I. 3* édit
l46 CHAPITRE DEUXIËHE.
Substituant ces valeurs dans l'équation (36), on trouve
et réquaiion différentielle se trouve abaissée au second ordre.
Le second membre de Téqualion (37) se réduiraità-p(a:*— a',
dans le cas où le convoi perdrait sa vitesse et serait rendu stationnaire; on tient compte de cette vitesse, comme on le voit, en ajoutant, au moment fléchissant de la charge supposée
morte, un moment — - — y\ Le moment correctif peut d*ail-
leurs être regardé comme produit par deux forces de compression appliquées aux extrémités de la poutre, suivant son
axe, et d'une valeur égale à la force vive -— du convoi par
S unité de longueur. Cette remarque, sur laquelle nous ne
pouvons insister davantage quant à présent, rattache la question actuelle à une théorie qui sera donnée plus loin et qui concerne la flexion des prismes chargés suivant leur flbre moyenne.
Afin de simplifier l'écriture dans la suite du calcul, nous
poserons
qi^' et
u étant une constante donnée; de plus, nous prendrons les variables a:', j' liées k x el h y^ par les relations
Alors l'équation (37) pourra s'écrire
û?=r' I , , er^iC pa'r'
pa} -j-, pa\x —i] r- - , ->
^ dx ' 2.^ ' ' a- er-
soity en supprimant le facteur commun pa^ et simplifiant,
PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSVERSALES. l47
Si, dans cette dernière équation^ on met à la place dey' un binôme du second degré tel que
on déterminera facilement les coefGcients a et ^ de manière à rendre les deux membres identiques, et Ton aura ainsi une solution particulière de l'équation différentielle, savoir :
On posera ensuite
valeur qui, substituée dans l'équation (38), donne, pour déterminer l'inconnue auxiliaire z,
dx" On a par suite, en appelant A et B deux constantes arbitraires,
z := A sina:r'-f- Bcosa^', d'où Ton déduit successivement
r'— — ^ 1 x''— I ^ 1 -h Asinw^'-f- Bcosaj;',
er^r i / 2a' \ . . iix , ux
pa
ri/ 26 -z= Ix'-a'
-+- Aa' sin h Ba* cos —
Les constantes doivent être prises de manière à donner / = o pour X = a et pour x= — a: il en résulte
A=:o, Bzz.-—' — ,
et, par conséquent,
(ux cos — a cos a
l48 CHAPITRE DEUXIÈME.
La fllèche/s'obiienl en faisant x = o dans Téquation (Sg) : on a donc
^ ' ' pa* 2 m' u* \cosa /
Il y a aussi de l'intérêt à connaître le maximum du moment fléchissant X; d'après Téquation (37), ce maximum répond à a; = o et a pour valeur absolue
ou, ce qui revient au même,
Xo == - va" H- • — - — =z- pa}[\-i -'
pa*
— -pa'-(
2^ U^ \ COSM
La quantité -/?a= exprimerait le moment fléchissant maximum dans le cas où la vitesse v s'annulerait; si donc on pose
le nombre n sera le coefficient par lequel on devra multiplier ce moment pour tenir compte de l'accroissement dû à v.
On voit que, si l'on a w = -9 ce qui entraîne l'égalité
alors /et Xo deviennent infinis, et la poutre devra se rompre. D'ailleurs, /et X« restent finis pour toute valeur de u infé-
rieure à -• Si, en particulier, on suppose u = y^ il vient
/= 0,2780 ^—-;^ 9 Xo — ^ I ,3430 '-^fl^
tandis que, si la vitesse v était nulle, on aurait (n^27)
PRISHBS PLÉGHIS PAR DBS FORCES TRANSVERSALES. l/^g
ces quantités augmenteraient donc, par Teifet de la vitesse,
dans les rapports de i à i ,3348 et à i ,343o, c'est-à-dire de ^
environ. Le maximum des pressions ou tensions croîtrait dans la même proportion que le moment X»; mais il ne semble pas que cela pui^e avoir des inconvénients bien sérieux en pratique, parce que la matière de la poutre ne doit supporter,
sous l'action des charges mortes, que ^ au plus de la tension
capable de produire la rupture {voir\e § V de ce Chapitre). On aurait donc le droit d'adopter avec assez de sécurité la
valeur m = ^ 5 c'est-à-dire
ce qui donnerait une limite des valeurs non dangereuses de
la force vive ^— possédée par le convoi roulant sur chaque
unité de longueur.
