

dx dx^ dx

Or, quand on se déplace de dx sur la fibre moyenne, à un instant donné, P augmente de pdxli .jj j ^ d'où résulte

dP ( I dy\ di~^PV~"g'dfr

le couple inûniment petit dix appliqué sur le même intervalle

p^ r^ dx d^ y est, comme on Ta établi, — ~,r~rx'' ^^» P^^ suite,

d\L p'r' rf*r

dx fç dx^ di

enfin Téquation (lo) du n° 20, dérivée deux fois par rapport à Xj devient, er^ étant supposé constant,

dx^ dx-

Substituant ces valeurs de -,-? -r-? -,- dans l'équation

dx dx dx-

précédente, on a

/ I rf^r\ d'y P'r^ d'y

\ g dt' dx' g dx'dt

ce qui reproduit Téquation (2), sauf i*ordre des termes.

Maintenant il s'agit d'intégrer cette équation aux diflFérences partielles du quatrième ordre.

L'expression de x donnée par l'équation [i] ^^ est une solution particulière, car il en résulterait

dï* ~ êr^' dt" ^ ^' Hx^' ~ ^

valeurs qui rendent bien identiques les deux membres de l'équation (2). Posons

r - - — /-- x[x^ — 2lx^-\- l^ , -h 2 ; •^ 24 er' ^

l'inconnue auxiliaire z devra satisfaire à la relation obtenue en substituant cette valeur dans l'équation (2); or, on a d'abord

'dx*~ ei^'^ dx* ' ~dr "" dt^ ' dx'W' ~~ dx^dû* '

et par suite, si l'on effectue la substitution, il vient

^ dx* ^ g dV g dx'dt^

PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORCKS TRàNSYBRSALBS. ia5

ou, en réduisant et posant a*— —2» 6'r= ^r^,

Cette dernière équation s'intègre au moyen du procédé général indiqué au n® 13; on en cherchera une solution de la forme

2 — \ A sinm^:,

laquelle a une généralité suffisante pour le problème actuel, comme la suite le montrera. Cette valeur substituée dans réquation (3) donne

a* y m*Asinmx -h 0^ y m'-— sinma: -h > -7^.^ sin ma: - o,

ou bien

\ ni*a*A. ;- [m^b^ -h 1) -7-7 sin

nu: r-o;

comme la nullité de cette somme doit avoir identiquement lieu, quel que soit x, il faut que chaque multiplicateur de sinmx soit nul en particulier, c'est-à-dire que les fonctions du temps désignées par A doivent satisfaire à la relation

ar

On en tire

A == C sm —- — -: h D cos — r ?

C et D désignant deux constantes arbitraires. Nous avons donc

-\- > sm mx 1 C sm --— n^^rr -f- D cos - ^ : ^^^r^ ) • La \ ^m} b' -f- 1 sjm'b' -4- i /

Il ne reste plus qu'à déterminer les constantes telles que m, C, D, qui sont en nombre infini.

A cet effet, exprimons d'abord que les extrémités de la pièce

reposent sur des appuis simples : cela exige que l'ordonnée^ el le moment fléchissant (ou la dérivée -~-^> qui lui est proportionnelle] soient nuls quand on fait or = o et or — /, indépendamment de toute valeur attribuée à /. Or on voit que l'expression précédente de^et sa dérivée seconde par rapport à X s'annulent d'elles-mêmes pour x = o; afin que la même chose ait lieu pour :r = /, il faut poser les deux équations

y sm ml Csin - . . - ^ -h D cos — ] = o,

y m^sinm/ Csm— -— -f- Dcos ~z ) = o,

^ \ sjm^ b' 4- 1 ^m'b' -h i J

et, puisque / reste indéterminé, on en conclut

sinm/ = o,

ce qui montre que ml doit être un multiple exact de la demicirconférence. Si donc on appelle i un nombre entier quelconque, on aura

(4) ml—ir.y

relation qui fournit toutes les valeurs de m à mettre dans l'expression de j. Donc

y-^=i - ; X x^— 2 Ix' -h l^ '

-i->sm , - Csm- r -h Dcos — ^z^-.^=.

^ ' V l)Ji'7i'b'-Jrl' Isji'-K^b'-^-l'

Maintenant supposons que» pour / — o, on donne les valeurs

dy dy

de/ et de -^j en fonction de o:, savoir/— F (j;) et -r- =f[x),

ce qui serait nécessaire pour définir l'état initial du système : alors les constantes C et D doivent vérifier les égalités

7 j{.^]= —i- y —— — sin— r-.

