KO
(*) On a d'autres procédés en Analyse pour effectuer la sommation de cette suite. Par exemple, Poisson la déduit de la relation suivante entre les sinus des multiples impairs d'un angle aigu :
sin 0 — sin 3 Ô -H sin 5 0 — sin 7 Ô -i- . . . = 0.
Sans s'arrêter aux doutes que pourrait soulever le défaut de convergence du premier membre, il intègre cinq fois cette équation [i>oir le XVIII® cahier.
PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRA?(SVERSALES. l33
car le premier cosinus de la parenthèse reprend sa valeur
maximum, égale à Tuniié; et les autres, comme on Ta déjà
dit, n'ont pas d'influence sensible, à cause de la petitesse de
leurs coefficients. Quand, au contraire, / se trouve être un
multiple impair du même temps, le premier cosinus devient
égal à ~ I, de sorte que le second membre de l'équation (i5)
atteint une valeur à peu près double de -77» La flèche varie
ID
donc a peu près périodiquement, entre un minimum et un
5 pi* maximum respectivement peu différents de o et de - — j — ^5
cette dernière quantité n'est autre chose que le double de la flèche d'équilibre. Une propriété analogue a été déjà constatée sur deux exemples (n°* 14- et 16).
37. Effet produit sur une poutre par une charge roulante. — On suppose une poutre homogène à section constante reposant sur deux appuis au même niveau; cette poutre supporte une charge permanente uniformément répartie et un poids qui se meut suivant sa longueur avec une vitesse constante v.
t. XI, du Journal de V Ecole Polytechnique, p. 3i5 et 3iG) et trouve ainsi
:r"ô' ;rÔ' , cos3 5 cos.')^ cos7^
-^c'— — cosQ-, -^ . ^ i - - — ' ... ;
Si 9b 3* b* 7*
ie second membre s'annulant pour 0 ■=' > on en conclut la constante c' qui est c'^ TT»- ; puis, faisant d — o. il viendra
U différence entre ce résultat et celui que nous obtenons tient à une faute de calcul numérique dans la troisième intégration, par suite de laquelle Poisson
donne à une constante c la valeur -: au lieu de — . .-• En rétablissant ce
lO 02
dernier nombre, on trouve bien c'= -- . — .
ij3()
n vaut mieux, comme l'indique M. Bertrand {Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. I*', p. /|a3), recourir à la série
TT COtîT j: = 1 i i 1 h . . .
et faire Jf = 7 dans la quatrième dérivée.
l34 CHAPITRE DEUXIÈME.
La recherche du mouvement vibratoire que la poutre prend dans ces circonstances donne lieu à des calculs trop laborieux pour qu'il soit possible de les exposer ici. Divers cas particuliers de la question sont traités dans un savant Mémoire de M. PhillipSy ingénieur en chef des Mines, membre de Tlnstitut; nous y renverrons le lecteur qui désirerait des développements sur ce sujet ('). M. Phillips a supposé un poids isolé Q concentré à chaque instant sur un point unique de la poutre; il a étudié d'ailleurs les poutres simplement appuyées à leurs deux extrémités et celles qui sont au contraire terminées par deux encaslremenls. Voici les principales conclusions qui résultent de son travail :
i" S'il s'agit d'une poutre reposant librement sur deux appuiSy le moment fléchissant maximum se produira dans la section à égale dislance des appuis et aura pour valeur
les notations p, /, e, r, g conservant le même sens qu'au n" 35. Celte expression dans laquelle on ferait t' — o donnerait la valeur du moment fléchissant maximum, sous l'actioD de la charge permanente et du poids Q placé en repos au milieu de la poutre, savoir :
(') Annales des Mines, t. VII, i8j5. Nous croyons toutefois devoir faire deux
observations. La premicTC, c'est que M. Phillips a négligé les forces d'inertie
produites par la rotation des sections normales de la pièce, à laquelle il attribue
simplement un mouvement vertical : il trouve ainsi, au lieu de l'équation (3)
du n^ 35, qui serait réellement applicable au problème, la môme équation
d*z privée du terme — b^ - » / 1' ^^* calculs no semblent donc bien rigoureux que
dans le cas où la section aurait un très-petit rayon de gyratiou et dans celui où le poids propre de la poutre serait négligeable devant la charge permanente complète, circonstances qui tendraient à rendre nulle la quantité ^'. En second lieu, si l'on répète les calculs indiqués au Chapitre 111 du Mémoire, pour le cas d'une poutre encastrée à ses deux extrémités, on trouve une inexactitude dans le second membre de l'équation (76) : l'excès de la seconde parenthèse sur l'unité doit être réduit de moitié. Cet erratum nous a conduit à modifier légèrement les conclusions de l'auteur.
PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORGES TRANSVERSALES. l35
Afin de tenir compte de la vitesse v^ on voit que le terme ^ /?/%
représentant le moment limite produit par l'action isolée delà charge permanente, doit être augmenté dans le rapport de i à
0/ c' I H — 5 et que le second terme, donnant le moment li-
mite sous le poids Q isolé et privé de sa vitesse, doit pareillement subir une augmentation dans le rapport de i à 2Q/ v»
3er' ig 2» Si la poutre est encastrée à ses deux extrémités, et qu'elle supporte à l'état d'équilibre le poids permanent fl et le poids Q, ce dernier étant concentré au milieu, on sait {n"30) que le moment fléchissant a deux maxima, Tun au milieu, égal à
l'autre dans les sections extrêmes, ayant pour expression
L'existence de la vitesse v leur donnera respectivement les valeurs
P^' {'^ '^.T. :rJ -^ ^^^'-^ 117.
12'^ \ Sef^ 2gJ 8 \ /^er^ ig
Le premier est augmente dans le rapport de i a i -h j-—^ - ;
le second s'accroît dans un rapport intermédiaire entre celui
j , Ql v^ ^ ^ 0/ t'' . „.
de I a 1-4- 5^ — et de I a I -:- > 9 suivant 1 impor-
oer^ QLg \er^ ig
tance comparative de la charge permanente et du poids Q.
3" Les résultats précédents ne sont assez approchés de la
vérité que s'ils indiquent de faibles accroissements relatifs
dans les valeurs des moments qui correspondent à c = o,
, j. . , . , 2Q/ v' Ql v^ Ql V'
cesl-a-dire si les quantités 7^ — ■ — ? - — — •> -, — ■ — î
^ oer' ig 1er* ig ^er^ 2 g
l36 CHAPITRE DKUXIÈMB.
Ql V'
— (suivant les cas) sont de peiiies fraclions : celte con-
ditian étant remplie, on voit que raccroissemenl relatif varie proportionnellement à la force vive du corps roulant, à l'écartement des appuis, et en raison inverse du moment d'inflexibilité de la section transversale. On a supposé d'ailleurs qu'à l'instant où le poids Q vient s'engager sur la poutre celle-ci était en équilibre sous la charge permanente.
4° Dans la pratique, lorsqu'on voudra calculer les dimensionjs d'une poutre, on le fera d'abord sans avoir égard à la vitesse de la charge Q; puis, dans le cas de deux appuis simples,
aO/ ^^ on vérifiera si ;, -■ — est une petite fraction, et dans le cas
ôer^ 7.g
Ql V»
de deux encastrements on fera celle vérification sur 7
^er^ 2g"
Si la vérification réussit, la vitesse de la charge n'aura pas d'influence notable sur la résistance; sinon il faudrait diminuer l'écariement des appuis, ou augmenter le moment d'inflexibilité, dans la mesure qui serait nécessaire.
Les résultats de M. Phillips peuvent se démontrer simplement par une
méthode sans doute moins rigoureuse et moins complète que la sienne,
mais qu'il nous paraît cependant bon de faire connaître, parce qu'elle est
susceptible de s'appliquer dans d'autres cas particuliers (').