Il est facile de reconnaître que la vitesse v correspondante à la limite ci-dessus doit être généralement assez considérable. Supposons (ce qui a lieu le plus souvent) que la poutre ait une section homogène, symétrique relativement à Taxe de flexion, et dont la hauteur serait h dans le sens perpendiculaire à cet axe. Le maximum de tension par unité de surface (abstraction faite de la vitesse v) serait (n°' 19 et 20) égal
a«-= — -, puisque le moment fléchissant maximum est- pa^;
donc, en nommant R la plus grande tension à laquelle on doit
soumettre la matière ^ous l'action d'une charge immobile, on
aura
pa'Eh
"4er^ -'"' égalité qui, combinée avec la précédente, donne
et, par suite.
l5o CBAPITRB DEUIIÈHB.
Or -5 d'après la définition des iellres p et q, dépasse néces-
sairement Tunité; d'un autre côté, le facteur :^ est grand,
MX
comme on peut le reconnaître en mettant au lieu de £ les valeurs numériques indiquées au Chapitre I, et au lieu de R celles que nous donnerons un peu plus loin, au § V de ce Chapitre : cela suffit pour faire concevoir la vérité de notre assertion. Afin de mieux constater le fait dans un cas particulier, supposons une poutre en tôle, comme celles qu'on emploie fréquemment dans les ponts de chemins de fer; alors
on aura
E = 2.io'% R- 6.io\
d'où résulte
-^s\/^-?^*-'='°Vf^*-
Supposons enfin le poids roulant q quintuple du poids immobile/? — q (ce qui est en général au-dessus de la vérité, et ce qui tend à diminuer la limite t^ que nous cherchons), nous
devrons faire - — i^? et nous trouverons
Voici les résultats que donne cette formule, pour diverses valeurs de A :
Limites des râleurs Hauteur fi non danfrereuses
de la poutre. de la tUosso.
La vitesse d'un train express s'élève rarement jusqu'à 20" par seconde (18 lieues à l'heure); une vitesse double ne s'obtient que dans des circonstances tout à fait exceptionnelles.
PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORCES TRAIfSYERSALES. l5l
On peut donc dire que les vitesses des trains de chemins de fer n'atteignent jamais la limite qui pourrait commencer à rendre la force vive du convoi dangereuse pour la stabilité des poutres en tôle. La quantité u aura toujours dans la réa-
lité une valeur moindre que v> et l'accroissement propor-
tionnel de flèche ou de tension moléculaire dû à la vitesse de
la charge roulante restera plus ou moins en dessous de ^i
nombre que nous avons trouvé en admettant Thypothèse
Tous ces calculs supposent que la poutre reste en équilibre sous une charge uniformément répartie, dont une por- Uon forme un convoi roulant, sans cesse renouvelé. Cela se produirait assez exactement si le convoi placé d'abord sans vitesse au-dessus de la poutre prenait ensuite une vitesse très-lentement croissante, jusqu'à la valeur finale v. La poutre tendrait alors à prendre peu à peu la forme d'équilibre que nous avons calculée; comme, de plus, elle y arriverait sans vitesse sensible, elle ne s'en écarterait plus après qu'elle l'aurait atteinte. Mais ce n'est point ainsi que les choses se passent généralement. La poutre étant en équilibre sous sa charge permanente [p — q]ly le convoi, pesant q par unité de longueur, arrive avec toute sa vitesse v antérieurement acquise; il s'engage progressivement au-dessus de la poutre et finit par la couvrir entièrement, s'il est assez long; puis, au bout d'un certain temps, son extrémité d'arrière ayant passé à son tour, la poutre continue à osciller en vertu du mouvement qu'elle vient de recevoir et de son inertie jointe à celle de la charge permanente. Nous pouvons bien encore dire qu'elle tend à prendre, pendant le passage du convoi, la forme d'équilibre représentée par l'équation (39); mais, si tous ses points y arrivent simultanément, ce qui semble trèsdouteux, elle aura de la vitesse au moment où elle l'atteindra, et par suite elle ira au delà. Il n'en résulte pas moins, cepen-
dant, que la flèche cesserait d'être petite si -^— prenait la va-
leur -^—-5 puisque ce fait a déjà lieu en supposant que la
iSa GHAPITRB DBOXIËMB.