PBISMES FLÉCHIS PAR DBS FORCES TRANSVERSALES. I27

Les choses étaDt à ce point, la solution se complète sans peine au moyen d*un théorème dû à Lagrange ( ' )^ que Ton peut énoncer ainsi : Quelle que soit une fonction 9(^)9 continue ou discontinue, mais toujours finie quand x varie de o à /, si i'oD représente par 1 un nombre entier positif, par Ç une quantité variable entre les limites o et /, et par \ une somme

étendue à toutes les valeurs de 1 depuis i jusqu'à Tinfini, on aura

9(^J^^2^ [sin-pj sm-p(p(Ç)rfCj

pour toutes les valeurs de x intermédiaires entre o et /, et même pour ces limites lorsque 9(0) et cp(/) sont nulles. Or f{x) ex f(x) doivent précisément remplir la condition de s'annuler aux deux limites o et /, entre lesquelles se trouve toujours comprise la variable x, et de plus ces fonctions, par leur nature, sont toujours finies dans le même intervalle; donc, si Ton pose

etsi l'on observe que le multiplicateur de p remplit également les conditions dont nous venons de parler, on en conclura qu'il est possible de satisfaire aux égalités (6) et (7) en supposant C== o, D = o pour toutes les valeurs négatives de i, et prenant, dans le cas de / positif.

(*) Mémoire sur la théorie du son, faisant partie de la collection de TAcadémie de Turin, t. I" des anciens Mémoires. Cette formule se trouve encore reproduite : 1® dans la Mécanique analytique de Lagrange, t. I"", Soction VI, S IV; 79 dans le Traité de Mécanique de Poisson, a* édition, t. 1", n° 325; 30 dans le Mémoire du même, déjà cité (note de la page [\\ ). Nous renvoyons à ces auteurs pour la démonstration de la formule et les remarques auxquelles elle donne lieu.

On auraii donc définitivement

2^er

■ ^\] +7 > sin-.— cos — .- I sin -7-9 Ç «Ç

— \ \~ .- sin-.-sin — -— - - I sin-7-/;ifl;

Quand le temps / reçoit un accroissement exprimé par , i ^rc — ■ — r augmente de a* tt, c esl-a-

dire d'un nombre entier de circonférences; ses sinus et cosinus redeviennent donc les mêmes. Il en résulte que chacun des termes qui composent j est une fonction périodique du temps; niais, comme la durée de la période varie pour chacun d'eux en fonction de 1, nous ne pouvons pas en conclure que le mouvement de la pièce est lui-même périodique : nous devons seulement affirmer qu'il est produit par la superposition d'une infinité de mouvements périodiques. La périodicité n'existerait rigoureusement que si b^ était nul, ce qu'on pou^ rait supposer dans le cas où /?' deviendrait négligeable de-

vant p, car, d'après la définition de 6, on a 6'-- —r-, La durée (le la période serait alors -^^,r> ou bien, en remplaçant a' par

77 Cl'

sa valeur, \ / — ; elle pourrait d'ailleurs, dans certains cas 7:/. V eg

particuliers, comprendre plusieurs sous-périodes. Lorsque b n'est pas nul, la durée de la période augmente pour chaque terme de^ en particulier; le système, partant d'une position arbitrairement choisie, emploie donc plus de temps pour y revenir à peu près.

36. Cas particulier de h question traitée au /i® 35. — Lorsque les fonctions 9 et/sont des polynO^mes algébriques entiers, ne contenant que des puissances entières et positives \

PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. lag

de la variable, le calcul des intégrales déÛDies

/"sini|^9(0rfÇ et f ' s\n '^f^KjdK

peut s'effectuer assez simplement. La méthode étant identique pour les deux, nous prendrons, par exemple, la première. En désignant par <p', 9", 9'", ... les dérivées successives de 9, et intégrant par parties, on aura

Jcos'-^^<f'{K]dK - .^sinij^9'(Ç)-.^Jsin'-^^<p"(Ç)dÇ.

On mettra successivement dans la première équation 9", 9*'', 9", . . ., au lieu de 9, et de même, dans la seconde, 9", 9', 9'", ..., au lieu de 9'; entre la série d'équations obtenues ainsi, on élimine sans peine les diverses intégrales, sauf celle que Ton cherche et celle dans laquelle entre la dérivée de 9 (Je l'ordre le plus élevé; on trouve ainsi

sm -^- 9(Ç)rfÇ -^r j- cos -j~ 9 (Ç) M- ^, sm-^ 9 (Ç)

La loi de cette série est évidente; d'ailleurs la série se terminera d'elle-même, car, si 9 (Ç) est un polynôme de degré n, la [n 4-1)*^"" dérivée et les dérivées suivantes seront nulles.

L'intégrale fournie par l'équation (11) devant être prise entre les limites o et /, cette circonstance donne lieu à une

simpliGcation notable. En effet, sin ~ s'annule à ces deux

I tt}—

limites; cos-v- est égal à l'unité pour Ç = o et à (— i)' pour