Considérons la poutre AB {^^. 9.2) reposant sur les appuis simples A
et B; conservons aux notations /, /?, '^' ^^" d'r', Y le sens défmi au n' 35. Si un
Y poids Q se trouve placé sans vitesse
->t au-dessus d'une section à la distance
0 B X x' de l'appui A, il déterminera, con-
jointement avec le poids uniformément réparti pi, une certaine déformation; Vq nous appelons en général j l'abaisse-
ment d'un poids quelconque de la fîbre moyenne au-dessous de la ligne joignant ses extrémités, et /' la valeur de r pour le point d'application de Q. Lorsque x' varie seul , y varie
(*) Nous devons l'idée fondamentale de cette méthode à feu M. Dupuit, inspecteur général des Ponts et Chaussées, qui nous Ta communiquée verbalement il y a environ vingt ans. Nous ne saurions d'ailleurs aflirnier que d'autres personnes n'en ont pas fait usage avant lui.
en^mème temps. Nous allons d*abord établir, à titre de* lemme préliminaire, la relation qui existe entre ces deux lignes.
Dans l'hypothèse où p serait nul, on aurait pour la réaction Y' de Fappui  ta valeur
Y' - ^ALzfl.
par suite, si Ton fait coïncider Taxe des y avec la force Q, et qu*on prenne Taxe des x suivant la direction OA, l'équation (lo) du n° SO, appliquée à cette môme partie OA, deviendra
On en tire, par une double intégration,
er^ -j- = C — -^ (/ — .r 1 1 jca:
tix l ^ ' \ 0.
.H,- = c'-.Cx-f;/-x-)(':^--^),
G et C désignant les valeurs de er^ -^- et de er^y pour j: — o. Or j doit s'annuler pour jr — x' ; donc
Si Ton répétait le même calcul pour la partie OB, on aurait trouvé de même, en appelant G, et G', deux constantes analogues à G et G',
d'autre part, le raccordement sur l'axe des / des deux portions de la fibre moyenne déformée impose les conditions
doncla dernière équation devient
L'élimination de G entre (i6) et (17) conduit à
La quantité C' représente le produit de er^ par l'ordonnée de la fibre moyenne déformée, au point d'application de Q, si ce poids agit seul.
i38 chàpitrk deuxième.
Quand on n*a égard qu*au poids pi, on trouve (n° 35) pour le même produit, relatif au même point, — ix'^— ilx'^ -^-Px') ; donc, sous l'action simultanée de Q et de /?/, on aura (n° 26)
(«9) ^'-y- ^^[x--'ilx-^Px]^^^[l-x'f'.
Concevons maintenant que le poids Q soit posé successivement aux divers points de la pièce, ou, si l'on veut, qu'il la parcoure avec une vitesse V infiniment petite. Il déterminera sous son passage une dépression / dont Téqualion (19) fournit la valeur en chaque point; cette équation serait donc celle de sa trajectoire rapportée à AB comme axe des x' et à la verticale descendante du point A comme axe des y. Puisque le poids Q parcourt une courbe sensiblement horizontale, sa force d'inertie centri-
dr' fuge peut, en raison de la petitesse de ---,-> être regardée comme parallèle à l'axe des^' et exprimée algébriquement, dans le sens de cet axe,
Qv^ (Py' (Py'
par -~\ car il est aisé de constater que — ■^•,- ? toujours égal
dy' au rayon de courbure de la trajectoire dans Thypothôse où -y-, est né-
gligeable, a bien une valeur positive ou négative suivant que la concavité est tournée vers le haut ou vers le bas. La pression totale Q' de la masse pesante Q sur la poutre est, par suite,
g dx
D'ailleurs on tire de l'équation (19)
il en résulte immédiatement que le maximum de r^, répond à a:'— -
dx^ ^ 2
ou au milieu de Tintervalle des appuis, et qu'en ce point se produit aussi
le maximum Q" do la pression Q', lequel a pour valeur
0'/ Une force donnée Q' produit son moment maximum --- quand elle agit
au milieu de l'intervalle des appuis (n*'27) ; à plus forte raison en est-il
PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSVERSALES. iSq
de même quand la force, au lieu de rester constante, prend simultanément sa plus grande valeur Q". En tenant compte du moment produit par la charge uniforme pl^ le plus grand moment X' qui se produira pendant le
passage de la charge mobile sera donc ^ -t- — > soit, après avoir rem-
placé Q" par sa valeur,
c'est précisément ce que nous avons indiqué plus haut, d'après le Mé-
moire de M. Phillips. -Les coefficients de correction i f- - — - — j
1er is
i-i-^—j — > trouvés dans l'hypothèse d'une vitesse infiniment petite,
doivent être considérés comme les premiers termes du développement
complet qui se rapporterait à une valeur quelconque du rapport - ., — j
ils donneront vraisemblablement une approximation suffisante si ce rapport est petit, parce que les termes négligés le renfermeraient à des puissances supérieures ('].