poutre s'arrête à la position d'équilibre, tandis qu'elle doit la
dépasser : il serait donc dangereux, en tout cas, de laisser —
croître jusqu'à la limite dont il s'agit. Quant à la limite quatre fois moindre, qui produisait tout à l'heure un accroissement
relatif de ^ dans le moment fléchissant maximum, elle pourra
produire, eu égard aux oscillations de la poutre, un accroissement plus grand ; mais en admettant, par analogie avec d'autres exemples, que l'accroissement doive être doublé (n*** 14, 16 et 36) et même, au besoin, triplé (ce qui doublerait le moment statique), il n'y aurait là rien d'inquiétant pour la stabilité, à moins que la plus grande tension, calculée dans l'hypothèse d'une charge morte, ne fût déjà très-élevée et sensiblement supérieure aux chiffres habituellement admis, lesquels
représentent seulement ^ des tensions de rupture. En doublant le moment statique, on ne dépasse pas encore les tensions, qui peuvent se répéter un très-grand nombre de fois sans altérer le métal (n° 34). On a vu d'ailleurs, dans le cas des poutres en tôle soutenant une voie de chemin de fer, que
cette seconde limite de ^— ne peut même pas être atteinte
avec les plus grandes vitesses ordinairement réalisées : il en résulte que la vitesse des convois augmente, en général, assez faiblement la flexion des poutres, et que cette vitesse ne peut amener immédiatement aucune conséquence fâcheuse. Mais cela ne veut pas dire que de petites trépidations fréquemment renouvelées ne puissent à la longue altérer la résistance des poutres métalliques, en les faisant passer de l'état fibreux à rétat cristallin. C'est un autre point de vue que nous n'avons pas eu l'intention de considérer ici; nous avons fait connaître au n** 34 ce qu'il est possible de dire à cet égard.
Les augmentations des moments de flexion, qui ont lieu quand une partie de la charge prend une certaine vitesse, étant produites par les forces d'inertie centrifuges, un bon moyen pratique d'en atténuer, et souvent d'en faire disparaître les effets, consisterait à établir primitivement la poutre avec une fibre moyenne légèrement arquée en dessus de l'horizontale : cette fibre tendrait alors à se redresser pendant le pas-
PRISMES FLÉCHIS PAR DES FORCES TRANSVERSALES. l53
sage des convois, et si elle ne devenait pas concave en sens inverse de la courbe de pose, les forces centrifuges ne pourraient que diminuer la pression statique.
39. Autres exemples de figures d^équilibre, — La considération des figures d'équilibre, qui s'est présentée si naturellement dans le cas d'un convoi indéfini (n°38), peut être utilisée aussi dans le cas d'un poids roulant concentré en un seul point. Pour qu'il existe une figure d'équilibre, nous supposerons que ce poids, sans cesse renouvelé, ne parcoure qu'un élément infiniment petit de la longueur; en outre, nous supposerons le cas particulier où cet élément serait à égale distance des appuis. Conservons les notations du n° 37, et nommons, de plus, p le rayon de courbure de la fibre moyenne en ce même point milieu. Le poids rou-
lant Q exercera une pression Q' é^ale à Q -h — - » dont l'effet doit être
^^ joint à celui du poids mort /?/, uniformément réparti : les appuis étant
d'abord supposés appuis simples, le moment fléchissant maximum X' se
produit alors dans la section du milieu et a pour valeur (n** 27)
par suite, p doit satisfaire (n"' 19 et 20) à l'équation
qu'on peut écrire
er Ç)l ('- , I . I
p \ 7.rr-'>.gj 8' 4
cr^ De là on déduit — ou le maximum X' du moment fléchissant
icr^ ig
Si les deux appuis étaient des encastrements, la pression Q', concentrée au milieu et agissant conjointement avec la charge uniforme ^/, détermine deux moments maxima (n** 30), l'un X"au milieu, l'autre X'" aux extrémités, ayant pour valeurs respectives
I I I I Olv^
