I 1 I OA

l54 CHAPITRE BECXiftMB.

D'ailleurs, le moment des forces élastiques dans la section centrale étant

er^

toujours exprimé par — > on a

soit

er^

d'où résulte

Connaissant X'', on en déduit sans peine X"', en ajoutant —7 /?/^, ce qui donne

Lorsquon suppose que -^ — ou j^ — <» suivant le cas, est une

petite quantité, les formules (42), (43) et (44) deviennent approximativement

On retrouve ainsi , avec une exactitude presque complète, les formules (ai)i (3a) et (33) du n** 37, lesquelles sont conformes à celles de M. Phillips;

la seule différence consiste en ce que le coefficient du terme 7Q/, dans

aO/ p' 0' ^ l'expression de X', devrait être 1 -h ^-S — ? au lieu de n -. —

Mais la question était posée au n"" 37 dans des termes tout différents de ceux que nous admettons ici , et la démonstration faite pour un cas ne peut pas servir à l'autre. Toutefois, la coïncidence est assez remarquable pour être signalée.

lis sont des appuis simples, la relation , - o on ,- -- - - ,-

lesse qui rend X' infini et entraîne, par conséquent, la outre; dans l'hypolhèse de deux encastrements, il faut /er au même résult.it ,

le se convaincre, par des calculs analogues à ceux qui ont n** 38, que les vitesses ainsi obtenues sont, en général, -is à celles qui se réalisent dans la pratique.

ats d'expériences, — Les applications numériques

s de M. Phillips et les résultats fournis par l'élude

jes n*** 38 et 39 semblent établir que, dans les cir-

ordinaires, la vitesse des convois circulant sur les

lugmente que dans une mesure assez restreinte les

tiiques, c'esl-à-dire les flèches qui auraient lieu dans

se d'une vitesse nulle. L'expérience vient parfaiie-

firmer cptte appréciation. Ainsi la Commission an-

1847 (n*> 34) cite un cas où, la vitesse étant de -22*"

ide, la flexion statique a été augmentée seulement de

100; les essais de M. Jules Poirée sur plusieurs ponts

nin de fer de Lyon et sur le pont du Carrousel à Paris

sent à des résultats analogues.

a été possible de produire des augmentations notables che et, à plus forte raison, la rupture des pièces essayées a se plaçant dans des conditions tout à fait différentes de es que la pratique peut réellement présenter. Dans ce but, Commission anglaise a fait construire un appareil par le iioyen duquel un chariot, chargé de poids variables à volonté, était abandonné à lui-même au sommet d'un plan incliné : les poutres soumises à l'expérience formaient, au bas du plan incliné, un chemin de fer sur lequel le chariot s'engageait aver la vitesse acquise pendant la descente. Le maximum du poids roulant a été de 2000''* environ, et le maximum de la vitesse i3* par seconde. Les barres avaient 2"*, 74 de portée. Les expériences faites à l'aide de cet appareil prouvent que la flèche

l56 CHAPITRE DELXIÈUE.

augmente avec la vitesse du chariot, quand le poids de celui-ci reste constant; on a quelquefois observé des flexions doubles de la flexion statique. On a aussi remarqué que le point où se produit la plus grande flèche n'est pas au milieu de la barre, mais au delà, en suivant le sens du mouvement du chariot; de même la fracture a lieu au delà du centre, et quelquefois la barre se brise à la fois en plusieurs morceaux.

La Commission anglaise s'est aussi demandé quels étaient les effets immédiats des chocs, et ses conclusions, justifiées par de nombreuses expériences, sont intéressantes à connaître, bien qu'elles ne se rapportent pas aux questions dont nous avons présenté la solution théorique. On peut les résumer ainsi : i° une barre de fonte ayant pour section un rectangle dont un côté est quadruple de l'autre, et reposant sur deux appuis simples, exige, pour être rompue, un choc de même intensité, soit que le coup porte sur le petit côté, soit qu'il porte sur le grand. Les barres de même longueur et de même poids présentent la même résistance au choc, quelle que soit la forme de leur section. 2** La flexion produite par un choc sur une barre de fer croît proportionnellement à la vitesse du choc; pour la fonte la loi de croissance est plus rapide. 3® Un poids additionnel, uniformément réparti sur une poutre, la rend capable de résister à un choc vertical plus intense; dans certains cas, la résistance a pu être doublée de cette manière.

§ IV. — Des poutres à plusieurs travées solidaires.