S'il y avait deux encastrements aux points extrêmes A et B, la même méthode réussirait encore; seulement le calcul de y en fonction de x' serait un peu plus difficile. Voici comment oji pourrait l'effectuer.
Conservons les mômes notations; posons de plus x" = / — x\ et appelons fi' et fx les couples produits en A et B par l'effet des encastrements. Si 0 est d'abord censé exister seul, à l'exclusion de p, l'équation de la fibre moyenne déformée (n° 20) sera, pour la partie OA,
et, en intégrant deux fois.
dx
er' -/ ^ p'x — Y' ( x' X ) ^ C,
e'^X =f*'V-''"(— -TtI-C'^-C'-
(') Pour faire un calcul rigoureux, il aurait fallu tenir compte, non-seulement de la force centrifuge du poids roulant, mais encore des forces d'inertie de la poutre. La théorie simplifiée que nous donnons maintenant semble donc
exiger, comme hypothèse préalable, que le rapport ^r soit petit, afin de rendre
la résultante des forces supprimées négligeable en comparaison de la force conserrée.
l4o CHAPITRE DEUXIÈME.
Quand on fait x = x\ ces deux dernières équations doivent donner
- o; donc
(aa)
Y'^ -hC-o,
Un calcul semblable fait sur la partie OB donnerait, en tenant compte du raccordement des deux parties au point situé sur l'axe des j,
.jt"^
(i5) u Y— ~ Cx" .-C'=o.
D'ailleurs, l'équilibre de la pièce exigerait les deux conditions
(27) YV-^Y.r"-t- p'- fx=.: o,
dont la première exprime que la somme algébrique des forces verticales extérieures est nulle, et la seconde que la somme des moments relativement au point 0 est également nulle. Maintenant il faut éliminer les inconnues auxiliaires Y, Y', p, fz', C entre ces six équations, a6n d'avoir C, c'est-à-dire la portion de cr^y spécialement duc à l'action de la charge Q. A cet effet, multiplions (-iji) par x\ (24) par x\ et faisons la différence; il viendra
soit, à cause de x' ^- x" — / et de l'équation (97),
{'j.'—ui)x'x--'- '>CJ -^ o.
Si l'on opère do même sur (23) et (25) respectivement multipliées par .r" et .r'*, on trouve
L'élimination de a' u entre les doux dernières équations donne (28) 'iCr'-r"-' 3(7 .r"— .r'' o.
