I. 3« édît

l3o CHAPITRE DEUXIÈME.

Ç--/; enfin on sait que 9(0) ainsi que <p(/) sont nulles, el qu'il en est de même de cp"(o) el de 9"(/), à cause de la nul-

lîlé constante de -r^ aux points A el B; donc on peut écrire / sin^9(!;)e/Ç

SMl s'agissait de la fonction/, on aurait bien encore

mais, comme les dérivées secondes/'\o) Gif'^l) ne s'annuleraient pas nécessairement, on écrirait

J s\n'-^f{V,dK

'Vf"j)-f" «"]- ^: -'^'/'\^)-/-(o:]

Ces deux formules permettent d'obtenir les valeurs de toutes les intégrales définies qui entrent comme coefficients constants dans l'équation (10).

Prenons comme exemple le cas où la poutre serait à rorigine du temps dans son état primilif, c'est-à-dire sans déformation et sans vitesse initiale. Il faut Aiire alors

et, par suite,

9"^(a:) se réduit à la constante — ' ^» et toutes les dérivées

PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORGES TRANSVERSALES. l3l

suivantes sodI nulles. Donc

Sin-y- œ.Ç CfÇzr: ~ -r— ±1 — 1

le double signe dans la parenthèse devant être -i- ou — , suivant qu'on prend i pair ou impair. Ainsi Tintégrale sera nulle dans le premier cas, et dans le second elle aura pour valeur

V^'^ d'ailleurs, / étant nulle, / sin-~/(Ç)rf? l'est

aussi. Donc l'équation (lo) devient

—^ — y^-ix^— 7.1 x^ H- l^x

— "^ y ". Sin— p- COS rr r. ),

la somme \ ne s'étendanl plus qu'aux valeurs impaires de /.

Lorsque x est changé en / — ^, on reconnaît aisément que le second membre de cette équation ne change pas; deux points à égale distance du milieu de la poutre auront donc un mouvement identique, ce qui était évident a priori, à cause de la symétrie. Nous avons déjà vu (n® 35) que le mouvement de la pièce est produit par la superposition d'une infinité de mouvements périodiques : on peut ajouter ici qu'il remplit lui-même assez approximativement la condition de périodicité, car la somme \ développée devient

. Tzx Tz^a^t 1 . Zt:x qn^a^t

sm— r-cos — -^-- --- -î — TTrSm— ï— cos— •

^ IsJTi^b^-^l^ 243 / l^ÇjTl'b'-i-l'

-+- iz r sm — r- COS

3i25 / Is/tiSn^b'-^-l'

On voit que la série converge rapidement et que le premier terme est prédominant; il a en effet pour limiie l'unité, tandis

que le second a pour limite -y-^^ le troisième -^ — ^j celui du

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rang n le nombre -• En se bornant au premîer terme,

(in — ij' ^

y deviendrait une fonction périodique du temps ayant pour

durée de la période — 5 sou — i/ ^ - -^.

rfy* /

La dérivée partielle -— est constamment nulle pour ^ = - »

indépendamment de /; on peut s'en assurer au moyen de l'expression (i4), ou bien regarder ce fait comme une conséquence de ce qui a été dit tout à l'heure sur l'identité du mouvement de deux points pris à égale distance du milieu. Le milieu de la poutre est donc le point où la flèche est à chaque instant la plus grande. Appelons-la y^; nous aurons ji

en faisant :r = - dans le second membre de Téquation (i4)» ce qui donne

iLer'^ 5 06/ T^aU i QTz'aH

Si nous supposons /=:o, nous savons d'avance que yx doit s'annuler, aussi bien que l'ordonnée y de tout point de la fibre moyenne; or, tous les cosinus deviennent alors égaux à l'unité : donc on peut écrire

La même valeur j, =: o se reproduit approximativement toutes les fois que / devient un multiple pair de -^ — ; — f