4-1. Généralités ; position de la question. — Les poutres droites reposant sur plus de deux appuis ont été assez fréquemment employées, dans ces dernières années, pour supporter des ponts à plusieurs travées construits sous des voies de chemin de fer. L'un des premiers exemples de cette espèce de travaux d'art a été, en France, le pont sur lequel le chemin . de fer de l'Ouest traverse la Seine à Asnières; puis sont venus les ponts de Langon sur la Garonne, de la Quarantaine sur la Saône à Lyon, et beaucoup d'autres qu'il serait inutile d*énuniérer ici. Les calculs préliminaires qu'exige la vérification de la stabilité ou la détermination a priori des dimensions d'une

PRISMES FLÉGUIS PAR DBS FORCES TRANSVERSALES. iS']

telle poutre consistent, comme dans le cas d'une seule travée, à rechercher : i° les limites extrêmes entre lesquelles varie le moment fléchissant d'une section quelconque, pris soit algébriquement, soit en valeur absolue, quand on fait toutes les hypothèses possibles sur la distribution des charges; 2° la limite supérieure qu'atteint l'elFort tranchant pris^ en valeur absolue. L'utilité pratique de ces résultats ressortira du § V, où l'on verra l'usage qu'on doit en faire.

Indiquons, en premier lieu, les hypothèses particulières qui servent de base au calcul. La poutre est soutenue à ses deux extrémités par les culées, et, dans l'intervalle, par les piles; les appuis ont donc une certaine longueur, dans la direction parallèle à la fibre moyenne, et l'on ne peut pas rigoureusement regarder chacun d'eux comme équivalant à la fixité d'un seul point de cette fibre. Néanmoins on admet cette hypothèse, qu'il faut considérer comme défavorable à la résistance ; car les supports constituent, en réalité, un encastrement partiel dont on néglige l'effet, et l'on a déjà vu, par l'exemple du n° 30, les bons résultats produits par les encastrements.

Les moments fléchissants X et efforts tranchants P, qui se produisent dans les diverses sections transversales, sont ordinairement déterminés en supposant la poutre prismatique, c'est-à-dire établie avec une section constante, bien qu'en fait les constructeurs aient cru devoir renforcer certaines sections plus exposées que d'autres à la rupture. Voici ce qu'on peut dire pour faire comprendre l'origine dé ce procédé. Il est rationnel de fixer les dimensions de chaque section de manière que la tension maximum par unité de surface y soit égale à une limite supérieure déterminée; car, si la matière de la poutre résiste convenablement à une tension ayant cette valeur, il n'y a pas de raison pour descendre au-dessous dans une section quelconque; et, en l'atteignant toujours, on économisera le volume total de matière à mettre en œuvre. Dans le but d'y arriver, on conçoit qu'on emploie la méthode dite de fausse position ou des approximations successives : d'abord on suppose constante la section variable qu'on se propose de chercher, et l'on calcule en conséquence les X et P; admettant ensuite ces valeurs de X et P comme étant celles qui se pro-

l58 CHAPITRE DEUXIÈME.

duiraieni réellement dans la poutre à construire, on calcule les dimensions en travers de manière à obtenir la tension limite dans toutes les sections. Les résultats de cette opération devraient être considérés comme simplement approximatifs, et pour en avoir de plus exacts on devrait faire de nouveau U recherche des X et P, en attribuant à chaque section les dimensions qu'on aurait ainsi trouvées; puis déduire de ces nouvelles valeurs de X et P des dimensions plus ou moins différentes des premières, au moyen desquelles on recommencerait encore un essai analogue, jusqu'à ce que deux essais consécutifs donnassent à peu près le même résultat. Maison s*est toujours borné jusqu'à présent au premier essai: au point de vue théorique , c'est une hardiesse difficile à jusiifier complètement, et cependant la pratique l'a consacrée, puisque beaucoup de ponts construits sur les données qu'on en a déduites ont convenablement résisté à toutes les épreuves.

Les charges auxquelles la poutre sera censée soumise se composeront ordinairement : i° d'un poids permanent réparti d'une manière uniforme sur sa longueur entière ; 2° d'une surcharge accidentelle ayant également une répartition uniforme sur les travées qu'elle embrasse, mais ne couvrant pas toute la poutre et pouvant s'étendre sur un nombre quelconque de travées arbitrairement choisies. On y joindra parfois des poids concentrés en certains points, dans Tintervalle des appuis.

Après avoir ainsi fait connaître les données et hypothèses du problème, il faudrait naturellement en exposer la solution : mais celle solution, pour être complète, exige de tels développements, et d'ailleurs elle a dans la pratique une importance telle, que nous avons cru devoir en faire l'objet d'un Ouvrage à part, constituant la troisième Partie de notre Cours de Mécanique appliquée ('). On ne dira donc rien ici ni delà recherche des moments de flexion, ni de celle des efforts tranchants, qui, au fond, n'est pas distincte de la première

(') Cet Ouvra(;e a été publié entre la première et la seconde édition de la première Partie. Au fond, ce devrait en être simplement un chapitre, et nous le supposerons, eu conséquence, connu de nos lecteurs.