On élimine ensuite •/ entre \22) et ^23 \ u entre '4^ et (25'i, ce qui conduit aux deux éi|uations
ri 2
Il i
PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORGES TRANSVERSALES. l4l
ajoutant membre à membre ces deux équations respectivement multipliées par i2x" et i2j:'\ il vient, eu égard à (26) et à x' h- x* = /,
(29) Q-r'^x'^»— 6C/x'j:"(.r'' — .r')-i2C7(jc'"-xV-t-a:") ^ o. Entre (28) et (29] il est facile d'éliminer C, et Ton obtient
on, plus simplement,
L'ordonnée de la fibre moyenne sur la verticale du poids Q, si la
charge uniforme pi n'existait pas, serait — ; on la connaît par la der-
nière équation. Mais, pour avoir y, il faut encore ajouter à cette quantité l'abaissement produit par le poids /^/agissant seul. On le trouvera par les formules du n° 30, où l'on remplacera x par .r — a et où l'on fera en
outre û = -j Q — o, x = x'; on aura, de cette manière, l'expression
Donc on a finalement
frV-- -^x'M/ — x'i'-r-C,
ou bien, en remplaçant C par sa valeur et x" par / — x',
(3o) er^y^ Z^'=(/^')^H-^-x''(/-x'r.
Le calcul s'achève ensuite comme dans le cas de deux appuis simples. L'équation précédente diiTérentiée deux fois devient
et Ton voit alors immédiatement que la plus grande valeur de — -^Tj répond au maximum de x'(/ — x'), soit à x'= -; cette valeur est
l42 CHAPITRE DBOXifeME.
Od aurait donc ici, pour le maximum Q' de la force exercée sur la poutre par le poids roulant Q, l'expression
cr g \'>4 ^
et cette force agirait encore au milieu de l'intervalle des appuis. Or, d'après les calculs du n° 30, le moment fléchissant dans une poutre encastrée à ses deux extrémités, sous l'action simultanée d'une charge uniformément répartie pi et d'une charge Q* concentrée au milieu, présente deux maxima : l'un au milieu, ayant pour valeur absolue
l'autre aux extrémités, égal à
12 ■" 8 " ^^ • Si l'on remplace Q" par sa valeur (3i), ces expressions deviennent
(3.) V (L,,P^lQl)(,^-^'-^),
(33) X' '-rr(^-^%^)^lQi(^.-PA^\
résultats conformes à ceux que nous avons indiqués plus haut, d'après M. Phillips i').
Les recherches de cet auteur n'ont porté que sur le cas où le poids roulant peut être regardé comme concentré sur la poutre en un point unique. M. Renaudoi, ingénieur des Ponls et Chaussées, a traité, quelques années plus tard /', par une méthode tout à fait analogue à celle de M. Phillips, le cas d'un poids uniformément réparti, s'engageani progressivement sur la poutre, dont il finit par occuper toute la longueur. La conclusion à laquelle il est arrivé, c'est que le moment rtéchissant maximum qui se produirait si le convoi stationnait immobile sur la poutre doit être augmenté dans le rapport
(') Ou voit tMiooiv loi, commo ilaus lo cas parlioulior des appuis simples, que uous n»«:arilons à firiori les forces d'ineriie île la poutre comme négligeables.
(• Annales tles Po^ts et Chausiées^ i8l»i, i"" someslix».
de I à I 4-
9 en nommant q le poids du convoi par
3er^ 2 g
unité de longueur et conservant aux autres notations le sens précédemment défini. Celte correction est d'ailleurs applicable exclusivement à Thypothèse d'une poutre reposant sur deux appuis simples^ la seule étudiée par M. Renaudot.
38. Figure d'équilibre d'une poutre sous un com^oi roulant indéfini. — Voici un cas particulier dans lequel nous avons pu obtenir théoriquement, au moyen d'une analyse trèsslmple, des conséquences intéressantes. Soit donnée une poutre horizontale reposant librement sur deux appuis extrêmes, dont / représente Técarlement, et soutenant une charge pi uniformément répartie sur sa longueur, à raison de p kilogrammes par unité linéaire. Une portion ql de celte charge, également répartie d'une manière uniforme, est animée d'une vitesse c, et les poids qui à chaque instant sortent de ia poutre, en franchissant l'une des extrémités, se trouvent sans cesse remplacés par des poids égaux qui s'introduisent à l'autre point extrême. Dans ces circonstances, il y a une Hgure que la poutre peut conserver indéfiniment, si elle y est arrivée sans vitesse acquise. Il s'agit de démontrer que cette figure d'équilibre existe réellement, et ensuite d'en effectuer la détermination.
Représentons par \B[Jig. 23) la fibre moyenne de la pièce
Fig. a3.
dans son état primitif; prenons cette ligne pour axe des x, et pour axe des y la verticale descendante Cy qui passe en son milieu C. Supposons qu'on ait fait prendre à AB la forme nécessairement peu différente AC'B et qu'on ait rendu cette
l44 GHAPITRB DBUXlftMB.
courbe invariable en liant la poutre à un cintre absolument Oxe. Nommons
x^ y les coordonnées d'un point quelconque M' de la courbe, lequel était d'abord en M sur AB;
a la distance CB, ou la moitié de l'écartement / des appuis; ef^ le moment d'inflexibilité, supposé constant, de la section
transversale, relativement à un axe horizontal contenu dans
son plan et rencontrant la fibre moyenne ; P l'effort tranchant, X le moment de flexion, pour la section
répondant à l'abscisse x\ m la réaction du cintre, rapportée à l'unité de longueur, dans
les environs du point M\
Si nous prenons un élément dx de la fibre moyenne primi* tive, à partir de M, l'élément correspondant de la poutre supporte : i^ le poids pdx\ x^ l'excès de pression dû à la force
Qv"^ dx d^ y* centrifuge, soit (n® 37) — • -—-^ 3« la force élémentaire
exercée par le cintre, soit wdx. La force totale appliquée à l'élément dx^ estimée suivant la verticale descendante, est
p -f- C3 — ^— -j^, j dx\ or, cette force constitue l'accroissement d9 de l'effort tranchant évalué positivement dans le sens ascendant, lorsqu'on se déplace de la longueur dx suivant la fibre moyenne; donc on a
rfP qv' d^r
dx ^ g dx^
D'autre part, on sait (n<»24) que P est la dérivée --r- du moment de flexion, prise avec le signe + si, outre la convention faite ci-dessus à l'égard de P, nous adoptons encore celle de compter positivement dans X le moment des forces descendantes; enfin (n«20) X est égal à ^^-^^^ et, par suite, on a
aussi
^ rf*r
dx^
L'élimination de P enire les deux équations précédentes
PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORGES TRANSVERSALES. l4^
donne pour résultat
,,,, d^r qv^ d'Y
dx' '^ g dx
équation qui permettrait de calculer la réaction xs du cintre si l'on se donnait la courbe AC'B, c'est-à-dire la valeur de y en fonction de x»
Dans le cas où cette courbe aurait une forme telle qu'elle vérifierait Téquation
^ ' dx' g dx' ^ '
la réaction w serait nulle, et, par conséquent, le cintre pourrait être supprimé sans que la courbe dût éprouver aucun changement; donc Téquation (35) définit une figure d'équilibre, c'est-à-dire une figure telle que, si la poutre y est une fois arrivée sans vitesse, elle se maintient d'elle-même et sans qu'on ait à exercer aucune force étrangère pour la rendre obligatoire.
L'existence de la figure d'équilibre étant ainsi prouvée, déterminons celte figure par l'intégration de l'équation (35). D'abord nous pouvons effectuer immédiatement une double intégration, qui donne, en désignant par C et C deux constantes,
(36) er' —^ 4- ^-r -^px-z^-Cx-h C.
^ ' dx' g -^ 2^^
d^Y La nature des appuis A et B exige que j et X ou er^ —^ s'annulent en ces points, ou pour xz=±a; on a, par conséquent,
pa-=: Ca -f- C,
d'où résultent les valeurs des constantes, savoir
C = o, Cr=—-pa'.