PRISHBS PLfiCHIS PAR DBS PORCES TRANSVERSALES. l5g

{W^ik); on traitera seulement quelques questions accessoires, ou bien on ajoutera quelques nouveaux développements à celles qui sont traitées dans l'Ouvrage spécial dont on vient de parler, en y renvoyant le lecteur pour le surplus. Il sera parfois utile d'y prendre diverses formules; alors nous indiquerons le renvoi en mettant le chiffre romain III (qui signifiera troisième Partie) à la suile du numéro désignant le passage où se trouve la formule citée; l'annotation n° 1, III, par exemple, devra se lire : n° 1 de la troisième Partie.

Nous admettrons d'ailleurs (sauf au n^ 41 ci-après], parmi les données de ces nouvelles questions ou de ces compléments, deux conditions qui viennent restreindre la généralité des hypothèses énoncées en commençant : i" tous les appuis, en nombre n ■+- 1, et désignés par les lettres

A», Al, Am, • • •» Am—:y A;b i, A»i» A/.j-f i, • • ■♦ A/,i, Afit

devront être touchés naturellement par la poutre quand, celle-ci étant prise dans son état primitif, sans déformation ni tension intérieure, on la pose de manière à lui en faire toucher deux quelconques, Ao et A„ si l'on veut; 2<* les travées extrêmes A, A, et A„, A„ auront une même longueur 6, tandis que toutes les travées intermédiaires auront une même longueur c, différente en général de 6, ce qui aura pour effet de constituer la symétrie de la poutre relativement à sa section centrale. EnQn voici des notations qu'il semble bon de définir une fois pour toutes; nous appelons

à le rapport t entre les longueurs des travées intermédiaires

et de rive ;

X« moment de flexion sur l'appui An,;

T« réaction de cet appui;

M*, N* deux nombres tels, que, si 2/r désigne un nombre entier, on ait les égalités

(2 — v'3/ = MxH-N*V^3, (2-f-v/3/-^M;--N,v^3;

q un nombre dont le double est égal au nombre n des travées diminué de deux;

l6o CHAPITRE DEOXlftMB.

A le quotient -^ {'];

p le poids de la charge permanente sur chaque unité de longueur; p' celui de la surcharge.

Il est à peine besoin de remarquer que les moments extrêmes Xo, X„ sont toujours nuls : en effet, si Ton se place dans la dernière travée infiniment près de A„, la seule force produisant un moment de flexion sera la réaction T, de cei appui; or ce moment tend vers zéro en même tend que le bras de levier, et devient par conséquent nul au-dessus du point A» lui-même. Le même raisonnement s'applique évidemment à l'autre bout de la poutre.

42. Extension du théorème des trois moments au cas d'une section variable, — La démonstration donnée pour le cas d'une section constante ( n° 2, III) n'a besoin que d'une petite modification pour s'adapter au cas d'une section variable. Reprenons l'équation fondamentale (n°20)

'' dx--^^

dans laquelle er^ représente le moment d'inflexibilité de la

section transversale, \ le moment fléchissant, -^^ la valeur

approximative de la courbure prise par la fibre moyenne de la poutre; mettons cette équation sous la forme

dx" rr^

Il suffira d'opérer sur cette seconde équation comme on a opéré sur la première, au n" 2 de la troisième Partie, pour arriver au théorème f:énéralisé et applicable à une poutre de

^*^ Lorsque liiivlico k varit», les valours do M^ et de >'^ constituent deux séries numeriijuos donl l'haque terme est dolnii par son indice. On a étudié \^n''3*, UP le mode de formation vie ces >eries et leurs propriétés; on a étudié

aussi yU" lU. UP le* quotients " ^ ou h.

PRISMES FLÉCHIS PAR DBS FORGES TRANSVERSALES. l6l

section non constante. On aura d'abord

(i) x^-^r^-o,a=j^ —^^ dx,

ou, après avoir exprimé X au moyen des moments X,, Xi et

de9(x),

— Y r** (a — x](îx X, — X, /*'';r(a — x]dx C'^ (a — x] c^ [x)dx ^ on pose de même, pour la travée adjacente,

r\a'-x']dx' X3-X, r'x'[a-x')dx' /""'(«' 7:5' )5(-^^^:^' enfin Télimination de 63 conduit à Téquation

__X, r'x{a — x)dx p ç^[a^xYfix i^ r'''{a'- ^'Ydx'

Xj r'^ x'[a' — x']dx' I /*" (a — jc)9(a:)Jjc

X, r x'[a'-x']dx' ^ /

JL r" («' - ^' ) " 1^'

fr'

qui exprime le théorème dont il s'agit dans sa plus grande généralité. Les deux dernières intégrales dépendent à la fois des dimensions des deux travées auxquelles s'applique le théorème et des charges qui s'y trouvent appliquées; les multiplicateurs des trois moments Xi, X3, X3 sont indépendants des charges.

43. Réactions des appuis d* une poutre à section constante^ chargée uniformément, — On a démontré (n° 7, III) que, si deux travées consécutives de longueurs a et a' supportent des poids uniformément répartis, la réaction de leur appui